（高职）第1章极限与连续6（函数的连续）ppt课件.pptx

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1、第1章 极限与连续6（函数的连续）函数的连续性一、函数连续的概念一、函数连续的概念 1. 函数函数y=f(x)在点在点x0处连续处连续 定义定义：设函数：设函数y=f(x)在点在点x0处及其左右近旁有定处及其左右近旁有定义，如果当义，如果当x x0时，时， f(x)的极限存在，且等于它的极限存在，且等于它在点在点x0处的函数值处的函数值 f(x0) ，则称函数，则称函数 f(x)在点在点x0处处连续连续。 函数连续必须满足三个条件：函数连续必须满足三个条件： 函数在处函数在处x0有定义有定义 极限极限 存在存在 )(lim0 xfxx)()(lim00 xfxfxx例例 证明函数证明函数f(x

2、)=2x2+1在点在点x=2处连续处连续 证：证： 且且 即即 函数函数 f(x)=2x2+1在点在点x=2处连续处连续练习（练习（P29） 4. 作函数作函数 的图像，并讨的图像，并讨论函数在论函数在x=2处的连续性。处的连续性。 2321)(xxxxf)2()(lim2fxfx9122) 12(lim)(lim2222xxfxx9122)2(2f2. 函数函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内的连续性内的连续性 定义定义：如果函数：如果函数y=f(x)在区间在区间(a,b)内每一点都连内每一点都连续，则称函数续，则称函数 f(x)在区间在区间(a,b)内连续内连续，区间，区间(a,b)称

3、称为函数为函数f(x)的的连续区间连续区间。 可以证明：基本初等函数在其定义区间内都是连可以证明：基本初等函数在其定义区间内都是连续的。续的。 定理定理：设函数：设函数 f(x)和和g(x)在点在点x0处连续，则函数处连续，则函数在点在点x0处连续。处连续。 定理定理：设函数：设函数u=(x)在点在点x0处连续处连续， (x0) =u0，函数函数 y=f(u)在点在点u0处连续，则复合函数处连续，则复合函数 y=f (x)在在点点x0处连续。处连续。 可以证明：可以证明：一切初等函数在其定义区间内都是连一切初等函数在其定义区间内都是连续的续的。),()(xgxf),()(xgxf)()(xgx

4、f)0)(0 xg二、函数的间断点二、函数的间断点 如果函数如果函数y=f(x)在点在点x0处不连续，则点处不连续，则点x0称为函称为函数数 f(x)的的间断点间断点。 注：函数没有定义处肯定间断；注：函数没有定义处肯定间断； 分段函数的分段处可能间断。分段函数的分段处可能间断。 例例 考察下列函数在点考察下列函数在点x=1处的连续性处的连续性 解：点解：点x=1是是 f(x)、(x)、g(x) 、h(x）四个函数四个函数的间断点。的间断点。11111)(xxxxh11)(2xxxf1111)(xxxxx1211)(xxxxg间断的分类：间断的分类： 如果点如果点x0为函数为函数 y=f(x)

5、的间断点，且函数的间断点，且函数 y=f(x)在点在点x0处的左右极限都存在，则点处的左右极限都存在，则点x0称为函数称为函数 f(x)的的第一类间断点第一类间断点； 不是第一类间断点的所有间断点，都称为不是第一类间断点的所有间断点，都称为第第二类间断点二类间断点。 以上例题中，以上例题中， f(x)、(x)、g(x)是第一类间断点，是第一类间断点，而而h(x)是第二类间断点。是第二类间断点。练习（练习（P29）6. 讨论函数在指定点的连续性，若为间断点，判定讨论函数在指定点的连续性，若为间断点，判定其类别：其类别： 在在x=3处；处； 在在 x=0处。处。2)3(1)(xxf001)(2xx

6、xxxf三、闭区间上连续函数的性质三、闭区间上连续函数的性质 定义定义：如果函数：如果函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上有定义，上有定义，f(x)在开区间在开区间(a,b)内连续，且内连续，且 （称（称 f(x)在在x=a右连续），右连续）， （称（称f(x)在在x=b左连续），则称函数左连续），则称函数 f(x)在闭区间在闭区间 a,b上连续上连续。 定理定理（最大值最小值定理）：如果函数（最大值最小值定理）：如果函数 f(x) 在在闭区间上连续，则闭区间上连续，则 f(x)在在a,b上一定有最大值和最上一定有最大值和最小值。小值。 定理定理（介值定理）：如果函数（介值定理）：如果函数 f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，且在这区间的端点取不同的值上连续，且在这区间的端点取不同的值 f(a)=A ， f(b)=B ，C是是A 与与B之间的一个实数，则之间的一个实数，则 f(x)在区间在区间(a,b)内至少有一点内至少有一点 x=，使得：，使得：f( )=C (a 0, f(1)=-20； 函数函数 f(x)在在(0,1)内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得 f( ) =0; 即即 3-4 2+1=0 （0 1）；得证。）；得证。练习练习(P 29) 7. 证明证明:方程方程 x5-2x2+x+1=0在区间在区间(-1,1)内至少有内至少有一个实根。一个实根。