(本科）第11章-弯曲应力.ppt

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1、课程主讲人：第11章-弯曲应力单辉祖:工程力学2第 11 章 弯曲应力 对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度分析与设计 非对称弯曲应力 弯拉(压)组合问题本章主要研究：单辉祖:工程力学31 引言2 对称弯曲正应力 3 惯性矩与平行轴定理4 对称弯曲切应力5 梁的强度条件6 梁的合理强度设计7 非对称弯曲应力8 弯拉(压)组合单辉祖:工程力学41 引 言 弯曲应力与对称弯曲弯曲应力与对称弯曲单辉祖:工程力学5 弯曲应力与对称弯曲弯曲应力与对称弯曲弯曲应力 弯曲正应力弯曲正应力梁弯曲时梁弯曲时横截面上的正应力横截面上的正应力 弯曲切应力弯曲切应力梁弯曲梁弯曲时横截面上的切应力时横截面上的切应力

2、对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式外力时的受力与变形形式对称弯曲对称弯曲单辉祖:工程力学62 对称弯曲正应力 弯曲弯曲试验与假设试验与假设 对称弯曲正应力公式对称弯曲正应力公式 例题例题单辉祖:工程力学7 弯曲试验与假设弯曲试验与假设弯曲试验单辉祖:工程力学8试验现象 横线为直线横线为直线, 仍与纵线正交仍与纵线正交 靠顶部纵线缩短靠顶部纵线缩短, 靠底部纵靠底部纵 线伸长线伸长 纵线伸长区纵线伸长区, ,截面宽度截面宽度减小减小 纵线缩短区纵线缩短区, 截面截面宽度宽度增大增大弯曲假设 横截面横截面变形后变形后保持平面，仍与纵线正交

3、保持平面，仍与纵线正交弯曲平弯曲平面假设面假设 各纵向各纵向“纤维纤维”处于单向受力状态处于单向受力状态单向受力假单向受力假设设（纯弯与正弯矩作用）（纯弯与正弯矩作用）单辉祖:工程力学9推 论 梁内梁内存在一长度不变的过渡层存在一长度不变的过渡层中性层中性层 中性层与横截面的交线中性层与横截面的交线中性轴中性轴 横截面间绕中性轴相对转动横截面间绕中性轴相对转动 中性轴中性轴截面纵向对称轴截面纵向对称轴单辉祖:工程力学10 对称对称弯曲正应力公式弯曲正应力公式公式的建立几何方面几何方面: dd)d()(yy物理方面物理方面:)()(yEy y 静力学方面静力学方面: (b) 0d , 0 AxA

4、F (c) d , 0MAyMAz (a) )( yEy 单辉祖:工程力学11MAyEAd2 (a)(b) 0d AAy0dAAyyAC中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心(a)(c) AzAyI d 2z)(IMyy zEIM 1(d)(a)zIMymaxmax zWMmax 抗弯截面系数抗弯截面系数maxyIWzz(a) yE (b) 0dAA (c) dMAyA (d)惯性矩惯性矩单辉祖:工程力学12结论结论中性轴过截面形心中性轴过截面形心zEIM 1zIMyy )( 中性轴位置：中性轴位置： 截截面面弯弯曲曲刚刚度度）（zEIzWM max 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（zW 正正

5、应力公式：应力公式： 中性层曲率：中性层曲率：)()(yEy 0d AA MAyAd pmax , 对称弯曲对称弯曲, 纯弯与非纯弯纯弯与非纯弯 惯性矩）惯性矩）（zI 应用条件：应用条件：总总 结结假设假设平面假设，单向受力假设平面假设，单向受力假设综合考虑三方面综合考虑三方面 yy )(单辉祖:工程力学13几个易混淆的概念 对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式力时的受力与变形形式 纯纯 弯弯 曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常曲梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态数的受力状态 中性轴横截面受拉与受压区的分界

6、线中性轴横截面受拉与受压区的分界线 形心轴通过截面形心的坐标轴形心轴通过截面形心的坐标轴 弯曲刚度弯曲刚度EI代表梁截面抵抗弯曲变形的能力代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数抗弯截面系数Wz代表梁截面几何性质对弯曲强度代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响的影响中性轴与形心轴中性轴与形心轴对称弯曲与纯弯曲对称弯曲与纯弯曲 截面弯曲刚度与抗弯截面系数截面弯曲刚度与抗弯截面系数单辉祖:工程力学14 例例 题题 例 2-1 梁用梁用18 工字钢制成工字钢制成，Me=20 kNm, E=200 GPa,求最大弯曲正应力求最大弯曲正应力 max ，梁轴曲率半径梁轴曲率半径 解：1. 工字钢（工字钢（

7、GB 706-1988）一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zW18 工字钢：工字钢：单辉祖:工程力学152. 应力计算应力计算3. 变形计算变形计算mkN 0 .20e MMMe=20 kNm，E=200 GPa，求求 max 与与 45m 1066. 1 zI34m 1085. 1 zWzWMmax zEIM 1MEIz MPa 1 .108m 166单辉祖:工程力学163 惯性矩与平行轴定理 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 简单截面惯性矩简单截面惯性矩 平行轴定理平行轴定理 例题例题单辉祖:工程力学

8、17 静矩与惯性矩静矩与惯性矩 AzAySd静矩惯性矩 niizzSS1 niizzII1 AzAyId24L3LCAy 截面对截面对z轴的轴的静矩静矩截面对截面对 z 轴的轴的惯性矩惯性矩 niCiiyA1 AyAzSdCAz CiniiyzAS 1 AyAzId2 niiyyII1 单辉祖:工程力学18 简单截面惯性矩简单截面惯性矩矩形截面惯性矩maxyIWzz AzAyId2圆形截面惯性矩AIAd2p zII2p 6424pdIIz 3226434dddWz ybyhhd2/2-2 123bh 62bh AzyAd)(22 yzIII p2123hbh 单辉祖:工程力学19 平行轴定理平

9、行轴定理平行轴定理Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz 任意直角坐标系任意直角坐标系 AzAyId22020d2dAaAyaAyIAAz 20AaIIzz AyIAzd200 同理得：同理得：20AbIIyy 0d 0 AAy AzAayId20二者平行二者平行的关系的关系与与建立建立 0zzII单辉祖:工程力学20 例例 题题 例 3-1 已知：已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120 mm, d d=20 mm试计算：试计算：截面截面 B-B 的最大拉应力的最大拉应力 t,max与压应力与压应力 c,max解：1. 弯矩计算弯矩计算mN 6000 FlMB2. 形心位

10、置计算形心位置计算由矩形由矩形 1 与矩形与矩形 2 组成的组合截面组成的组合截面m 045. 022 bbbbbd dd dd dd dd dd d212211AAyAyAyCCC 单辉祖:工程力学213. 惯性矩计算惯性矩计算46-231m 103.02212 d dd dd dCzybbI46-232m 105.82212 CzybbbId dd dd d4621m 1084. 8 zzzIII4. 最大弯曲正应力最大弯曲正应力MPa 5 .30maxt, zCBIyM MPa 5 .64)(maxc, zCBIybMd d 21zzzIII 单辉祖:工程力学22例 3-2 已知已知：钢

11、：钢带厚带厚 d d = 2 mm, 宽宽 b = 6 mm, D=1 400 mm, E=200 GPa。试计算。试计算：带内的带内的 max 与与 M解：1. 问题分析问题分析 yE maxmax yE zEIM 1 应力应力-变形关系：变形关系： 内力内力-变形关系：变形关系：已知钢带的变形（轴线曲率已知钢带的变形（轴线曲率半径），求钢带应力与内力半径），求钢带应力与内力 zEIM 单辉祖:工程力学23带厚带厚 d d=2 mm, 宽宽 b= 6 mm, D = 1 400 mm, E = 200 GPa，求，求 max 与与 M22d d D maxmaxyE 2. 应力计算应力计算M

12、Pa 285maxmax yE2maxd d y3. . 弯矩计算弯矩计算zEIM 1 zEIM 12 3d d bE mN 141. 1 m 701. 0 m 100 . 13 单辉祖:工程力学244 对称弯曲切应力 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力 薄壁截面梁的薄壁截面梁的弯曲切应力弯曲切应力 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较 例题例题单辉祖:工程力学25 矩形截面梁的弯曲切应力矩形截面梁的弯曲切应力假设 t t (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布狭窄矩形截面梁狭窄矩形截面梁 (hb)xFbydd1)( t tSz(w

13、w)面积面积 w w 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩FxbFxdd , 0 t t w w AFd w wAyIMzd*zzIMS)(w w 弯曲切应力公式单辉祖:工程力学26bISFyzz)()(Sw wt t xMbISyzzdd)()(w wt t xFbydd1)( t tzzIMSF)(w w yhyhbSz2212)(w w 22S4123)(hybhFyt tAFSmax23 t t123bhIz 2242yhb单辉祖:工程力学27截面翘曲与非纯弯推广 切应变切应变非均布非均布 截面翘曲截面翘曲（abab（=，弯曲，弯曲 仍保持线性分布仍保持线性分布切应力非均布切应力非均布当

14、梁上作用横向分布载荷时，只要当梁上作用横向分布载荷时，只要 l 5h，纯弯，纯弯 公式仍足够精确公式仍足够精确当当FS= =常数时，常数时，单辉祖:工程力学28 薄壁截面梁的薄壁截面梁的弯曲切应力弯曲切应力工字形薄壁梁d dw wt tzzISFy)()(S 假设假设 : : t t / 腹板侧边腹板侧边, 并沿其厚度均匀分布并沿其厚度均匀分布)4()(8)(22220SyhhhbIFyzd dd dt tw w y 下侧部分截面下侧部分截面对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩(0)maxt tt t )2(minh t tt t单辉祖:工程力学29盒形薄壁梁d dw wt t2)()(S zz

15、ISFyw w )4(2)(61)(22220SyhhhbIFyz d dd dt t假设假设 : : t t / 腹腹板侧边板侧边, 并沿并沿腹板厚度均布腹板厚度均布单辉祖:工程力学30 弯曲正应力与弯曲切应力比较弯曲正应力与弯曲切应力比较zWMmaxmax AFSmax23t tFbhbhFl3262maxmaxt t 当当 l h 时，时， max t tmax26bhFl62bhFlbhF23hl4单辉祖:工程力学31 例例 题题例 4-1 FS = 15 kN, Iz = 8.84 10-6 m4, b = 120 mm, d d 20 20 mm, yC =45 mm。试求试求:

16、t tmax ；腹板与翼缘交接处弯曲腹板与翼缘交接处弯曲切应力切应力t ta 。2)()(max,CCzybybS d dd dd dMPa 667maxSmax.ISFz, z d dt t35-,m 108.402CazybbSd dd dMPa 13. 7,S d dt tzazaISF解：352maxm 100392)( .ybSC, zd dd d单辉祖:工程力学325 梁的强度条件 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态 梁的强度条件梁的强度条件 例题例题单辉祖:工程力学33 梁梁危险点处的应力状态危险点处的应力状态实心与非薄壁截面梁a与与c 点处单向应力点处单向应力b 点处纯剪

17、切点处纯剪切单辉祖:工程力学34薄壁截面梁c 与与d 点处单向应力点处单向应力a 点处纯剪切点处纯剪切b 点处点处 与与t t 联合作用联合作用d单辉祖:工程力学35 梁的强度条件梁的强度条件 弯曲弯曲正应力正应力强度条件：强度条件： 弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件：max maxt tt t t t 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力 材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力强度条件的应用 细长非薄壁梁细长非薄壁梁 短而高梁、薄壁梁、短而高梁、薄壁梁、 M 小小 FS大的梁或梁段大的梁或梁段) (maxmaxt t max max maxt tt t 梁的强度条件 对一般薄壁梁，对

18、一般薄壁梁，还应考虑还应考虑 与与t t 联合作用下的联合作用下的强度问题强度问题（参见第（参见第 14 章中的强度理论）章中的强度理论）单辉祖:工程力学36 例例 题题例 5-1 简易吊车梁，简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m， = 100 MPa ，t t = 60 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号解：1. 危险工作状态分析危险工作状态分析lFlF)()(S FF maxS lFM 1)(4maxFlM 移动载荷问题移动载荷问题单辉祖:工程力学372. 按弯曲按弯曲 条件选截面条件选截面 4max FlMWz 选选 22a, Wz=3.0910-4 m43. 校核梁的剪切强度

19、校核梁的剪切强度d dd dt tzzzzIFSISFmax,max,maxSmax MPa 11.14maxt tt t 44m 1003 .d dmax, zzSIF 4maxFlM FF maxS单辉祖:工程力学38例 5-2 铸铁梁铸铁梁， y1 = 45 mm，y2 = 95 mm， t = 35 MPa ， c = 140 MPa，Iz =8.8410-6 m4，校核梁的校核梁的强度强度解：MD最大正弯矩最大正弯矩MB最大负弯矩最大负弯矩危险截面危险截面 截面截面 D, B单辉祖:工程力学39daBDyyMM , 因da 故危险点危险点zDaIyM2 MPa 859-. zDbIy

20、M1 MPa 328. zBcIyM2 MPa 633. MPa 859maxc,.a MPa 633maxt,.c c t a, b, c截面截面D截面截面B单辉祖:工程力学406 梁的合理强度设计 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁 梁的合理强度设计梁的合理强度设计 例题例题单辉祖:工程力学41 梁的合理截面形状梁的合理截面形状 将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性与将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性与脆性材料的差异脆性材料的差异tctcyy上下上下对称对称塑性塑性材料材料脆性脆性材料材料 注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性注重弯

21、曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性避免剪切破坏避免剪切破坏与局部失稳与局部失稳单辉祖:工程力学42 变截面梁与等强度梁变截面梁与等强度梁)()( xWxM弯曲等强条件弯曲等强条件FxxM)(6)()(2xbhxW6)( bFxxh)(2)(3St txbhxF123)(hbFxht tFxF)(S等强度梁各横截面具有同样强度的梁剪切等强条件剪切等强条件单辉祖:工程力学43单辉祖:工程力学44 梁的合理受力梁的合理受力合理安排约束 a = ? F 最大最大单辉祖:工程力学45合理安排加载方式8/6/4/FlFlFl单辉祖:工程力学46 例例 题题例 6-1 梯形截面梁，梯形截面梁， t = 45

22、 MPa， c = 80 MPa，试求，试求 a 与与 b 的最佳比值。的最佳比值。解：1. 形心的最佳位置形心的最佳位置tcmax , tmax c, tc yyh)( 259 ahy 2. a与与b的最佳比值的最佳比值)( 2 3bbabahy 232 ba得：得：IMy )()(ba 单辉祖:工程力学477 双对称截面梁的非对称弯曲 弯曲正应力分析弯曲正应力分析 中性轴与最大弯曲正应力中性轴与最大弯曲正应力 例题例题单辉祖:工程力学48 弯曲正应力分析弯曲正应力分析非对称弯曲双对称截面梁双对称截面梁非对称弯曲非对称弯曲非对称截面梁非对称截面梁非对称弯曲非对称弯曲单辉祖:工程力学49弯曲正

23、应力分析zzyyIyMIzM 矢量沿坐标轴正矢量沿坐标轴正向的弯矩向的弯矩M为正为正利用叠加法分利用叠加法分析内力与应力析内力与应力弯曲正应力沿横截面线性分布单辉祖:工程力学50 中性轴与最大弯曲正应力中性轴与最大弯曲正应力0yzzyIyMIzMyz tanyzzyMMII0)0 , 0( zzyyIyMIzM 中性轴为通过横截面形心的直线中性轴为通过横截面形心的直线中性轴位置与方位0zzyyIyMIzM中性轴的方位角为：中性轴的方位角为：yzzyMMIIarctan单辉祖:工程力学51 max 发生发生在离中性在离中性轴最远的轴最远的各点处各点处zzyy,WMWMmaxcmaxt zazya

24、y,IyMIzMmaxcmaxt 矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：最大弯曲正应力单辉祖:工程力学52 例例 题题例 7-1 Fy =Fz =F = 1.0 kN，a = 800 mm，截面高截面高 h = 80 mm，宽宽 b = 40 mm， = 160 MPa ，校核梁强度校核梁强度解：1. 内力分析内力分析FaMFaMzAyA ,2危险截面截面危险截面截面 A单辉祖:工程力学532. 应力分析应力分析危险点危险点d, fzzAyyAWMWMmax 66222bhFahbFaMPa 5 .1463. 强度校核强度校核危险点处于单向应力状态危险点处于单

25、向应力状态 max MPa 160单辉祖:工程力学548 弯拉(压)组合 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力 偏心压缩应力偏心压缩应力 例题例题单辉祖:工程力学55 弯拉弯拉( (压压) )组合的应力组合的应力实例弯拉组合弯拉组合偏心拉伸偏心拉伸（外力平行并（外力平行并 偏离轴线）偏离轴线）（横向载荷轴向载荷）（横向载荷轴向载荷）单辉祖:工程力学56弯拉(压）组合分析AF N zIyMmaxM zWMAFmaxmax MN zIyMAFmax max 危险点处单向应力危险点处单向应力内力内力FN，Mmax单辉祖:工程力学57 偏心压缩应力偏心压缩应力外力向形心简化外力向形心简化弯压组

26、合弯压组合zzIFeyIMy M FeM FF NAFN zIFeyAF 0 zyIyFeAFAeIyz 中性轴与载荷作用点位于形心轴中性轴与载荷作用点位于形心轴 z 两侧两侧反反之之愈愈远远中中性性轴轴离离形形心心轴轴愈愈近近, , 偏偏心心距距俞俞大大，异号异号与与 ey成成反反比比与与 ey单辉祖:工程力学58 例例 题题例 8-1 F = 10 kN，l = 2 m，e = l / 10，a a 3030 ， 160160 MPa，选择工字钢型号，选择工字钢型号解：1. 计算简图计算简图eFMx exCFF sin30FFy cos30eF cos30F 外力分解，向梁轴简化外力分解，

27、向梁轴简化单辉祖:工程力学592. 内力分析内力分析3. 截面型号初选截面型号初选N zAAWMAF AzMW 选选 12.6, Wz=7.7510-4 m4 , A=1.8110-3 m24. 校核与修改设计校核与修改设计12.6 满足强度要求，否则修改设计满足强度要求，否则修改设计按弯曲强度初步设计按弯曲强度初步设计 zAWMzAAWMAF Nmax MPa 5 .111 45m 10175 .单辉祖:工程力学60例 8-2 图示圆截面铸铁杆，直径为图示圆截面铸铁杆，直径为d。试证明当偏心距试证明当偏心距 e d / 8 时，横截面上无拉应力。时，横截面上无拉应力。横截面上无拉应力的条件中性轴与周边相切横截面上无拉应力的条件中性轴与周边相切AeIyz eddy146424 解：2 dy 令令8 de于是得于是得ed162 ed162 单辉祖:工程力学61本章结束！