（高职）第10章多元函数积分学8（曲面积分）ppt课件.pptx

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1、第10章 多元函数积分学8（曲面积分）曲面积分曲面积分一、对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分定义定义设函数设函数在曲面在曲面上有定义，将上有定义，将任任意分成意分成块小曲面块小曲面，表示第表示第块小曲面的面块小曲面的面积，在每块小曲面是任取一点积，在每块小曲面是任取一点，作和式，作和式如果当小曲面的最大直径如果当小曲面的最大直径趋于零时，该和式的极趋于零时，该和式的极限存在，则称该极限值为函数限存在，则称该极限值为函数在曲面在曲面对对的的面积的曲面积分面积的曲面积分，记为：，记为：即即其中其中称为称为被积函数被积函数，为为被积表达被积表达式式，为为积分曲面积分曲面。),(zyxfiS),(i

2、iiindSzyxf),(iSniiiiiSf1),(),(zyxfniiiiiSfdSzyxf10),(lim),(dSzyxf),(),(zyxf对面积的曲面积分的计算对面积的曲面积分的计算设曲面设曲面的方程为的方程为，它在，它在平面上平面上的投影区域为的投影区域为，函数，函数在在是具有连是具有连续一阶偏导数，函数续一阶偏导数，函数在曲面在曲面上连续，则：上连续，则：),(yxzz ),(zyxfxOyxyD),(yxzz xyDxyDyxdzzyxzyxfdSzyxf22)()(1),(,),(例例计算曲面积分计算曲面积分，其中曲面，其中曲面为球为球的上半面。的上半面。解：解：在在平面的

3、投影为平面的投影为练习（练习（P315）1.计算下列的面积的曲面积分计算下列的面积的曲面积分计算计算，是平面是平面在第在第一挂限部分。一挂限部分。xzdS0221yxzxOy1:22yxDxydSzyx)342(1432zyxxyDdyxyyxxyxxxzdS22222222)1()1(11xyDxd221111xxxdydx11212dxxx二、对坐标面的曲面积分二、对坐标面的曲面积分定义定义设设是有向光滑曲面，函数是有向光滑曲面，函数在曲在曲面面上有定义，将上有定义，将任意分成任意分成张有向小曲面张有向小曲面，在在平面是的投影为平面是的投影为，在，在上任取上任取一点一点，作和式，作和式如果

4、当小曲面的最大直径如果当小曲面的最大直径趋于零时，该和式的极趋于零时，该和式的极限存在，则称该极限值为函数限存在，则称该极限值为函数在有向曲面在有向曲面上对坐标上对坐标积的曲面积分积的曲面积分，记为：，记为：即即其中其中称为称为被积函数被积函数，为为被积表达被积表达式式，为为积分曲面积分曲面。),(zyxRiS),(iiinxydSzyxR),(iSxyniiiiiSR)(),(1),(zyxfxyniiiiixySGdSzyxR)(),(lim),(10 xydSzyxR),(),(zyxRxOyxyiS )(iS类似可定义：类似可定义：函数函数在有向曲面在有向曲面上对坐标面上对坐标面的曲的

5、曲面积分为：面积分为：函数函数在有向曲面在有向曲面上对坐标面上对坐标面的曲的曲面积分为：面积分为：三个曲面积分和写在一起称为三个曲面积分和写在一起称为组合曲面积分组合曲面积分：),(zyxQ),(zyxPyOzzOxyzdSzyxP),(zxdSzyxQ),(xyzxyzRdSQdSPdSxyzxyzRdSQdSPdS对坐标面的曲面积分的计算对坐标面的曲面积分的计算设有向曲面设有向曲面由方程由方程确定；确定；若若的法向量与的法向量与轴正向的夹角小于轴正向的夹角小于时：时：若若的法向量与的法向量与轴正向的夹角大于轴正向的夹角大于时：时：类似地：类似地：z2zxyDxydxdyyxzyxRdSzy

6、xR),(,),(2yzDyzdydzzyzyxPdSzyxP,),(),(xyDzxdzdxzzxyxQdSzyxQ),(,),(）yxzz,(xyDxydxdyyxzyxRdSzyxR),(,),(例例计算计算，其中曲面，其中曲面为平面为平面在第一挂限的下侧。在第一挂限的下侧。解：解：练习（练习（P315）2.计算下列对坐标面的曲面积分计算下列对坐标面的曲面积分计算计算，是球面是球面下半球面下半球面的下侧。的下侧。xydSzyx)23 (1zyxxyzdSyx222222RzyxxyDxydxdyyxyxdSzyx)1 (23)23(xyDdxdyyx)21 (xdyyxdx1010)21 (10201)212(dxxyxyy102)2323(dxx01)2123(3xx 1高斯公式高斯公式定理定理设空间封闭区域设空间封闭区域是由分片光滑曲面是由分片光滑曲面所所围成，函数围成，函数在在上具上具有一阶连续偏导数，则有一阶连续偏导数，则这里封闭曲面这里封闭曲面的方向取外侧，该公式称为的方向取外侧，该公式称为高斯公高斯公式式。),(),(),(zyxRzyxQzyxP、xyzxyzRdSQdSPdSdVzRyQxP)(