《数学思维拓展》资源包——容斥问题ppt课件.ppt
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1、小学数学解题研究小学数学解题研究 高等师范院校数学教材教学资源包高等师范院校数学教材教学资源包小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究容斥问题容斥问题课题解析核心提示典型例题教学策略小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 容斥原理定义 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|A|表示有限集A的元素个数。在并集的讨论中,已经知道,求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成: |AB|=|A|+|B|-|AB|我们称这一公式为包含与排除原理,简
2、称容斥原理。小学数学解题研究小学数学解题研究 【课题解析】 容斥原理计算步骤 第一步 分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|(意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起); 第二步 从上面的和中减去交集的元素个数,即减去|AB|(意思是“排除”了重复计算的元素个数)。小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 两量重叠问题(例1、例2) 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成:ABABAB(其中符号“”
3、读作“并”,相当于中文“和”或者“或”的意思;符号“”读作“交”,相当于中文“且”的意思)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 两量重叠问题(例1、例2) 图示如下:表示小圆部分,表示大圆部分,表示大圆与小圆的公共部分,即阴影面积 1先包含AB 重叠部分AB计算了2次,多加了1次;2再排除ABAB 把多加了1次的重叠部分AB减去小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 两量重叠问题(例1、例2) 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合的并集的元素的个数,可分以下两步进行:第一步:分别计算两个集合的元素个数,然后加起来,即先求AB(意思
4、是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起);第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去CAB(意思是 “排除”了重复计算的元素个数) 小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 三量重叠问题(例3) A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数既是A类又是B类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数用符号表示为:ABCABCABBCACABC小学数学解题研究小学数学解题研究 【核心提示】 三量重叠问题(例3) 图中小圆表示的元素的个数,中圆表示的元素的个数,大圆表示的元素的个数1先包含:ABC
5、重叠部分AB、BC、AC重叠了2次,多加了1次2再排除:ABCABBCAC重叠部分ABC重叠了3次,但是在进行ABCABBCAC 计算时都被减掉了3.再包含:ABCABBCACABC小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例1:六一班有学生46人,其中会骑自行车的17人,会游泳的14人,既会骑车 又会游泳的4人,问两样都不会的有( )人.会游泳会奇车全班解析:所求人数=全班人数-(会骑车人数+会游泳人数-既会骑车又会游泳人数) =46-(17+14-4)=19(人)小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研究小学数学解题研
6、究【举一反三】1.实验小学四年级二班,参加语文兴趣小组的有28人,参加数学兴趣小组 的有29人,有12人两个小组都参加这个班有多少人参加了语文或数学兴 趣小组?解析:所求人数=语文兴趣小组人数+数学小组人数-两个小组都参加的人数 =28+29-12=45(人)解:28+29-12=45(人)答:这个班有45人参加了语文或数学兴趣小组。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】2.芳草地小学四年级有58人学钢琴,43人学画画,37人既学钢琴又学画画, 问只学钢琴和只学画画的分别有多少人?解析:只学钢琴的人数=学钢琴的人数-既学钢琴又学画画的人数=58-37=21(人) 只学画画的人数=学画画的
7、人数-既学钢琴又学画画的人数=43-37=6(人)解:58-37=21(人) 43-37=6(人)答:只学钢琴的21人,只学画画的6人。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.四(二)班有48名学生,在一节自习课上,写完语文作业的有30人,写完 数学作业的有20人,语文数学都没写完的有人 问语文数学都写完的有多少人?解析:(1)语文数学都写完的人数=写完语文作业的人数+写完 数学作业的人数-全班人数=30+20-48=2(人)解:(1)30+20-48=2(人)答:语文数学都写完的有2人.小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】3.四(二)班有48名学生,在一节自习课上,写完语文作
8、业的有30人,写完 数学作业的有20人,语文数学都没写完的有人 只写完语文作业和数学作业的各有多少人?解析:(2)只写完语文作业的人数=写完语文作业的人数 -语文数学都写完的人数=30-2=28(人) 只写完数学作业的人数=写完数学作业的人数 -语文数学都写完的人数=20-2=18(人)解:(2)30-2=28(人) 20-2=18(人)答:只写完语文作业的有28人,只写完数学作业的有18人.小学数学解题研究小学数学解题研究【典型例题】例2:求不超过20的正整数中是2的数倍或3的倍数的数共有多少个。解析:设I=1,2,3,19,20,A=I中2的倍数,B=I中3的倍数。显然,题目要求计算并集|
9、AB|的元素个数,即求|AB|。解:A=2,4,6,18,20,共有10个元素,即|A|=10,B=3,6,9,12,15,18,共有6个元素,即|B|=6。AB=I中既是2的倍数又是3的倍数 =6,12,18共有3个元素, 即|AB|=3,所以|AB|=|A|+|B|-|AB| =10+6-3=13答:所求的数共有13个。小学数学解题研究小学数学解题研究【举一反三】1.在1至10000之间既不是完全平方数,也不是完全立方数的整数有( )个.解析:110000中完全平方数有100个(因为100 =10000),完全立方数有21个(因为21 1000022 ),完全六次方数有4个(因为4 100
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