反比例函数图像与面积问题”的 复习课设计.docx

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1、 知识呈现问题化，问题呈现系列化，问题变式层次化，问题解决方法化， 可以使复习课教学进入更高的境界。 反比例函数图像与面积问题 ” 的 复习课设计 梁艳云 （广西师范大学附属外国语学校 ) 1 教学背景 今年 5月，广西梁艳云特级教师工作坊应桂林市 灌阳县教育局的邀请，为灌阳县全体初中数学教师上 一节中考专题示范课。根据教育局的要求，内容拟定 为反比例函数的专题复习。为了能给大家提供一节 有价值的复习课，笔者所在的工作坊坊员全力以赴， 共同研究，集全体坊员的智慧，经过反复几轮的备课、 上课、评课等磨课活动，最终成功地展示了一节 “ 反比 例函数图像与面积问题 ” 的优质高效复习课。课后教 师评

2、价 :“ 这样的课我们太需要了，不但学生收获很 大，而且老师也很受启发，学生得到的不再是学一题 会一题，而是学一题会一类 ” 。课间与学生访谈，学生 说 :“ 从害怕反比例函数图像问题到喜欢这类问题，以 前害怕是因为这样的问题条件少，不知道从何处下 笔，现在喜欢是因为学会了解这一类问题的简捷方 法，只要抓住两个基本图形就能快速、准确求解。 ”下 面，笔者谈谈这节课的教学设计与反思，希望能给同 4 1 1 * 若设边长为 a， 对角线的和为 6(a0,60)。 根据解法1可知 A +BO=|。 由上可知，只要选择的数据边长 a与对角线的和 6满足 2a?这是来 自三个省市的中考题，现在只给出了图

3、形，没有给出 问题，你能猜猜 ,命题者究竟要我们解决什么问题？ 设计说 明：这是一节中考复习课，教师有意去掉 具体问题的条件和结论，只留下图形，其目的之一是 为学生的学设置悬念，简单的一个 “ 猜 ” 字，能快速地 抓住学生的心灵，激发求知的欲望；其目的之二是为 教师的教埋下伏笔，突出利用图形直观解决问题的教 学意图，顺理成章地引出本节课的课题 反比例函 数图像与面积问题。 2.2追根溯源，回归本质 问题 1:(1)如图 4,已知点 PU， 6)是反比例函数 j = f图像上的任意一点，过点 P分别引 1轴和 y轴 的垂线，构成的矩形与是否有关系？若有，有怎样 的关系呢？为什么？ (2)若将图

4、 4中的面积矩形沿对角线割掉一个三 角形，如图 5,剩余的三角形与有怎样的关系？ 设计说 明：解决反比例函数图像与面积问题的核 心知识就是反比例函数中值的几何意义，为此设计 问题 1,使问题回归本质，使知识回到原点。通过问 题1的解决提炼出两个基本图形，即面积矩形和面积 三角形，从而得出两个重要 的结论，即 Sw= 41， 渗透了模型思想和数形结合思想。 2.3变式应用，形成方法 (1)运用 “ 同底等高 ” 构造面积矩形与面积三 角形。 问题 2:如图 6,已知点 A在反比例函数 ： y = 的 X 图像上， Ai3/:r轴交 :y轴于点 B，点 C是 :r轴上任意 一点，求阴影部分的面积。

5、 变式 1:如图 7,已知 DABCD的顶点 A在反比 例函数 y = 的图像上，且边 AB/:r轴交 轴于点 x B， CD在 轴上任意移动，求阴影部分的面积。 变式 2:如图 8,已知点 A、 B分别在反比例函数 :y = l，： y=_土的图像上 ， A 轴，点 C在 :r轴上 x x 任意移动，求阴影部分的面积。 变式 3:如图 9,已知点 A、 B分别在反比例函数 ;v =立 ,： y=_ 土的图像上 ,义 3/轴，边 CD在 y轴上 X X 任意移动，且 AB=CD， 求阴影部分的面积。 设 计说明 ：本组变式题从三个角度进行设计，第 一角度是图形变式，由三角形变为四边形；第二角度

6、 是函数个数变式，由一个函数变为两个函数；第三角 度是位置变式，由图形的顶点在 I轴上运动变为在 y 轴上运动。问题解决时运用 “ 同底等高 ” 的思想将每 个问题转化为基本图形，即面积矩形或面积三角形。 (2)运用 “ 割补法 ” 构造面积矩形与面积三角形。 问题 3:如图 10,已知点 A在反比例函数 的图像上，线段 AD丄 _r轴，垂足为 D， 且 DS = DO,求 阴影部分的面积。 变式 1:如图 11，已知点 A在反比例函数 y = f 的图像上， AB/： y轴，四边形 AS0D是等腰梯形，求 阴影部分的面积。 变式 2:如图 12,已知点 A在反比例函数 的图像上，丄 BC,且

7、 AB = SC,求阴影部分的 面积。 设计说明 ：本组变式题主要是采用图形变式，由 等腰三角形到等腰梯形再到四边形。可以运用割补 思想构造基本图形，即面积矩形或面积三角形解决问 题，培养学生的识图能力、观察能力和数学建模思想。 (3)运用 “ 图形分解 ” 透视面积矩形与面积三 角形。 问题 4:如图 13,已知点 A.E分别在反比例函数 3 = 立 ， 的 图 像 上 ， AS/： !： 轴，点分别是 x X X 轴上两点，且四边形 ABOC和为矩形，求阴影 部分的面积。 变式 1:如图 14,已知点 A、 ：、 G分别在反比例函 数 :y = l，： y=土的图像上 ， *A 轴，点 C

8、是 轴上 x x 一点，且四边形 ABOC为矩形，求阴影部分的面积。 变式 2:如图 15,已知点 A、 E、 G分别在反比例函 数 y =立 d = 土的图像上 ,AB/_r轴，点 C是 :r轴上 X X 一 点 ，且 四 边 形 为 矩 形 ，点 E、 G分别是 AB、 AC中点，求阴影部分面积。 图 13 图 14 图 15 设计说明：本组变式题主要研究反比例函数图像 中两个基本图形的和差问题，问题设计是以不同的两 个反比例函数图像为载体，在同一个象限内构建面积 矩形与 面 积 三 角 形 。 图 13中 阴 影 部 分 的 面 积 = S矩形BODE _ ; 图 14中 阴 影 部 分

9、 的 面 积 = S矩形 AB0 C 2 ；图 15中 阴 影 部 分 的 面 积 = SABOC _ 2 S BE _ j S矩形 ABOC。 问题由浅入深，层 层推进，看似复杂，但只要抓住两个基本图形进行思 考，这类问题就能简捷、快速、准确地找到答案。 2.4变式拓展，提升能力 问题 5: (2007年福州市中考题）如图 16,已知直 线 ; 与双曲线 j 交 于 两 点 ， 且 A点的横坐标为夂 (1) 求的值； (2) 如图 17,若双曲线 ： y =上 a0)上一点 C纵 X 坐标为 8,求 AAOC的面积； (3) 如图 18,过原点 O的另一条直线 Z交双曲线 广去謂丁 -PQ两

10、点 (P点在第 娜 若由点 A、 B、 P、 Q为顶点组成的四边形面积为 24,求 P点的 坐标。 设计说 明：本题主要考査学生综合运用反比例函 数图像中两个基本图形解决问题的能力。在第 （ 2)问 求 AAOC的面积时，需要运用 “ 补形思想 ” 构造解题 原型，将图 17构造为图 15的形状，根据面积矩形和 面积三角形性质建立方程即可求解，而第 （ 3)问则要 将图 18构造为图 17,问题将会顺利完成。 2.5归纳总结，升华知识 本节课可归纳为 :抓住基本图形，观察图形变化， 运用思想方法，找到通解通法。 设计说 明：本节课的教学重点是探究反比例函数 图像与几何图形的面积问题。解决此类问

11、题的关键 是：（ 1)抓住基本图形 面积矩形和面积三角形； (2)观察图形变化 图形顶点、边在 I轴或 y轴上 运动； （ 3)运用思想方法 一 同底等高思想、补形思 想、转化思想等，这样问题就能达到高质量的完美 解决。 3 写 在最后 数学如同一道营养丰富的大餐，但未必人人都爱 吃，这就需要适当添加佐料，调其色，增其香，美其味， 使之成为人见人爱的佳肴。同样的食材，不同级别的 厨师就能做出不同档次的食物；教师上课就像厨师炒 菜一样，相同的教学内容，不同的教师，就能上出不同 水平的课。教学水平的高低，在很大程度上取决于课 堂教学的设计。在教学中，我们既要有强烈的变式意 识，娴熟的变式方法，更要遵循变式教学的规律和原 则，合理安排变式教学的内容。通过对数学问题多角 度、多层次的思考，有意识、有目的地引导学生从 “ 变 ” 的现象中发现 “ 不变 ” 的本质 ，从 “ 不变 ” 的本质中探究 “ 变 ” 的规律，使所有知识点融会贯通，使思维在所学 知识中游刃有余、灵活变通，实现 “ 在无穷的变化中领 略数学的魅力，在曼妙的演变中体会数学的快乐 ” ，使 学生心目中枯燥乏味的 “ 死 ” 数学演变成生机盎然的 “ 活 ” 数学。