（高职）第7章 直线与平面及两平面的相对位置ppt课件.ppt

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1、第第7章章 直线与平面及两平面的相对位置直线与平面及两平面的相对位置精品资源共享课制图教研室画法几何画法几何第七章第七章直线与平面直线与平面及两平面的相对位置及两平面的相对位置画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 7-1 直线与平面以及平面与平面平行 7-2 直线与平面以及平面与平面相交 7-3 直线与平面以及平面与平面垂直画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 7-1 直线与平面直线与平面以及以及平面与平面平行平面与平面平行 一、直线与平面平行一、直线与平面平行 1直线与一般位置平面平行直线与一般位置平面平行 几何条件： 若平面外一直线与

2、平面上某一直线平行，则此直线与该平面平行。 若一直线与某平面平行，则在平面上必能若一直线与某平面平行，则在平面上必能作出直线与原直线平行。作出直线与原直线平行。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 如图7-1所示，直线AB平行于平面P的一条边CD，直线EF平行于平面内的直线GH，所以直线AB和EF都是平面P 的平行线。图图7-1 直线与平面平行直线与平面平行 画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 投影特点：直线E

3、F的水平投影efad，正面投影ef ad,直线AD在ABC内，故EFABC（图7-2）。图图7-2 直线与一般位置面平行直线与一般位置面平行画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例例7-1 过已知点K，作一水平线KM平行于已知平面ABC（见图7-3）图图7-3 (a) 已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 解：1、分析：与ABC平行的水平线，必平行于平面内的一条水平线，再根据水平线的投影特点，此题即可解。 2、作图：过点A在ABC上作一水平线AD（其投影为ad和ad），再过点K作直线KM，使kmad，kmad。画法几何画法

4、几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室图图7-3 (b) 作图过程作图过程画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 2直线与投影面垂直面平行直线与投影面垂直面平行 根据几何定理和投影面垂直面的投影特点可知，直线与投影面垂直面平行，则该投影面垂直面的积聚投影必然与该直线的同面投影平行。 如图7-4所示，直线DE平行于铅垂面ABC，则它们的水平投影也是相互平行的。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室图图7-4 直线与投影面垂直面平行直线与投影面垂直面平行画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 练习题1如图所

5、示，已知点G和处于铅垂位置的矩形平面ABCD，以及直线EF的正面投影ef和端点E的水平投影e，并知EF平行于矩形平面ABCD。补全EF的水平投影，过点G作平行于矩形ABCD的平面。(a)(a)已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室(b)(b)检验、作图过程和作图结果检验、作图过程和作图结果画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 练习题:如图所示，已知直线如图所示，已知直线AB、CDE、点点P的两面投影，检验直线的两面投影，检验直线AB是否平行于是否平行于CDE，并过点，并过点P作平行于作平行于CDE的平面。的平面。(a)(a)

6、已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室(b)(b)检验、作图过程和作图结果检验、作图过程和作图结果画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 二、平面与平面平行二、平面与平面平行 1两一般位置面相互平行两一般位置面相互平行 几何条件： 若一平面上的两相交直线对应的平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 投影特点：如图7-5所示平面A

7、BC和KMN的投影图，水平投影中ackm，bckn，正面投影中，ackm，bckn，故ABCKMN。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室图图7-5 平面与平面平行平面与平面平行画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例例7-2判断平面ABCD和平面EFG是否平行（见图7-6）。 解：1、分析：根据判断定理，可在任一平面内作两相交直线，如在另一平面上能找到与它们平行的两相交直线，则两平面平行，反之则不平行。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 2、作图：在平面ABCD上作直线AM和AN，使amef，aneg,再作出

8、am和an，由于amef，aneg，即两相交直线AMEF,ANEG,故平面ABCD和EFG平行画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-6 判断两平面是否平行判断两平面是否平行画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 2两投影面垂直面相互平行两投影面垂直面相互平行 两相互平行的平面同时垂直于同一投影面时，在该投影面上的投影也相互平行。 如图7-7所示，相互平行的平面P和Q均为铅垂面，因此他们的水平投影为相互平行的投影积聚线。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-7 两投影面垂直面平行两投影面垂直面平行画

9、法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室练习题练习题:判断两位置关系判断两位置关系:平行或不平行平行或不平行?p pq qpqp q 画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例例7-3过直线过直线AB作作ABC平面DEFG(见图7-8)。 图图7-8作平面平行于已知平面作平面平行于已知平面（a）已知条件）已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 1、分析：平面DEFG是铅垂面，则ABC也是铅垂面，ab即为ABC的水平投影；同时ABC平面DEFG，ABC内两相交直线必平行于平面DEFG的两相交直线。画法几何画法几何精

10、品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 2、作图：以A，B为端点作直线ACEF,BCGF，即ac ef,bc gf，再求出c，可得平行于平面DEFG的ABC的投影。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-8（b）作图过程作图过程画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室7-2 直线与平面以及平面与平面相交直线与平面以及平面与平面相交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 一、一般位置直线（面）与投影面垂直面（一、一般位置直线（面）与投影面垂直面（线）相交线）相交 参与相交的平面（直线）是投影面的垂直面（线

11、），那么在该投影面上平面（直线）的投影有积聚性，利用积聚投影可确定交点在该投影面上的投影，再根据属于直线（平面）的点的投影特点，即可确定交点的其他面投影，求出交点之后，还需判别可见性。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 参与相交的两元素中，至少有一个垂直于某投影面，其投影有积聚性，这种情况为特殊位置的相交，作图较为简便。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室1直线与特殊位置平面相交直线与特殊位置平面相交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室可见性判别可见性判别画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室

12、制图教研室可见性判别可见性判别画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例例7-4求直线求直线AB与平面与平面Q的交点，并判断的交点，并判断可见性（见图可见性（见图7-9）。）。 图图7-9 一般位置直线与投影面一般位置直线与投影面垂直面相交垂直面相交 （a）已知条件）已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 解：1、分析：平面Q是一个铅垂面，因此直线AB与平面Q的交点的水平投影即为线ab和积聚线q的交点。对于可见性，以线面交点为分界，直线在交点两侧的可见性完全相反。 2作图：（1）求交点。ab与q的交点k即为直线AB与平面Q交点K的水平

13、投影，再根据点的投影规律和k在ab上，求出k。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 （2）判断可见性。 因为平面Q垂直于H面，H面投影不判断可见性。判别V面投影的可见性时，应先在V面投影上找出平面右边线（或左边线）的投影和直线投影ab的交点1和2和它们的水平投影1和2。根据水平投影位置判断出其正面投影的可见性，即平面上点1可见，而直线上点2不可见，因此点k右侧这一段线不可见，而左侧这一段可见。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-9（b）作图过程作图过程画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室练习题练习题:

14、如图所示，作直线如图所示，作直线AB与铅垂的矩形平面与铅垂的矩形平面DEFG的交的交点，并表明可见性。点，并表明可见性。(a)(a)已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室2投影面垂直线与平面相交投影面垂直线与平面相交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例例7-5求正垂线求正垂线MN与与ABC的交点，并判，并判断可见性（见图断可见性（见图7-10）。）。 解：其作图思路与例题7-4基本相同，只是具有积聚性的是直线而

15、非平面。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-10（a）已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-10（b）作图过程作图过程画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 练习题如图所示，作正垂线练习题如图所示，作正垂线EF与平行与平行四边形平面四边形平面ABCD的交点，并表明可见性。的交点，并表明可见性。(a)(a)已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室( (b) )作图过程和作图结果作图过程和作图结果画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图

16、教研室制图教研室 二、一般位置二、一般位置平平面与投影面垂直面相交面与投影面垂直面相交 欲求两平面的交线，只要求得属于交线的任意两点，然后将两点相连即可。 参与相交的平面之一是投影面的垂直面，那么垂直面在该投影面上的投影具有积聚性，利用积聚投影可以求到交线在该投影面上的投影，再根据属于平面的直线的求法，即可确定交线的其他投影。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室平面与特殊位置平面相交平面与特殊位置平面相交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室可见性判别可见性判别画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室可见性判别可见性

17、判别画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例例7-6求铅垂面求铅垂面Q和和ABC的交线，并判断可见性（见图7-11）。 图图7-11（a）已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 解：1、分析：欲求平面Q与ABC的交线，只需要分别求出ABC的AB、AC边与平面Q的交点，然后连接即得交线。至于交点的求法和可见性的判断，前面已经讨论过。 2、作图：（1）求直线AB与平面Q的交点N，其投影是n，n。（2）求直线AC与平面Q的交点M，其投影是m，m。（3）分别连接mn和mn，即为交线MN的投影。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共

18、享课制图教研室制图教研室 交线MN是可见与不可见的分界线，将三角形分成两个部分。当正对V面观察时，两平面重合的范围，其中一部分被平面Q挡住，在投影中为不可见，另一部分必然为可见。 平面Q的H面投影有积聚性，不判断可见性。判断V面可见性时，在两平面重合的范围，Q与ABC的可见性相反。具体的判别方法，需要运用前面的内容，确定平面上点1可见，直线ab上点2不可见，因此直线AC上的线段m2为虚线。同理判断，其可见性如图所示。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-11（a）作图过程作图过程画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 练习题如图所示

19、，作三角形练习题如图所示，作三角形ABC与铅垂与铅垂的矩形的矩形DEFG的交线，并表明可见性。的交线，并表明可见性。(a)已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 三、一般位置线与一般位置面相交一般位置线与一般位置面相交 一般位置的相交:参与相交的两元素参与相交的两元素都不垂直于投影面都不垂直于投影面，其投，其投影影都没有积聚性都没有积聚性，这种情况为一般位置的相，这种情况为一般位置的相交。交。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制

20、图教研室一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室用铅垂面作辅助面用铅垂面作辅助面画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室用正垂面作辅助面用正垂面作辅助面画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 如图7-12所示，欲求一般位置线DE和一般位置面ABC的交点，可过DE作辅助平面Q，求出平面Q和ABC的交线MN,MN与直线DE的交点K，即为DE和ABC的共同点。 图图7-12一般位置线一般位置线与一般位置面相交与一般位置面相交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课

21、制图教研室制图教研室 例例7-7求直线求直线DE与平面与平面ABC的交点（见图的交点（见图7-13）。）。图图7-13 求直线求直线DE与平面与平面ABC的交点（的交点（a）已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 解：1、分析：假想铅垂Q过直线DE，求DE与平面ABC的交点就转化成求DE和平面Q与平面ABC的交线的交点。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 2、作图：（1）过已知直线DE作铅垂面Q，则QH与de相重合；（2）求出平面Q与平面ABC的交线MN。由于QH,则mn与de重合，且m在ab边上，n在bc边上，由mn再求

22、出mn。（3）mn与de的交点即为DE与ABC交点的V面投影，再求出k。（4）根据前面所讲知识，判断可见性。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室图图7-13 求直线求直线DE与平面与平面ABC的交点（的交点（b）作图过程作图过程画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室练习题练习题:直线与平面相交直线与平面相交(a)已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室作图过程作图过程:(b)(b)用铅垂面解题用铅垂面解题(c)(c)用正垂面解题用正垂面解题画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研

23、室 四、两个一般位置平面相交四、两个一般位置平面相交 两个平面图形相交，当不扩大平面图形的边界线时，一般会出现全交或互交两种情况。图7-14（a）所示为三角形DEF全都穿过三角形ABC，称为全交；图7-14（b）所示为三角形ABC与三角形DEF的棱边互相穿过，称为互交。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-14 两平面图形相交两平面图形相交 （a）两平面图形全交）两平面图形全交（b）两平面图形互交）两平面图形互交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 欲求两平面的交线，只要求得交线上两点即可。可利用“线面交点”的方法求解： 在相交两

24、平面中，取某一平面的边求出它和另一平面的交点，这样连续求得两条边的交点，即可连成交线。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例例7-8求三角形求三角形ABC和三角形和三角形DEF的交线的交线（见图（见图7-15） 图图7-15（a）已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 解：1、分析：利用线面交点法求解。 2、作图：(1)以含DE的铅垂面为辅助面（图中没有画法），求出DE与三角形ABC的交点K。以含DF的铅垂面为辅助面（图中没有画），求出DF与三角形ABC的交点J。 （2）连接kj和kj即为两平面的交线。（3）判断可见性。此

25、时应注意交线KJ为可见与不可见的分界线。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-15（b）作图过程作图过程画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室练习题练习题:平面与平面相交平面与平面相交(a)(a)已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室7-3 直线与平面、平面与平面垂直直线与平面、平面与平面垂直 一、直线与平面垂直一、直线与平面垂直 1、直线垂直于一般位置面、直线垂直于一般位置面 几

26、何定理：如果一条直线和一平面内的两条相交直线垂直，则直线与该平面垂直（过交点或不过交点）。反之，如直线与平面垂直，则直线垂直于平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室直线与平面垂直直线与平面垂直画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室直线与一般位置平面相垂直的投影特性直线与一般位置平面相垂直的投影特性直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的水平投影与平面上水平线的水平投影相垂直；直线的正面投影与平面上正平线的正面投影相垂直；直线的侧面投影与平面上侧平线的侧面投影相垂直。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源

27、共享课制图教研室制图教研室画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例例7-9过点M作直线MN垂直于平面ABC,交平面于点K(见图7-17)。 图图7-17（a）已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 解：1、分析：直线MN平面ABC，则mn平面内一水平线水平投影，mn 平面内一正平线的正面投影。对于垂足K，即为MN与ABC的交点，可利用线面交点的求法求解。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 2、作图：(1)作水平线A1，其投影为a1,a1。过点M作MNA1，即作mna1. （2）同理作正平线C2，

28、其投影为c2,c2。过点M作MNC2，及作mnc2。 （3）求交点K。利用一般线与一般面交点的求法求解，求到交点K的投影k，k。 （4）最后判断可见性。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 图图7-17（b）作图过程作图过程画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例题如图所示，例题如图所示，过点过点A作一平面垂直于作一平面垂直于一般位置直线一般位置直线BC。(a)(a)已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制

29、图教研室制图教研室 2、直线垂直于投影面垂直面、直线垂直于投影面垂直面 直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平面所垂直的投影面，该面的积聚投影和该直线的同面投影相互垂直。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 如图7-18（a）所示，AB铅垂面P，必平行于水平H，且abPH。在投影图中，如图7-18（b）所示，作铅垂面P的水平投影PH 垂线ab，则AB为水平线其正面投影ab X轴，且AB平面P。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室画法几何画法几何精品资源

30、共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例题如图a所示，过点A作正垂面三角形CDE的垂线AB和垂足B，并确定点A与三角形CDE平面的真实距离。(a)(a)已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 二、平面与平面垂直二、平面与平面垂直 几何定理：如一直线垂直于平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。反之，如两平面相互垂直，则从第一个平面上任一点向第二个平面所作的垂线，必定在第一个平面内，如图7-19所示。画法几何画法几何精品资源共享课精品

31、资源共享课制图教研室制图教研室 7-19 两平面垂直两平面垂直画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 两平面互相垂直的投影特性：包含一条平面的垂直线所作的平面，与该平面垂直。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例例7-10包含直线包含直线MN作一平面，使它垂直作一平面，使它垂直于于ABC（见图7-20）。 7-20 (a) 已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 解：1、分析：平面要垂直于ABC，则平面要过ABC的一垂线，且垂线应与MN共面。 2、作图：（1）在ABC内任取一水平线AD和正平线AE

32、； (2)过M点作mkad，mkae； （3）MK与MN所构成的平面即为所求。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 7-20（b）作图过程）作图过程画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例题如图所示，过点例题如图所示，过点A作一平面，平行作一平面，平行于直线于直线BC，垂直于三角形，垂直于三角形DEF。(a)(a)已知条件已知条件画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室(b)(b)作图过程和作图结果作图过程和作图结果画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 例题例题如图所示，检验两三角形如图

33、所示，检验两三角形ABCABC与与DEFDEF是否垂直。是否垂直。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室(b)(b)检验的作图过程和作图结果检验的作图过程和作图结果精品资源共享课制图教研室画法几何画法几何习题课习题课画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 直线与平面以及平面与平面相对位置习题课 一、点、直线、平面投影知识点回顾 二、直线与平面以及平面与平面位置关系 三、直线、平面相对位置关系习题画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 一、点、直线、平面投影 知识点复习回顾: 1点的投影特性画法几何画法几何精品资源共享

34、课精品资源共享课制图教研室制图教研室 2直线的分类及投影特性 (1)直线的分类 一般位置直线 投影面平行线:水平线、正平线、侧平线； 投影面垂直线：铅垂线、正垂线、侧垂线；画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 (2)直线的投影特性 一般位置直线:三个投影都倾斜于投影轴，长度缩短，不能直接反映直线对投影面的倾角。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 投影面平行线名称 水平线正平线侧平线立体图投影图画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 投影面平行线的投影特性： （1）投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映实长，与

35、投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的倾角。 （2）另两个投影分别平行于相应的投影轴，但不反映实长。 画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室投影面垂直线投影面垂直线名称 水平线正平线侧平线立体图投影图画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 投影面垂直线的投影特性：投影面垂直线的投影特性： （1）投影面垂直线在垂直的投影面上的投影积聚成为一个点； （2）在另外两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，并反映实长。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 (3)直线上的点从属性 直线上点的投影位于直线的同面投影上画法几何画法

36、几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 (4)两直线的相对位置关系 平行:空间平行两直线的同面投影平行，反之亦然。 画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 相交直线投影画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 异面直线投影画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 垂直直线: 相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。画法几何

37、画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室设设 直角边直角边BC/H面面因因 BCAB BCBb所以所以 BCABba平面平面直线在直线在H面上的投影互面上的投影互相垂直相垂直即即 abc为直角为直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面BCbcABCabcHa c b abc.画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 3平面的分类及投影特性 (1)平面的分类 一般位置平面 投影面垂直面：铅垂面、正垂面、侧垂面； 投影面平行面：水平面、正平面、侧平面；画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 (2)平面的投影 一般位置平面:

38、三个投影都是面积缩小的类似形。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室投影面垂直面投影面垂直面画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 投影面垂直面的投影特性: （1）投影面垂直面在与其垂直的投影面上的投影积聚成一条倾斜于投影轴的直线，该直线与投影轴的夹角反映该平面与另两个投影面的倾角。 （2）在另外两个投影面上的投影是平面的类似形。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室投影面平行面投影面平行面画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 投影面平行面的投影特性 （1）投影面平行面在平行的投影面上的投

39、影反映实形； （2）在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。 画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 (3)平面上的点、直线 几何条件：几何条件： 平面上的点，必在该平面的一条直线上。 平面上的直线，必通过平面上的两点；或通过平面上的一点，且平行于平面上的另一直线。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 点在平面上的判定条件:如果点在平面内的一条直线上，则点在平面上。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 直线在平面上的判定条件:如果一直线通过平面上的两个点，或通过平面上的一个点，但平行于平面上

40、的一直线，则直线在平面上。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 二、直线与平面以及平面与平面位置关系 1直线与平面平行、平面与平面平行 (1) 直线与一般位置平面平行 若平面外一直线与平面上某一直线平行，则此直线与该平面平行。 (2)直线与投影面垂直面平行 直线与投影面垂直面平行，则该投影面垂直面的积聚投影必然与该直线的同面投影平行。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室2、 两平面平行两平面平行 若一平面上的若一平面上的两相两相交直线交直线对应平行于另对应平行于另一平面上的一平面上的两相交直两相交直线线，则这两平面相互，则这两平面相互平行

41、。平行。 若两若两投影面垂直面投影面垂直面相互平行，则它们相互平行，则它们具具有积聚性有积聚性的那组投影的那组投影必相互平行。必相互平行。f h a bcdefha b c d e c f b d e a abcdefooxx画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 2直线与平面相交(求交点) 交点是直线与平面的共有点 交点是直线可见与不可见的分界点。 (1)求直线与平面的交点。 (2)判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 (1)一般位置直线与特殊位置相交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课

42、制图教研室制图教研室 (2)特殊位置直线与一般位置平面相交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 (3)一般位置直线与一般位置平面相交画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 求一般位置直线与一般位置平面交点步骤(利用辅助平面法求交点)： 1过直线作铅垂平面。 2求平面与已知平面的交线。 3求交线与已知直线的交点。 4.判别可见性,完成作图画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 3平面与平面相交(求交线) 一般位置平面与特殊位置平面相交 欲求两平面的交线，

43、只要求得属于交线的任意两点，然后将两点相连即可。 利用积聚投影可以求到交线在该投影面上的投影，再根据属于平面的直线的求法，即可确定交线的其他投影。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 要解决的问题： 求两平面的交线 方法： 确定两平面的两个共有点。 确定一个共有点及交线的方向。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 一般位置平面相交: 欲求两平面的交线，只要求得交线上两点即可。可利用“线面交点”的方法求解： 在相交两平面中，取某一平面的边求出它和另一平面的交点，这样连续求得两条边的交点，即可

44、连成交线。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 两一般位置平面相交，求交线步骤： 1用求直线与平面交点的方法，作出两平面的两个共有点。 2连接两个共有点，画出交线。 3.判别可见性,完成作图.画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室abpa b p kk 直观判别法直观判别法交点两侧可见性相反交点两侧可见性相反可见性判别可见性判别画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室( )abpa b p kk 重影点判别法重影点判别法交点两侧可见性相反交点两侧可见性相反211 2 可见性判别可见性判别画法几何画法几何精品资源共享课

45、精品资源共享课制图教研室制图教研室 4直线与平面垂直、平面与平面垂直 （1）直线与一般位置平面垂直 几何条件： 如果一条直线和一平面内的两条相交直线垂直，则直线与该平面垂直（过交点或不过交点）。反之，如直线与平面垂直，则直线垂直于平面上的任意直线（过垂足或不过垂足）。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室直线与一般位置平面相垂直的投影特性直线与一般位置平面相垂直的投影特性直线与一般位置平面相垂直的投影特性：直线的水平投影与平面上水平线的水平投影相垂直；直线的正面投影与平面上正平线的正面投影相垂直；直线的侧面投影与平面上侧平线的侧面投影相垂直。画法几何画法几何精品资源共

46、享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 (2)直线垂直于投影面垂直面直线垂直于投影面垂直面 直线垂直于投影面垂直面时，它必然是一条投影面平行线，平行于该平面所垂直的投影面，该面的积聚投影和该直线的同面投影相互垂直。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 (3)平面与平面垂直 几何条件： 如一直线垂直于平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室 三、练习题讲解 习题1:判别由判别由ABCABC和和DEFDEF所表示的两平面所表示的两平面是否相互平行是否相互平行? ?画法几何画法几何精品资源共享课精品资源

47、共享课制图教研室制图教研室cabbadcefdef cabbamnonmf m b c f n a c 步骤步骤步骤步骤求求 fm 和和 fn结论结论 fm bc fn ac FM BC FN ACABC DEF画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室abcmnc n b a m 平面为特殊位置平面为特殊位置习题习题2 求直线求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC是一铅垂面，是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直其水平投影积聚成一条直线，该直线与线，该直线与mn的交点即的交点即为为K点的水平投影。点

48、的水平投影。 求交点求交点 判别可见性判别可见性由水平投影可知，由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投段在平面前，故正面投影上影上k n 为可见。为可见。还可通过重影点判别可见性。还可通过重影点判别可见性。k 1 (2 )作作 图图k21x画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室km(n)bm n c b a ac 直线为特殊位置直线为特殊位置空间及投影分析空间及投影分析 直线直线MN为铅垂线，其为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，水平投影积聚成一个点，故交点故交点K的水平投影也积聚的水平投影也积聚在该点上。在该点上。 求交点求交点 判别可见性判别可见性 点点位于平面上

49、，位于平面上，在前；点在前；点位于位于MN上，上，在后。故在后。故k 2 为不可见。为不可见。1 (2 )k 21作图作图用面上取点法用面上取点法x画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室b c f h a e abcefh1(2)空间及投影分析空间及投影分析 平面平面EFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有积聚性。正面投影有积聚性。a b 与与e f 的交点的交点m 、 b c 与与f h 的交点的交点n 即为两个共有点的正面投影，即为两个共有点的正面投影，故故m n 即即MN的正面投影的正面投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性点点在在FH上，点上，点在

50、在BC上，上，点点在上，点在上，点在下，故在下，故fh可见，可见，n2不可见。不可见。作作 图图mn 2 nm 1 习题习题3 求两平面的交线求两平面的交线MN并判别可见性。并判别可见性。画法几何画法几何精品资源共享课精品资源共享课制图教研室制图教研室abcdefc f db e a m (n )空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC与与DEF都为都为正垂面正垂面，它们的正面投影都，它们的正面投影都积聚成直线。积聚成直线。交线必为一条交线必为一条正垂线正垂线，只要求得交线上的只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影。一个点便可作出交线的投影。 求交线求交线 判别可见性判别可见性作作 图图