第六章标志变异指标课件.ppt

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1、第六章标志变异指标第六章标志变异指标第一节标志变异指标概述第一节标志变异指标概述平均指标是将总体内各单位某数量标志值的差平均指标是将总体内各单位某数量标志值的差异抽象化异抽象化,用以反映标志值的一般水平。但是用以反映标志值的一般水平。但是,标志值之间的这种差异毕竟是客观存在的标志值之间的这种差异毕竟是客观存在的,它它们之间差异程度的大小们之间差异程度的大小,会直接影响平均数对会直接影响平均数对各标志值的代表性高低。因此各标志值的代表性高低。因此,要全面认识社要全面认识社会经济现象的数量状况会经济现象的数量状况,在研究平均指标的同在研究平均指标的同时时,还必须对总体各单位数量标志值之间的差还必须

2、对总体各单位数量标志值之间的差异程度给予研究异程度给予研究。 标志变异指标定义标志变异指标定义： 反映同质总体各单位标志值之间的差异反映同质总体各单位标志值之间的差异程度的指标程度的指标,称标志变异指标，也称标志变称标志变异指标，也称标志变动度。动度。 标志变异指标标志变异指标,是统计研究中广泛应用的是统计研究中广泛应用的一种综合指标一种综合指标,用以测定标志变动程度用以测定标志变动程度,反映反映现象内部的数量变化情况。现象内部的数量变化情况。标志变异指标和平均指标标志变异指标和平均指标关系： 标志变异指标和平均指标互相对应标志变异指标和平均指标互相对应,分别从两个分别从两个不同的侧面反映总体

3、的数量特征。不同的侧面反映总体的数量特征。 平均指标是反映总体各单位标志值的平均指标是反映总体各单位标志值的即反映的是总体各单位标志值的共性。即反映的是总体各单位标志值的共性。 标志变异指标反映总体单位标志值的标志变异指标反映总体单位标志值的离散趋势离散趋势,反映的是它们之间的差异性。反映的是它们之间的差异性。 平均指标与标志变异指标是总体次数分布的两平均指标与标志变异指标是总体次数分布的两个重要特征值个重要特征值,只有两者结合运用只有两者结合运用,才能全面地分才能全面地分析社会经济问题。析社会经济问题。 标志变异指标的作用有标志变异指标的作用有: (1) 标志变异指标是衡量平均数代表性大小标

4、志变异指标是衡量平均数代表性大小的重要依据。标志变异指标大小与平均指的重要依据。标志变异指标大小与平均指标代表性大小成反比关系。标代表性大小成反比关系。 (2) 标志变异指标可以用来反映现象的稳定标志变异指标可以用来反映现象的稳定性和均衡性。性和均衡性。 (3) 标志变异指标是影响和计算抽样误差的标志变异指标是影响和计算抽样误差的一个重要因素一个重要因素,也是计算相关系数的重要依也是计算相关系数的重要依据。据。二、标志变异指标的种类二、标志变异指标的种类 标志变异指标有绝对指标和相对指标之分。标志变异指标有绝对指标和相对指标之分。 绝对指标是用于反映绝对指标是用于反映平均水平相同平均水平相同的

5、总体变量值的总体变量值的离散程度的。其计量单位和总体各变量值的计的离散程度的。其计量单位和总体各变量值的计量单位相一致。包括：极差、平均差、方差和标量单位相一致。包括：极差、平均差、方差和标准差。准差。 相对指标即离散系数相对指标即离散系数,包括有包括有:极差系数、平均差极差系数、平均差系数、方差系数和标准差系数。通过离散系数可系数、方差系数和标准差系数。通过离散系数可以对比不同平均水平的总体变量值的离散程度。以对比不同平均水平的总体变量值的离散程度。第二节标志变异指标的计算第二节标志变异指标的计算 一、一、 极差极差R 极差是指总体各单位的标志值中极差是指总体各单位的标志值中,最大标志值与最

6、最大标志值与最小标志值之差。小标志值之差。 它是标志值变动的最大范围它是标志值变动的最大范围,也称也称全距全距,是测定标是测定标志变动的最简单的指标。志变动的最简单的指标。 其计算公式如下全距其计算公式如下全距R =最大标志值最大标志值-最小标志值最小标志值 如果统计资料是组距式变量数列如果统计资料是组距式变量数列,则全距可按下式则全距可按下式近似计算：全距近似计算：全距=最高组的上限最高组的上限-最低组的下限最低组的下限 全距越大全距越大,平均数的代表性越低平均数的代表性越低;全距越小全距越小,平均数平均数的代表性越高。的代表性越高。 对全距的评价及应用 全距的计算只考虑了两个极端值大小全距

7、的计算只考虑了两个极端值大小,不不考虑中间各项标志值变动程度如何。因此考虑中间各项标志值变动程度如何。因此,用全距测定标志变异程度是粗略的用全距测定标志变异程度是粗略的,只能概只能概括地说明某种标志值变动的最大范围括地说明某种标志值变动的最大范围,还不还不能准确测量标志值之间差异程度大小。特能准确测量标志值之间差异程度大小。特别是对于平均水平不同的数列别是对于平均水平不同的数列,无法用全距无法用全距进行对比。进行对比。 在实际工作中在实际工作中,全距被广泛用于检查产品质全距被广泛用于检查产品质量的稳定性和进行质量控制。量的稳定性和进行质量控制。 xx 二、平均差二、平均差 平均差是总体中各单位

8、标志值与平均数离差的平均差是总体中各单位标志值与平均数离差的绝对值的算术平均数。绝对值的算术平均数。 在统计分析中在统计分析中,把总体单位的标志值与平均数之把总体单位的标志值与平均数之差差 ,叫离差叫离差,离差的平均数就是平均差。离差的平均数就是平均差。 由于离差有正负之分由于离差有正负之分,各个标志值与平均数的离各个标志值与平均数的离差总和恒等于差总和恒等于0,即即 。 为此为此,在计算平均差时在计算平均差时,采用离差绝对值采用离差绝对值 计算。计算。0)(ixxixx 1.简单平均差简单平均差 nxxAD）平均差（ 简单平均差用于未分组的变量资料简单平均差用于未分组的变量资料,它是根它是根

9、据所有标志值计算的。据所有标志值计算的。 平均差越大平均差越大,平均数代表性越低。平均差越平均数代表性越低。平均差越小小,平均数代表性越高。平均数代表性越高。 2.加权平均差 ffxxAD）平均差（加权平均差适用于已分组变量数列。对于加权平均差适用于已分组变量数列。对于组距式变量数列组距式变量数列,以组中值代表各组变量值。以组中值代表各组变量值。 三、方差和标准差三、方差和标准差 1.方差和标准差的概念方差和标准差的概念 方差是总体各单位变量值与其算术平均数方差是总体各单位变量值与其算术平均数的离差平方和的算术平均数的离差平方和的算术平均数,用符号用符号 表示。表示。标准差标准差(也称均方差也

10、称均方差)是方差的平方根是方差的平方根,用符用符号号表示。表示。2nxx22）（方差 2.计算公式计算公式 方差和标准差也分别有简单式和加权式两种。方差和标准差也分别有简单式和加权式两种。 如果所掌握资料未经分组如果所掌握资料未经分组,则方差和标准差的计则方差和标准差的计算采用简单式；算采用简单式；nxx2）（标准差ffxx2）（标准差 如果为分组资料如果为分组资料,计算方差和标准差则采用加权式。计算方差和标准差则采用加权式。方差加权式方差加权式: 标准差加权式标准差加权式: 方差、标准差大方差、标准差大,说明平均数代表性小说明平均数代表性小;方差、标方差、标准差小准差小,说明平均数代表性大。

11、说明平均数代表性大。 ffxx22）（方差 方差和标准差与极差、平均差相比更具有方差和标准差与极差、平均差相比更具有普遍意义普遍意义,它既消除了极端值的影响它既消除了极端值的影响,又避免又避免了代数运算的障碍了代数运算的障碍,是测量离散程度最常用是测量离散程度最常用的指标。的指标。 方差和标准差相比方差和标准差相比,由于方差的计量单位为由于方差的计量单位为平方单位不宜于直观比较平方单位不宜于直观比较,因此因此,在社会经济在社会经济统计中标准差比方差及其他离散程度的绝统计中标准差比方差及其他离散程度的绝对指标的应用更广泛些。对指标的应用更广泛些。 3.方差、标准差的简捷算法方差、标准差的简捷算法

12、 上述计算方差、标准差的公式比较麻烦上述计算方差、标准差的公式比较麻烦,统统计实践中常用以下简捷法进行计算计实践中常用以下简捷法进行计算,即方差即方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方平方,标准差等于变量平方的平均数减去变标准差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方再开平方。公式如量平均数的平方再开平方。公式如P90 四、离散系数四、离散系数 极差、平均差、方差和标准差这些测量离极差、平均差、方差和标准差这些测量离散程度的指标在计算中都与其变量数列的散程度的指标在计算中都与其变量数列的平均水平的高低有关。因此平均水平的高低有关。因此,使用这些指标使用

13、这些指标时则要求两变量数列的平均数相同。在实时则要求两变量数列的平均数相同。在实践中践中,有些变量数列水平或性质不同有些变量数列水平或性质不同,单凭以单凭以上绝对指标就难以判断平均数的代表性上绝对指标就难以判断平均数的代表性,这这时就需要计算离散系数时就需要计算离散系数,才能比较变量数列才能比较变量数列差异程度的大小。差异程度的大小。 1.离散系数的概念 离散系数V是标准差与平均数之比。 离散系数主要用于比较不同水平的变离散系数主要用于比较不同水平的变量数列的离散程度及平均数的代表性。量数列的离散程度及平均数的代表性。离散系数小说明平均数的代表性大离散系数小说明平均数的代表性大,反反之离散系数

14、大之离散系数大,平均数的代表性就小。平均数的代表性就小。离散系数指标有离散系数指标有:极差系数、平均差系极差系数、平均差系数、方差系数、标准差系数等数、方差系数、标准差系数等 2.计算公式计算公式: 极差系数极差系数: 平均差系数平均差系数: 方差系数方差系数: 标准差系数标准差系数: 通常所讲的离散系数就是指标准差系数。%100XRVR%10022XV%100.XDAVDA%100XV五、是非标志的平均数和标准差五、是非标志的平均数和标准差 在统计中在统计中,有时把总体的全部单位分为两个组有时把总体的全部单位分为两个组: 一组为具有某一标志表现的单位组一组为具有某一标志表现的单位组, 另一组

15、为不具有某一标志表现的单位组。另一组为不具有某一标志表现的单位组。 一般用一般用“1”表示具有某种标志表现表示具有某种标志表现, 用用“0”表示不具有某种标志表现。表示不具有某种标志表现。 因此因此,通过通过1和和0把不能用数值表示的标志把不能用数值表示的标志(也成为也成为品质标志品质标志)就可以转化为可以用数值表示的是非标就可以转化为可以用数值表示的是非标志。志。 设总体单位数为N，具有某种特征的单位数为N1，不具有该种特征的单位数为N0，若再假设具有某种特征的单位数占总单位数的比重(即成数)为p(p=N1/N)，不具有该种特征的单位数占总单位数的比重（成数）为q(q= N0/N)，则有：

16、N= N1+N0p+q=( N1/N)+( N0/N)=1 p=1- q 或 q =1- pp表示具有某种标志表现的单位数在总体单位数中占的比重表示具有某种标志表现的单位数在总体单位数中占的比重,也称为成数也称为成数;q表示不具有某种标志表现的单位数在总体单位数中占的比重表示不具有某种标志表现的单位数在总体单位数中占的比重,同样也成同样也成为成数为成数,两个成数之和等于两个成数之和等于1 是非标志的平均数和标准差的计算见表 XfXfXX 2)(XX fXX2)(1N1NP12)1 (P12)1 (NP0NP2P2P0NN1N12)1 (NP2P0N是非标志值是非标志值次数次数标志总量标志总量离

17、差离差离差平方离差平方离差平方乘权数离差平方乘权数 1 0 0 合计合计 - - + 是非标志的平均数 =p 是非标志的标准差=qpX XX 第三节偏态和峰度的测定第三节偏态和峰度的测定 一、一、 偏态的测定偏态的测定 偏态指非对称分布的偏斜状态。这里主要介绍皮偏态指非对称分布的偏斜状态。这里主要介绍皮尔逊偏态系数和中心矩偏态系数测定法。尔逊偏态系数和中心矩偏态系数测定法。 (一一)皮尔逊偏态系数测定法皮尔逊偏态系数测定皮尔逊偏态系数测定法皮尔逊偏态系数测定法是利用算术平均数与众数或中位数的距离来测法是利用算术平均数与众数或中位数的距离来测定偏态的。在次数分布完全对称的情况下定偏态的。在次数分

18、布完全对称的情况下,算术平算术平均数、中位数和众数完全相等。而在偏态分布中均数、中位数和众数完全相等。而在偏态分布中,三者之间尽管存在着差异三者之间尽管存在着差异,但中位数始终处在算术但中位数始终处在算术平均数和众数中间。因此平均数和众数中间。因此,算术平均数与众数之间算术平均数与众数之间的距离可以作为测定次数分布偏态的尺度的距离可以作为测定次数分布偏态的尺度 偏态偏态=算术平均数算术平均数 - 众数众数( ) 如果如果 ,这种偏态叫做正偏态或右偏态这种偏态叫做正偏态或右偏态; 反之反之,当当 时时,就叫做负偏态或左偏态。由于偏就叫做负偏态或左偏态。由于偏态的绝对数是以原来变量数列的计量单位表

19、示的态的绝对数是以原来变量数列的计量单位表示的,因此不能直接用来比较具有不同性质的变量数列因此不能直接用来比较具有不同性质的变量数列的偏态。为此的偏态。为此,需要把偏态的绝对数与相应的标准需要把偏态的绝对数与相应的标准差相比差相比,以消除计算单位的影响以消除计算单位的影响,计算一个相对数计算一个相对数,以表示偏斜的程度以表示偏斜的程度,叫偏态系数或偏斜度叫偏态系数或偏斜度,用来反用来反映数列分布的非对称程度。映数列分布的非对称程度。 )(X0MXX0M0M (二二)中心矩偏态系数测定法中心矩指各个变中心矩偏态系数测定法中心矩指各个变量值与平均数的离差的量值与平均数的离差的K次方的平均数次方的平

20、均数,也也称中心动差。其计算公式为称中心动差。其计算公式为: ffXXmkk)( 当当k=1时时, ，称为一阶中心动差，称为一阶中心动差,这这 时时 =0,即离差之和即离差之和; 当当k=2时时, ,称为二阶中心动差称为二阶中心动差,这这 时时 ,即方差即方差; 当当k=3时时, ,称为三阶中心动差称为三阶中心动差; 当当k=4时时, ,称为四阶中心动差。称为四阶中心动差。 中心矩偏态系数就是用三阶中心动差中心矩偏态系数就是用三阶中心动差 除以标准除以标准差的三次方差的三次方 计算的计算的,用用 表示表示,计算公式为计算公式为: ffXXm)(1ffXXm22)(ffXXm33)(ffXXm4

21、4)(1m22m3m33333m4 二、峰度的测定二、峰度的测定 峰度是频数分布的另一特征。它是指数据分布的峰度是频数分布的另一特征。它是指数据分布的曲线与正态分布曲线相比较曲线与正态分布曲线相比较,曲线顶端尖峭的程曲线顶端尖峭的程度度,统计上常用峰度系数统计上常用峰度系数 表示。峰度用四阶中表示。峰度用四阶中心距除以标准差的四次方心距除以标准差的四次方 来度量来度量,其计算公式其计算公式为为:4444m频数分布的峰度 第四节描述性统计指标的计算机实现 算术平均数、中位数、众数、最小值、最大值、全距、方差、标准差、偏态系数、峰度系数等都是描述数据特征最常用的的统计指标,有时也称为统计量。 下面

22、我们使用spss软件,计算各描述性统计指标并绘制直方图及正态曲线图。 考试成绩（分）考试成绩（分）65-7575-8585-95合计合计学生人数（人）学生人数（人）35210已知10人小组某门课成绩资料如下：一、 操作步骤(1)打开数据文件“成绩.sav”,可以看到如图界面。 变量定义窗口(Variable View) (2)计算各描述统计量。点击AnalyzeDescriptive StatisticsFrequencies,出现Frequencies对话框,将左面的成绩变量选定,然后点击中间的按钮,使之进入右边的变量框中。 Frequencies对话框对话框 选择对话框左下角Display

23、 Frequency Tables表示显示频数分布表,点击Statistics按钮,弹出Frequencies:Statistics对话框,将需要计算的统计量选定;然后点击Charts按钮弹出对话框,选定图形种类,选择Histograms,如需画正态曲线,则选择With Normal Curve,点击OK,则输出需要显示的统计量与图形。 成绩直方图及正态曲线图二、输出结果输出结果 P98表6-8思考与练习思考与练习 1. 什么是变异指标什么是变异指标?有何作用？变异指标有哪些有何作用？变异指标有哪些种类？种类？ 2. 全距、平均差、标准差各有什么特点？全距、平均差、标准差各有什么特点？ 3. 什么是标准差系数？计算它有何意义？既然有什么是标准差系数？计算它有何意义？既然有了标准差了标准差,为什么还要计算标准差系数？为什么还要计算标准差系数？ 4. 试证明标准差等于变量平方的平均数减去变量试证明标准差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方再开平方。平均数的平方再开平方。 5. 离散系数离散系数(即标准差系数即标准差系数)为为V=,如果我们改变如果我们改变为为,这个新系数的意义是什么？这个新系数的意义是什么？ 6. 什么是偏众和峰度？如何测定？什么是偏众和峰度？如何测定？