第2章控制系统的数学模型课件.ppt

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1、(Principles of Automatic Control）第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型 Chapter 2 Mathematical model of control system 描述系统输入、输出变量以及其内部其它描述系统输入、输出变量以及其内部其它变量之间的关系的数学表达式叫做系统的变量之间的关系的数学表达式叫做系统的数学模型数学模型(mathematical models)。 为了从理论上对控制系统进行定性的分析为了从理论上对控制系统进行定性的分析和定量的计算，首要的工作是建立系统的和定量的计算，首要的工作是建立系统的数学模型。数学模型。控制系统通常有两种

2、描述方法控制系统通常有两种描述方法: 一种是输入一种是输入-输出描述输出描述(Input-output description )，又称端部描述。，又称端部描述。 微分方程是这种描述的最基本形式，转递函数、框微分方程是这种描述的最基本形式，转递函数、框图等其它形式的数学模型均由它而导出。图等其它形式的数学模型均由它而导出。 另一种是状态变量描述另一种是状态变量描述(state variable description ) ，又称内部描述。，又称内部描述。 它不仅描述了系统的输入、输出的关系，而且也描它不仅描述了系统的输入、输出的关系，而且也描述了系统的内部特性述了系统的内部特性,这种描述方法特

3、别适用于多变量控这种描述方法特别适用于多变量控制系统。制系统。建立系建立系统数学统数学模型的方法模型的方法:解析法解析法实验实验法法本章重点内容：本章重点内容： 系统微分方程的列写系统微分方程的列写 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质 系统框图的建立和等效变换系统框图的建立和等效变换 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用建模建模 modelingmodeling传递函数传递函数 transfer functiontransfer function常用词汇常用词汇瞬态响应瞬态响应 transient response微分方程微分方程 differential equation2

4、.1 列写系统微分方程式的一般方法列写系统微分方程式的一般方法 系统微分方程系统微分方程(differential equation)是描是描述控制系统动态性能的一种数学模型。述控制系统动态性能的一种数学模型。 为使所建立的数学模型即简单又具有足够为使所建立的数学模型即简单又具有足够的精度，在推演系统的数学模型时，必须的精度，在推演系统的数学模型时，必须对系统作全面深入考察，以求能把那些对对系统作全面深入考察，以求能把那些对系统性能影响较小的一些次要因数略去。系统性能影响较小的一些次要因数略去。 用解析法推演系统的数学模型的用解析法推演系统的数学模型的前提前提是对是对系统的作用原理和系统中个元

5、件的物理属系统的作用原理和系统中个元件的物理属性有着深入的了解。性有着深入的了解。用解析法建立系统微分方程式的一般步骤是：用解析法建立系统微分方程式的一般步骤是：(1) 确定系统和各元件的输入量和输出量；确定系统和各元件的输入量和输出量；(2) 根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中每个元件的输入与输出的微分方程式；个元件的输入与输出的微分方程式；(3) 在所有元件的方程中消去中间变量，从而求得描在所有元件的方程中消去中间变量，从而求得描述系统输入与输出关系的微分方程式。述系统输入与输出关系的微分方程式。1. 电学系统电学系统例例2-1 图图2-1为

6、一电路，为一电路，试写出输入电压与输出试写出输入电压与输出电压之间的微分方程式。电压之间的微分方程式。解解: 根据基尔霍尔夫定律，根据基尔霍尔夫定律，可写出下列方程组可写出下列方程组rcuudtdiLiRidtCuc1 消去中间消去中间i i变量变量,则得则得 或写作或写作式中，式中， 式（式（2-1）就是图）就是图2-1所示电路的数学模型，所示电路的数学模型，它描它描述了该电路在述了该电路在 作用下电容两端电压作用下电容两端电压 的变化规律的变化规律。 rCCuudtduRCdtudLC22rccCcCLuudtduTdtudTT22 （21） .,RCTRLTCLcuru 例例2-2 已知

7、一已知一R-C网络如图所示，试写出该网网络如图所示，试写出该网络输入与输出之间的微分方程。络输入与输出之间的微分方程。解解 当后级的输入阻抗当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的很大，即对前级网络的影响可以忽略不计时，影响可以忽略不计时，由基尔霍夫写出下列的由基尔霍夫写出下列的方程组方程组ruRidtiiC11211)(1dtiiCRidtiC)(112112222cudtiC221消去中间变量消去中间变量 ,得得 或写为或写为21ii 、rcccuudtduCRCRCRdtudCCRR)(212211222121rcccuudtduTTTdtudTT)(3212221（2-2）2. 机械系统机

8、械系统例例2-3 设弹簧设弹簧-质量质量-阻尼器系统阻尼器系统(spring-mass-damper system)如图如图2-3所示。试求外力所示。试求外力F(t)与与质量块质量块M的位移的位移y(t)之间的之间的微分方程式。微分方程式。 解解 根据牛顿第二定律得根据牛顿第二定律得 22)()()()(dttydmdttdyftkytF)()()()(22tFtkydttdyfdttydm（2-3）22)(dttydmFma2.1.2 控制控制系统系统微分方程的建立微分方程的建立 找到控制系统的总输入量和最终的输出量，找到控制系统的总输入量和最终的输出量，明确系统中各元件的连接方式和各自的工

9、明确系统中各元件的连接方式和各自的工作原理作原理; 分别列写出各个典型元件的微分方程，组分别列写出各个典型元件的微分方程，组成方程组成方程组; 消去所有中间变量，得到系统最终输入量消去所有中间变量，得到系统最终输入量和输出量的关系式和输出量的关系式,即为控制系统的微分方即为控制系统的微分方程。程。 测速发电机测速发电机 tacho-generator 直流调速系统直流调速系统 DC speed control system 直流他励电动机直流他励电动机 DC separately excited motor 直流他励发电机直流他励发电机 DC separately excited genera

10、tor常用词汇常用词汇 例例2-5 直流调速系统直流调速系统(DC speed control system)当电动机的负载或电网电压变化时，由于系统当电动机的负载或电网电压变化时，由于系统的自动控制作用，电动机的转速能近似的维持的自动控制作用，电动机的转速能近似的维持不变。不变。 解解 系统框图系统框图在列写元件和系统方程式前，首先要确定输入量和输在列写元件和系统方程式前，首先要确定输入量和输出量。通常把与输出量有关的项写在方程式的左方，出量。通常把与输出量有关的项写在方程式的左方，与输入量有关的项写在右方。与输入量有关的项写在右方。 (1) 放大器放大器( amplifier) 假设无惯性

11、假设无惯性 （2）直流他励发电机）直流他励发电机(DC separately excited generator) 为分析简化起见，假设拖动发电机为分析简化起见，假设拖动发电机的原动机的转速的原动机的转速 恒定不变，发恒定不变，发电机没有磁滞回线和剩磁。此外，电机没有磁滞回线和剩磁。此外，还设发电机的磁化曲线为一直线，还设发电机的磁化曲线为一直线，即即 。 11Kuue0n/BiL 由电机学的原理得由电机学的原理得其中其中 。把式。把式(2-6)代入式代入式(2-5)，于是得，于是得式中，式中，1URidtdiLBB（2-5）（2-6）LCC1212UKEdtdEGGG（2-7）RLCKRLG

12、12；12GBECC i(3) 直流他励电动机直流他励电动机(DC separately excited motor) 由基尔霍夫定律和由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得牛顿第二定律得GeaaEnCdtdiLRidtdnGDTTLe3752aueicT 由上述三式中消去中间变量由上述三式中消去中间变量 后，得后，得式中式中, 称为电动机的机电时间常数；称为电动机的机电时间常数； 称为电动机的电气时间常数；称为电动机的电气时间常数； 的量纲与时间的量纲相同。的量纲与时间的量纲相同。 aeiT 、)(122dtdTTCCRECndtdndtndLaLueGemam (2-8) uemCCRGD3752

13、RLaam和（4 4）测速发电机）测速发电机 测速发电机的磁场恒定不变。测速发电机的磁场恒定不变。测速发电机发出的电压与转速成正比测速发电机发出的电压与转速成正比 (5) (5) 比较环节比较环节nufnfngeuuu (2-11) (2-10) 系统方程系统方程: : 对整个系统而言，引起系统运动的外部因素是给对整个系统而言，引起系统运动的外部因素是给定电压和负载转矩。其余的物理量均为中间变量，定电压和负载转矩。其余的物理量均为中间变量，经消元后得经消元后得)()1 ()()(222233LLGaLaGuegeemGGamGamTdtdTTdtTdCCRuCKnCKdtdndtnddtnd

14、(2-12)END2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化modeling 建模建模mathematical model 数学模型数学模型differential equation 微分方程式微分方程式nonlinear 非线性的非线性的nonlinearity 非线性非线性linearization 线性化线性化Taylor series 泰勒级数泰勒级数常用词汇常用词汇 绝对的线性元件和线性系统不存在绝对的线性元件和线性系统不存在 非本质非线性非本质非线性 本质非线性本质非线性 线性化线性化:在满足一定条件的前提下，用近似在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代替非线

15、性方程。的线性系统代替非线性方程。 线性化的基本条件线性化的基本条件:非线性特性必须是非本非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于质的，系统各变量对于工作点工作点仅有微小的仅有微小的偏离。偏离。 微偏法微偏法:若非线性函数不仅连续，而且其若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，各阶导数均存在，则由级数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。的非线性方程。线性化的方法线性化的方法:设一非线

16、性元件的输入为设一非线性元件的输入为x、输出为、输出为y，它们，它们间的关系如图所示，相应的数学表达式为间的关系如图所示，相应的数学表达式为 )(xfy (2-13) 在给定工作点在给定工作点 附近，附近，将式（将式（2-13）展开泰勒级数）展开泰勒级数)(00yx ， 202200)(! 21)()()(00 xxdxfdxxdxdfxfxfyxxxx若在工作点若在工作点 附近增量附近增量 的变化很小，则可的变化很小，则可略去式中略去式中 项及其后面所有的高阶项，这样，上项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为式近似表示为)(00yx ，0 xx 20)(xx )(00 xxKyy (2

17、-14) 或写为或写为式中，式中， 式（式（2-14）就是式（）就是式（2-13）的线性化方程。）的线性化方程。 xKy（2-14）00000)(xxxyyydxdfKxfyxx， 例子：直流他励发电机磁化曲线的线性化例子：直流他励发电机磁化曲线的线性化设发电机原工作于磁化曲线的设发电机原工作于磁化曲线的A点。点。若令发电机的励磁电压增加若令发电机的励磁电压增加 ，求其增量电动势求其增量电动势 的变化规律。的变化规律。1uGE若若发电机在小（发电机在小（增量增量）信号励磁电压的作用下，工作）信号励磁电压的作用下，工作点点A的偏离范围便较小，从而可以通过的偏离范围便较小，从而可以通过A点作一切线

18、点作一切线CD，且依此切线，且依此切线CD近似地代替原有的曲线近似地代替原有的曲线EAF。在在平衡点平衡点A处，发电机的方程为处，发电机的方程为 当励磁电压增加当励磁电压增加 后，则有后，则有100uRiB（2-15）（2-16）（2-17）（2-18）1u010GEC0101d()dBBiiRNuut010()GGEEC 由式（由式（2-17）减式（）减式（2-15），式（），式（2-18）减去式）减去式（2-16）后得）后得作上述相减的运算，消去了原平衡工作点作上述相减的运算，消去了原平衡工作点A处各变量处各变量间的关系，使所求的式（间的关系，使所求的式（2-19）、（）、（2-20）中的

19、变量）中的变量均为增量，因而称这两个方程式为均为增量，因而称这两个方程式为增量方程式增量方程式。1udtdNRiB1CEG（2-19）（2-20） 增量方程只描述了发电机在平衡工作点增量方程只描述了发电机在平衡工作点A处受到处受到增量励磁电压增量励磁电压 作用下的运动过程。作用下的运动过程。对于式（对于式（2-19）、（）、（2-20）而言，发电机励磁曲线的）而言，发电机励磁曲线的坐标原点不是在坐标原点不是在O点而是移至原平衡点点而是移至原平衡点A处。处。因此，发电机的初始条件变为零了。因此，发电机的初始条件变为零了。这样，不仅便于求解方程，而且也是我们以后研究这样，不仅便于求解方程，而且也是

20、我们以后研究控制系统时控制系统时假设零初始条件的依据假设零初始条件的依据。1u需要注意的是，在式（需要注意的是，在式（2-19）中之所以不）中之所以不写作写作 ，而用，而用 表示，原因是那一表示，原因是那一段磁化曲线不是一直线，即段磁化曲线不是一直线，即 ，表，表示电感示电感L不是一个常数，因而用反电动势不是一个常数，因而用反电动势来表示。来表示。 dtidLBddNtddBi常量 把磁化曲线把磁化曲线 在平衡工作点在平衡工作点 处展开为处展开为泰勒级数泰勒级数 略去上式中略去上式中 项及其后面所有的高阶项，并令项及其后面所有的高阶项，并令 则式（则式（2-21）便简化为）便简化为（2-21）

21、20)(BBii ( )Bf i00()Bi，00()BBBBf iiii ，0()BBf ii 200 000)(! 21)()()(BBBBBBBBiiifiiififif或写作或写作式中式中 为平衡工作点为平衡工作点A处的正切值。根据处的正切值。根据式式（2-22），式（），式（2-19）和式（）和式（2-20）可改写为）可改写为其中，其中， 。)(0BBifidd（2-22）)(0Bif1udtidLRiBBBGiCE2（2-23）（2-24）)()(0120BBifCCiNfL， 描述自动控制系统运动的方程式实际描述自动控制系统运动的方程式实际上是增量方程式。上是增量方程式。 为了书

22、写简单起见，在实际应用过程为了书写简单起见，在实际应用过程中常把表示增量的符号中常把表示增量的符号“”省去。去掉增省去。去掉增量符号量符号“”后的上述两式，显然和式（后的上述两式，显然和式（2-5）、（）、（2-6）具有完全相同的形式。）具有完全相同的形式。 不难看出，随着发电机平衡工作点的不同，其时不难看出，随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数间常数 和放大倍数和放大倍数 也不同。由线也不同。由线性化引起的误差的大小与非线性的程度和工作点偏移性化引起的误差的大小与非线性的程度和工作点偏移的大小有关。的大小有关。 严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程严格地说，经过线性化后的所得的系统微

23、分方程式，只是近似地表征系统的运动情况。式，只是近似地表征系统的运动情况。 实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统化后所得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过程，所以线性化方法是很有实际意义的。的实际运动过程，所以线性化方法是很有实际意义的。 )(0BifRNRLRCK2叠加原理叠加原理：可叠加性和均匀性线性系统的基本特性线性系统的基本特性22( )( )( )( )d x tdx tmfKx tf tdtdt 当当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为时，上述方程的解为x1(t)；当当f

24、(t)=f2(t)时，上述方程的解为时，上述方程的解为x2(t)；如果如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解方程的解为为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是这就是叠加性叠加性当当f(t)=Af1(t)时，上述方程的解为时，上述方程的解为x1(t)=Ax1(t),这就是这就是均匀性均匀性 END 2.3 2.3 传递函数传递函数Transfer functionTransfer function微分方程式微分方程式 differential equation阶次阶次 order输入量输入量 input输出量输出量 output线性定常系统线性定常系统 linear consta

25、nt system传递函数传递函数 transfer function零初始条件零初始条件 zero initial condition拉氏变换拉氏变换 Laplace transform 微分方程式微分方程式(differential equation)是描述线性系是描述线性系统运动的一种基本形式的数学模型统运动的一种基本形式的数学模型(mathematical model)。通过对它的求解，就可以得到系统在给定。通过对它的求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输入响应。然而，用微分方程式输入信号作用下的输入响应。然而，用微分方程式表示系统的数学模型在实际应用中一般会遇到如下表示系统的数

26、学模型在实际应用中一般会遇到如下的困难：的困难： 1）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，）微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量大。且计算的工作量大。 2）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给）对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。用微分方程式去描述是难于实现的。 在控制工程中，一般并不需要精确地在控制工程中，一般并不需要精确地求系统微分方程式的解，作出它的输出求系统微分方程式

27、的解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的办法了解响应曲线，而是希望用简单的办法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能够判别某些参数的改变或校正特征，能够判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。装置的加入对系统性能的影响。 以传递函数为工具的根轨迹法和频以传递函数为工具的根轨迹法和频率响应法就能实现上述的要求。率响应法就能实现上述的要求。 2.3.1 传递函数传递函数(transfer function)的定义的定义 设线性定常数系统的微分方程式为设线性定常数系统的微分方程式为 式中，式中， 为系统的输入量；为系统的输入量； 为系统的输出

28、量。为系统的输出量。 在零初始条件下，在零初始条件下，对上式进行拉氏变换得对上式进行拉氏变换得)()()()()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn mn)(tr)(tc)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnn （2-25）系统的传递函数定义为系统的传递函数定义为 与与 之比，即之比，即 (2-26)于是得于是得 (2-27)其中其中 ， 。10111011( )( )( )mmmmnnnnb sbsbsbC sG sR sa sa sasa)(

29、)()(sRsGsC)()(tcLsC)()(trLsR)(sC)(sR 据此得出线性定常系统（或元件）传递函数的定据此得出线性定常系统（或元件）传递函数的定义：义： 在零初始条件( )下，线性定常系统输出量的拉氏变换与引起该输出的输入量的拉氏变换之比。 式（式（2-27）表示了系统的）表示了系统的输入与输出间的因果输入与输出间的因果 关系，即系统的输出关系，即系统的输出C(s)是由其输入是由其输入R(s)经过经过G（s）的传递而产生的。因而的传递而产生的。因而G(s )被称为被称为传递函数传递函数。 传递函数是由系统的微分方程经拉氏变传递函数是由系统的微分方程经拉氏变换后得到的，而换后得到的

30、，而拉氏变换是一种线性变拉氏变换是一种线性变换换，只是将变量从实数，只是将变量从实数t域变换到复数域变换到复数s域，因而它必然同微分方程式一样能表域，因而它必然同微分方程式一样能表征系统的固有特性，即成为描述系统征系统的固有特性，即成为描述系统（或元件）运动的（或元件）运动的又一形式又一形式的数学模型。的数学模型。10111011.( )( )( ).mmmmnnnnb sb sbsbC sG sR sa sa sasa 11011011(.) ( )(.) ( )nnmmnnmma sa sasaC sb sb sbsbR s 初始条件为零时 微分方程拉氏变换1011110111( )( )

31、( ).( )( )( )( ).( )nnnnnnmmmmmmd c tdc tdc taaaa c tdtdtdtd r tdr tdr tbbbb r tdtdtdt 系统的传递函数!传递函数的直接计算法iidtd)(is系统传递函数的一般形式系统传递函数的一般形式)()()(sNsMsGmmmmbsbsbsbsM1110.)(nnnnasasasasN1110.)(KabGnm)0(特征方程特征方程传递函数性质传递函数性质( )G s( )R s( )C s).()().()()(210210nmpspspsazszszsbsGnnnmmmmmasasasabsbsbsbsG11101

32、110.)(零点和极点零点和极点传递函数的零、极点分布图： 将传递函数的零、极点表示在复平面上的图形。零点用“O”表示极点用“”表示零、极点分布图零、极点分布图适用于线性定常系统传递函数中的各项系数和相应微分方程中的各项系数对应相等，完全取决于系统结构参数。传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律无法描述系统内部中间变量的变化情况只适合于单输入单输出系统的描述注意注意 不难看出不难看出 传递函数分母的多项式就是相应微分方程传递函数分母的多项式就是相应微分方程的特征多项式的特征多项式(characteristic polynomial)。 传递函数的极点就是相应微分方程的特征传递

33、函数的极点就是相应微分方程的特征根根(characteristic root)。 传递函数的零、极点对系统的性能都有影传递函数的零、极点对系统的性能都有影响，但它们所产生的影响是不同的。响，但它们所产生的影响是不同的。例1零、极点对输出的影响零、极点对输出的影响( )6(3)( )( )(1)(2)C ssG sR sss 零极点分别为零极点分别为1123,1,2zpp 当当 时，系统零初始条件响应为时，系统零初始条件响应为1112521221126(3)( )( )()(1)(2)59(312)(32)tttrrsc tLC sLssssrr err erre 512( )r tr re 输

34、入模态输入模态固有模态，极点受到激发改变系数固有模态，极点受到激发改变系数零点不形成自由运动模态！零点不形成自由运动模态！若系统的输入是一个单位理想脉冲函数，若系统的输入是一个单位理想脉冲函数，即即 。由于。由于 ，则由式（，则由式（2-27）可知，可知， C(s ) = G(s)。据此求得系统的单位脉。据此求得系统的单位脉冲响应为冲响应为这个结果表明，系统的单位脉冲响应这个结果表明，系统的单位脉冲响应g(t) 与与转递函数转递函数G（s）的关系是时域）的关系是时域t到复数域到复数域s与与的单值变换关系。的单值变换关系。)()(ttr1)(t)()()(11sGsCtg如果已知系统的单位脉冲响

35、应如果已知系统的单位脉冲响应g(t)，就可以根据卷积，就可以根据卷积积分求解系统在任意输入积分求解系统在任意输入r（t）作用下的输出响应，）作用下的输出响应，即即 因为因为 ，所以时域中的卷积，所以时域中的卷积 对应于复数域中的乘对应于复数域中的乘 。ttdtrgdrtgtrtgtC00)()()()()()()(（2-29）)()()()(sRsGtrtg)()()(trtgtC)()()(sRsGsC 下面以一个简单的下面以一个简单的R-C电路为例，说明卷积积电路为例，说明卷积积分的应用。分的应用。 已知一已知一R-C电路如图电路如图2-12所示，其中输入电压为所示，其中输入电压为 ，输出

36、为电容两端的充电电压输出为电容两端的充电电压 。由基尔霍夫定律得。由基尔霍夫定律得因为因为 ，则上式便改写为，则上式便改写为这就是该电路的微分方程式。这就是该电路的微分方程式。 与微分方程相应的传递函与微分方程相应的传递函数为数为rucurcuuiRdtduCicrccuudtduRC图2-11R-C电路 11)()()(TssUsUsGrc其中，其中， RCT 作业作业 2-1，2-2 阶跃响应阶跃响应 step response 脉冲响应脉冲响应 impulse response 斜坡响应斜坡响应 ramp response 谐波响应谐波响应 harmonic response 单位阶跃单

37、位阶跃 unity step 单位斜坡单位斜坡 unity ramp 正弦输入正弦输入 sine input 现应用式现应用式(2-29)，求取该电路在单位阶跃，求取该电路在单位阶跃(unity step)、单位斜坡、单位斜坡(unity ramp)和正弦输入和正弦输入(sine input)时的响应。时的响应。 (1) 由于由于)( 1 tur111( ) ( )etTg tG sT则由式则由式(2-29)得得 011 () 0 01( )()( )d11edee d1 etcrttttTTTtTu tg tuTT （2） （3）由上式求得由上式求得 ttur)(tTttTtTtTcTeTt

38、deeTdeTtu1001)(111)(ttursin)(deTeTteTTteeTTeTtdeeTdeTtutTtTtTtTtTtTttTtTtTcsin11sin11cos11sin1sin1)(022112111001)(1ttTtTTTTteTTteTTde02212212221sin1cos1sin于是有于是有式中，式中， tTtTtTceTtTeTtTTTtTeTtTTtTtu1222212222222212222221)sin(111cos111sin111cos1sin11)(1arctanT 2.3.2 传递函数的基本性质传递函数的基本性质(1) 传递函数只适用于线性定常系统

39、。传递函数只适用于线性定常系统。(2) 传递函数只取决于系统传递函数只取决于系统(或元件或元件)的结构和参数，与外的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关。施信号的大小和形式无关。(3) 由于传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不由于传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统能反映在非零初始条件下系统(或元件或元件)的运动情况。的运动情况。(4) 一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关系，一个传递函数只能表示一个输入与输出之间的关系，而不能反映系统内部的特性。对于多输入而不能反映系统内部的特性。对于多输入多输出多输出(MIMO)的系统，就不能用一个传递函数去描述，

40、而的系统，就不能用一个传递函数去描述，而是要用传递函数矩阵是要用传递函数矩阵(transfer function matrix)去表去表征系统的输入与输出间的关系。征系统的输入与输出间的关系。例如对于图例如对于图2-13所示的系统，它们的输出与输入间的所示的系统，它们的输出与输入间的关系应由下面所求得转递函数矩阵来描述。关系应由下面所求得转递函数矩阵来描述。由图由图 2-12得得 )()()()()(2121111sUsGsUsGsY)()()()()(2221212sUsGsUsGsY把上述的方程组成改写成用向量、矩阵形式来表示为把上述的方程组成改写成用向量、矩阵形式来表示为即即 式中式中

41、G(s) 就是所求得转递函数矩阵。就是所求得转递函数矩阵。 )()()()()()()()(212221121121sUsUsGsGsGsGsYsY)()()(sUsGsY)()()()()()()()()()()(222112112121sGsGsGsGsGsUsUsUsYsYsY， 2.3.3 控制系统的典型环节及传递函数控制系统的典型环节及传递函数 组成自动控制系统的元件是很多的，组成自动控制系统的元件是很多的，不论其物理性质，还是其结构用途方面不论其物理性质，还是其结构用途方面都有着很大的差异。按什么原则对它们都有着很大的差异。按什么原则对它们进行分类更有利于控制系统的研究？进行分类更

42、有利于控制系统的研究？环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理环节是根据微分方程划分的，不是具体的物理装置或元件。装置或元件。一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同一个环节往往由几个元件之间的运动特性共同组成。组成。同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的同一元件在不同系统中作用不同，输入输出的物理量不同，可起到不同环节的作用。物理量不同，可起到不同环节的作用。 由上一节的讨论可知，不同物理结构的元由上一节的讨论可知，不同物理结构的元件可以有形式上的完全相同的微分方程式和传件可以有形式上的完全相同的微分方程式和传递函数。递函数。 由此受到启发，对于性质不同数量众多的由此受到启发，对于性质不同

43、数量众多的自动控制元件，若按形式相同的微分方程或传自动控制元件，若按形式相同的微分方程或传递函数来分类，可以分为下列递函数来分类，可以分为下列六种六种典型环节。典型环节。我们通常接触到的自动控制系统都是有这些典我们通常接触到的自动控制系统都是有这些典型环节组合而成的。型环节组合而成的。典型环节典型环节: nominal element(link) ,: nominal element(link) , (typical element ) (typical element ) 1.1.比例环节比例环节 Proportional element(link) 这种环节的特点是输入不失真、不延迟、成比

44、例这种环节的特点是输入不失真、不延迟、成比例地复现输入信号。它的运动方程为地复现输入信号。它的运动方程为 对应的传递函数是对应的传递函数是 式中，式中， 是环节的输出量；是环节的输出量； 是环节的输入量；是环节的输入量；K为为常数。常数。KsGsRsC)()()()(tc)(tr（2-30）)()(trKtc齿轮传动齿轮传动共发射极晶体管放大器共发射极晶体管放大器 2积分环节积分环节Integral loop(link) 该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正该环节的输出量与其输入量对时间的积分成正比，即有比，即有对应的传递函数为对应的传递函数为 tdrKtc0)()(sKsGsRsC)()

45、()(ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()(tKxdttdxTrcsKsXsXsGrc)()()(运动方程式：传递函数：K 环节的放大系数！记忆trcdttxKtx0)()(！积分输入突然除去积分停止输出维持不变例1：电容充电例2：积分运算放大器积分环节积分环节AtTAdtTtxt11)(00！具有明显的滞后作用！具有明显的滞后作用dt例如例如图图2-14所示的调节器，其输入与输出间所示的调节器，其输入与输出间的关系可近似地视为积分关系，即的关系可近似地视为积分关系，即其传递函数为其传递函数为又如又如，电动机

46、的角位移，电动机的角位移等于其角速度等于其角速度对时对时间的积分，即间的积分，即其传递函数为其传递函数为rcuRCu1RCssUsUsGrc1)()()(ssssG1)()()(3.3.惯性环节惯性环节 Inertial loop(link) 惯性环节的特点时期输出量延缓地反映输入量的惯性环节的特点时期输出量延缓地反映输入量的变化规律。它的微分方程为变化规律。它的微分方程为对应的传递函数为对应的传递函数为式中，式中，T是环节的时间常数。是环节的时间常数。(2-31)d ( )( )( )dc tTc tK r tt1)()()(TsKsRsCsGekkkkdjjvcllllbiisTsTsTs

47、sssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()()()()(tKxtxdttdxTrcc1)()()(TsKsXsXsGrc惯性环节惯性环节弹性弹簧弹性弹簧RC惯性环节惯性环节4微分环节微分环节derivative loop(link) 理想的微分环节，其输出与输入信号对时间的微理想的微分环节，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即有分成正比，即有对应的传递函数为对应的传递函数为 dttdrKtc)()(KssGsRsC)()()( 若输入为单位阶跃函数，则在若输入为单位阶跃函数，则在t=0+ 时，它时，它的输出应是一面积（强度）为的输出应是一面积（强度）为K宽度为零、宽度

48、为零、幅度为无穷大的理想脉冲幅度为无穷大的理想脉冲,这在实践中是不这在实践中是不能实现的。能实现的。 实际微分环节实际微分环节a.高通滤波电路高通滤波电路 输入与输出间的传递函数为输入与输出间的传递函数为 (2-32)式中，式中， 。由式。由式(2-32)可知，该电路不是一个理想可知，该电路不是一个理想的微分环节，而相当于一个微分环节与一个惯性的微分环节，而相当于一个微分环节与一个惯性环节的串联组合。具有这种传递形式的环节，称环节的串联组合。具有这种传递形式的环节，称为实际微分环节。显然，当这个电路的为实际微分环节。显然，当这个电路的 时，则式时，则式(2-32)可近似为可近似为b.直流测速发

49、电机直流测速发电机 1)()()(TsTssUsUsGrCRCT 1 RCTTssG)(ekkkkdjjvcllllbiisTsTsTssssKsG12211221) 12() 1() 12() 1()(dttdxKtxrc)()(KssXsXsGrc)()()(1)()()(TsKTssXsXsGrc微分环节微分环节!无负载时测速发电机测速发电机RC微分网络微分网络理想微分运算放大器理想微分运算放大器一阶微分运算放大器一阶微分运算放大器5 5振荡环节振荡环节 oscillatory loop(link) 这种环节的特点是，如输入为一阶跃信号，则其这种环节的特点是，如输入为一阶跃信号，则其输出

50、成周期性振荡形式。输出成周期性振荡形式。式中，式中，T T为时间常数为时间常数;K;K为放大系数为放大系数;为阻尼比，其值为阻尼比，其值为为0101。由于该。由于该传传递函数有一对位于递函数有一对位于s s左边面的共左边面的共轭极点，因而这种环节在阶跃信号作用下，其输出必轭极点，因而这种环节在阶跃信号作用下，其输出必必然会呈现出振荡性质。必然会呈现出振荡性质。12)()()(22TssTKsGsRsC（2-33）222d( )d ( )2( )( )ddc tc tTTc tK r ttt若令上式中的若令上式中的 ，利用拉氏变换，不难求利用拉氏变换，不难求出振荡环节的输出响应，即出振荡环节的输