（中职）土木工程识图（道路与桥梁类）第2章ppt课件.ppt

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1、在此输入您的封面副标题（中职）土木工程识图（道路与桥梁类）第2章尚久明 主编中国铁道出版社 知识要点知识要点 投影基本理论；点、直线、平面投影的投影规律。能力要求能力要求 了解形体投影的形成、投影法分类；掌握点的投影规律及作图方法；掌握点的三面投影特性；了解重影点的特性。掌握各种位置直线的投影特性；掌握一般位置直线求真长及倾角的方法。了解各种位置平面的投影特性，掌握特殊位置平面的投影特点及作图；理解点和直线在平面上的几何条件，掌握投影图的作图方法。新课导入 在生产实际工作中，设计部门、建设（制造）部门，普遍使用图形来表达物体的形状。这些图形是用投影的方法得到的。所以投影知识是最基础的知识，要想

2、学好工程图，首先要学好投影知识。本章介绍投影的一些基本知识及点、直线、平面的投影规律和作图方法。兴趣阅读公路、道路 公路是指联接城市、乡村和工矿基地之间，主要供汽车行驶并具备一定技术标准和设施的道路称公路。 道路是供各种车辆（无轨）和行人通行的工程设施。按其使用特点分为城市道路、公路、厂矿道路、林区道路及乡村道路等。2.1 投影的基本知识 学习目标 掌握投影的基本概念；掌握投影法的分类（中心投影法、平行投影法）；掌握正投影的基本特征（显实性、积聚性、类似性）；掌握三面投影图的产生及投影规律。 知识链接 初高中的几何知识2.1.1 投影的基本概念和分类2.1.1.1 投影的基本概念在日常生活中，

3、人们对“形影不离”的现象已习以为常，知道其形成要有光线、物体及投影面。经阳光或灯光照射的物体，会在地面或墙面上产生影子，这就是投影现象。如图2-1所示为经阳光照射的物体，在地面上产生影子的图片。a）树木产生影子 b）木围栏产生影子 c）钓鱼人产生影子 图2-1 阳光照射物体产生影子的图片 2.1.1.2 投影法的分类投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。（1）中心投影法。如图2-2所示。投射中心S（光源）在有限的距离内发出放射状投射线SA、SB、SC，延长这些投射线与投影面P相交，做出的投影点a、b、c即为三角形各顶点A、B、C在P平面上的投影。由于投射线均从投射中心出发，所以这种投影法称为

4、中心投影法。 图2-2 中心投影法（2）平行投影法。如图2-3（a）、图2-3（b）所示。当投射中心S（光源）在无限远处时，所有投射线互相平行，用平行投射线做出投影的方法称为平行投影法。在平行投影法中，S表示投射方向。根据投射方向S与投影面P倾角的不同，平行投影法又可分为斜投影法和正投影法两种。1） 斜投影法：当投射线采用平行光线，而且投射线倾斜于投影面时所做出的平行投影，称为斜投影，如图2-3（a）所示，做出斜投影的方法称为斜投影法。2） 正投影法：当投射线采用平行光线，而且投射线垂直于投影面时所做出的平行投影，称为正投影，如图2-3（b）所示，做出正投影的方法称为正投影法。根据正投影法所得

5、到的图形称为正投影图。正投影图直观性不强，但能准确反映形体的真实形状和大小，图形度量性好，便于尺寸标注，而且投影方向垂直于投影面，作图方便。绝大多数工程图纸都是采用正投影法画出的。 a）斜投影 b）正投影图2-3 平行投影法分类2.1.2 正投影的基本特征在建筑施工图中，最常使用的投影法是正投影法。正投影有如下基本特征。（1）显实性。如图2-4（a）、图2-4（d）所示，当直线段或平面图形平行于投影面时，直线段的正投影反映真长，平面图形的正投影反映真形，这种特性称为度量性或显实性。反映线段或平面图形的真长或真形的投影，称为真形投影。（2）积聚性。如图2-4（b）、图2-3（e）所示，当直线段或

6、平面图形垂直于投影面时，直线段的正投影积聚成为一点，平面图形的正投影积聚成一条直线，这种投影特性称为积聚性。具有积聚性的投影称为积聚投影。（3）类似性。 如图2-4（c）、图2-4（f）所示，当直线段或平面图形倾斜于投影面时，直线段的投影仍为直线，但小于真长，平面图形的投影小于真实形状，但类似于空间平面图形，图形的基本特征不变，如多边形的投影仍为多边形，其边数、平行关系、凹凸、曲直等保持不变，这种投影特性称为类似性。a）直线平行于投影面 b）直线垂直于投影面 c）直线倾斜于投影面d）平面平行于投影面 e）平面垂直于投影面 f）平面倾斜于投影面 图2-4 正投影的基本特性2.1.3 三面投影2.

7、1.3.1 三面投影体系的建立形体的一个投影不能确定形体的形状。如图2-5所示的两个完全不同形状的形体，在同一投影面上的投影却相同。这说明仅仅根据一个投影是不能完整地表达形体的形状和大小的。要确切地反映形体的完整形状和大小，必须增加由不同的投射方向、在不同的投影面上所得到的投影，互相补充，才能将形体表达清楚。根据实际的需要，通常将空间形体放在3个互相垂直相交的平面所组成的投影面体系中，然后将形体分别向3个投影面做投影。这3个相互垂直相交的投影面就组成了三投影面体系。3个投影面分别称为正投影面（简称正面，用V表示）、水平投影面（简称水平面，用H表示）和侧面投影面（简称侧面，用W表示）。3个投影面

8、分别两两相交，形成3条投影轴。V面和H面的交线称为OX轴；H面和W面的交线称为OY轴；V面和W面的交线称为OZ轴。3个轴线的交点O称为投影原点，如图2-6所示。 图2-5 不同形状形体的投影相同 图2-6 三投影面体系的建立2.1.3.2 三面投影的投影规律如图2-7（a）所示，将形体放置于三投影面体系中，按照正投影法分别向V、H、W 3个投影面进行投影，即可得到该形体的三面投影。由形体的前方向后投射，在正面上所得到的投影称为正面投影或V面投影；由形体的上方向下投射，在水平面上所得到的投影称为水平投影或H面投影；由形体的左方向右投射，在侧面上所得到的投影称为侧面投影或W面投影。在工程图纸上，形

9、体的3个投影是画在同一平面上的。为了使处于空间位置的三面投影能画在同一张图纸上，在绘图时必须将相互垂直的3个投影面展开为一个平面。其展开的方法是：正面保持不动，将水平面绕OX轴向下旋转90，将侧面绕OZ轴向右旋转90，把V、H、W面展开为同一平面，如图2-7（b）所示。当投影面展开时，OX轴和OZ轴保持不动，OY轴展开后分为两根，一根随H面旋转到OZ轴的正下方，与OZ轴成一条直线，用OYH轴表示；另一根随W面旋转到OX的正右方，与OX轴成一条直线，用OYW轴表示。由于在实际画图时不必画出投影面的边框，所以省去边框不画就得到如图2-7（c）所示的三面投影图。 a）直观图 b）展开图 c）投影图

10、图2-7 三面投影图的形成及其投影规律形体的左右、前后、上下及长、宽、高是初学容易错的内容，如图2-7所示。从图2-7可以看出3个投影图之间存在下述投影关系：（1）正面投影与水平投影长对正；（2）正面投影与侧面投影高平齐；（3）水平投影与侧面投影宽相等。“长对正、高平齐、宽相等”的投影对应关系是三面投影之间的重要特性，也是画图和读图时必须遵守的投影规律。这种对应关系无论是对整个形体，还是对形体的每一个组成部分都成立。在运用这一规律画图和读图时，要特别注意形体的水平投影与侧面投影的前后对应关系即“宽相等”的关系。下面以如图2-8（a）所示形体为例，说明三面投影图的绘制方法与步骤：（1）建立坐标轴

11、；（2）据尺寸及选定的投影方向，确定布图方位，先作出V面或W面投影图，按照“长对正、高平齐、宽相等”投影对应关系，做出H面投影图如图2-8（b）所示。（3）检查无误后，描深完成三面投影图，如图2-8（c）所示。（a）立体图 （b）作图过程 （c）投影图 图2-8 直角弯板三面投影图的作图步骤 巩固提高 多注意观察周围各种物体的形状，可用纸张勾画其在三面投影的示意图。知识扩展 课堂练习：认真复习三面投影的投影规律，熟记长、宽、高在三面投影图中的关系。兴趣阅读公路网、辐射公路、环形公路、绕行公路 公路网：在一定区域内根据交通的需要，由各级公路组成的一个四通八达的相互联络、交织成网状分布的公路系统。

12、 辐射公路：在公路网中，自某一中心向外呈辐射状伸展的公路。 环形公路：在公路网中，围绕某一中心呈环状的公路。 绕行公路：为使行驶车辆避开城镇或交通障碍路段而修建的分流公路。2.2 点的投影学习目标 掌握点的三面投影及投影规律；掌握点的投影与直角坐标；掌握两点的相对位置及重影点。知识链接 2.2.1 点的三面投影及投影规律；三面投影。一切形体的构成都离不开点、直线和面（平面、曲面）等基本几何元素。例如，如图2-9所示的房屋建筑形体是由7个侧面所围成的，各个侧面相交形成15条侧棱线，各侧棱线又相交于A、B、C、D、，J 10个顶点。从分析的观点看，只要把这些顶点的投影画出来，再用直线将各点的投影一

13、一连接起来，便可以做出一个形体的投影。掌握点的投影规律是研究线、面、体投影的基础。图2-9 房屋形体2.2.1 点的三面投影及投影规律2.2.1.1 点的三面投影表示空间点A在三投影面体系中的投影，如图2-10（a）所示，将点A分别向3个投影面投射，就是过点A分别做垂直于3个投影面的投射线，则其相应的垂足a、a、a就是点A的三面投影。点A在水平投影面上的投影用a表示，称为点A的水平投影；在正投影面上的投影用a表示，称为点A的正面投影；在侧面投影面上的投影用a表示，称为点A的侧面投影。如图2-10（b）所示为点A的三面投影图。a）直观图 b）投影图图2-10 点的投影规律2.2.1.2 三面投影

14、体系中点的投影规律从图2-10（a）可知，平面AaaXa是一个矩形，aaX与Aa平行并且相等，反映出点A到H面的距离；aaX与Aa平行并且相等，反映出点A到V面的距离；aaY与Aa平行并且相等，反映出点A到W面的距离。可见三面投影体系中点的投影规律是：（1）点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即aaOX。（2）点的V面投影和W面投影的连线垂直于OZ轴，即aaOZ。（3）点的H面投影至OX轴的距离等于其W面投影至OZ轴的距离，即aaX= aaZ。应用上述投影规律，可根据一点的任意两个已知投影，求得它的第3个投影。 【例例2-1】如图2-11（a）所示。已知点A的正面投影a和侧面投影a，求作

15、水平投影a。根据点的投影规律，即可做出点的三面投影，其步骤如下：1） 过点a按箭头方向作aaXOX轴，并适当延长；2） 过点a按箭头方向，作线垂直OYW轴并延长，交于转折线后向左垂直交于OYH轴并适当延长，与aaX延长线交于点a，点a即为所求，如图2-11（b）所示。a）已知条件 b）作图步骤图2-11 已知点的两面投影求第三投影2.2.2 点的投影与直角坐标如图2-12所示，空间一点的位置可用其直角坐标表示为A（x, y, z），点A三投影的坐标分别为a（x, y），a（x, z），a（y, z）。 a）直观图 b）投影图 图2-12 点的投影与直角坐标的关系点A的直角坐标与点A的投影及点A

16、到投影面的距离有如下关系：（1）点A的X坐标（x）=点A到W面的距离AaaaZ aXO；（2）点A的Y坐标（y）=点A到V面的距离AaaaZ aaX O；（3）点A的Z坐标（z）=点A到H面的距离AaaaaX aZO。由于空间点的任一投影都包含了两个坐标，所以一点的任意两个投影的坐标值，就包含了确定该点空间位置的3个坐标，即确定了点的空间位置。可见，若已知空间点的坐标，则可求其三面投影，反之亦可。由于空间点的任一投影都包含了两个坐标，所以一点的任意两个投影的坐标值，就包含了确定该点空间位置的3个坐标，即确定了点的空间位置。可见，若已知空间点的坐标，则可求其三面投影，反之亦可。【例例2-2】如图

17、2-13所示，已知空间点A（15，12，20），求作A点的三面投影图。根据点的投影和点的坐标之间的关系，即可作出点的三面投影，其步骤如下：1） 先画出投影轴（即坐标轴），在OX轴上从O点开始向左量取X坐标15mm，定出aX，过aX作OX轴的垂线，如图2-13（a）所示。2） 在OZ轴上从O点开始向上量取Z坐标20mm，定出aZ，过点aZ作OZ轴的垂线，两条垂线的交点即为a，如图2-13（b）所示。3） 在aaX的延长线上，从aX向下量取Y坐标12mm得a；在aaZ的延长线上，从aZ向右量取Y坐标12mm得a。或者由投影点a、a借助45转折线的作图方法（即“宽相等”的对应关系）也可作出投影点a。

18、a、a、a即为A点的三面投影，如图2-13（c）所示。a）利用X坐标 b）利用Z坐标 c）完成图图2-13 点A的投影2.2.3 两点的相对位置及重影点 2.2.3.1 两点的相对位置 两点的相对位置是指空间两个点的左右、前后、上下3个方向的相对位置。可根据它们的坐标关系来确定。X坐标大者在左，小者在右；Y坐标大者在前，小者在后；Z坐标大者在上，小者在下。两点在投影中反映出：正面投影为上下、左右关系；水平投影为左右、前后关系；侧面投影为上下、前后关系。 【例例2-3】已知空间点A（15，15，15），点B在点A的左方5mm，后方6mm，上方3mm，求作空间点B的三面投影图。作图步骤如下：1）

19、根据点A的三个坐标可作出点A的三面投影a、a、a，如图2-14（a）所示。2） 在OX轴上从O点开始向左量取X坐标15+5=20mm得一点bX，过该点作OX轴的垂线，如图2-14（b）所示。3） 在OYH轴上从O点开始向后量取YH坐标156=9mm得一点，过该点作OYH轴的垂线，与OX轴的垂线相交，交点为空间点B的H面投影b，如图2-14（c）所示。4） 在OZ轴上从O点开始向上量取Z坐标15+3=18mm得一点bz，过该点作OZ轴的垂线，与OX轴的垂线相交，交点为空间点B的V面投影b，再由b和b作出b，完成空间点B的三面投影，如图2-14（d）所示。a）完成点A的投影 b）求bxc）求by、

20、求b d）完成图图2-14 空间两点的相对位置2.2.3.2 重影点及其可见性如图2-15（a）所示，如果空间点A和点B的X、Y坐标相同，只是点A的Z坐标大于点B的Z坐标，则A、B两点的H面投影a和b将重合在一起，V面投影a在b之上，且在同一条OX轴的垂线上，W面投影a在b之上，且在同一条OYW轴的垂线上。这种投影在某一投影面上重合的两个点，称为该投影面的重影点。重影点在标注时，将不可见的点的投影加上括号，如图2-15（b）所示。a）直观图 b）投影图图2-15 重影点的投影巩固提高 课堂练习： 习题集、知识扩展 课后多阅读相关资料。兴趣阅读公路的主要技术指标公路的主要技术指标有：计算行车速度

21、、行车道宽度、路基宽度、极限最小平曲线半径、停车视距、最大纵坡、桥涵设计车辆荷载及桥面车道数。计算行车速度：即设计车速，是表明公路等级与使用水平的控制性指标，是公路几何设计所采用的车速。行车道宽度：公路上供车辆行驶的路面面层的宽度，一般指行车道宽度。路基宽度：在一个横断面上两路肩外缘之间的宽度。 极限最小平曲线半径：在平面线型中，路线转向处曲线的总称包括圆曲线和缓和曲线，称作平曲线。为保证车辆按设计车速安全行驶，对平曲线半径所规定的最小值。停车视距：汽车行驶时，驾驶员自看到前方障碍物时起，至到达障碍物前安全停止，所需的最短距离。最大纵坡：根据公路等级与自然条件等因素所限定的路线纵坡最大值。最大

22、纵坡是公路纵断面设计的重要控制指标，直接影响到路线的长短、使用质量、运输成本和工程造价。桥涵设计车辆荷载：由国家标准规定作为桥涵设计依据的若干等级标准车辆和车队。有计算荷载（汽车荷载）和验算荷载（履带车和平板挂车）。2.3 直线的投影 学习目标 掌握各种位置直线的投影（一般位置直线、投影面平行线、投影面垂直线、）；掌握求一般位置直线段的真长及对投影面的倾角；掌握求直线上点的方法。 知识链接 2.1.2 正投影的基本特征；2.1.3 三面投影；2.2.1 点的三面投影及投影规律。2.2各种位置直线的投影2.3.1 各种位置直线的投影 直线在投影面上的投影，仍为直线。作图时，只要分别作出线段两端点

23、的三面投影，再连接该两端点的同面投影（同一投影面上的投影），即可得到空间直线的三面投影。根据空间直线相对于投影面的位置不同，直线可分为以下3种：一般位置直线；投影面平行线；投影面垂直线。后两种又称为特殊位置直线。 2.3.1.1 一般位置直线如图2-16（a）所示，AB为一般位置直线。它既不平行也不垂直于任何一个投影面，即与3个投影面都处于倾斜位置的直线，这样的直线称为一般位置直线。一般位置直线与投影面之间的夹角，称为直线对投影面的倾角。直线对H面的倾角用表示，对V面的倾角用 表示、对W面的倾角用 表示。一般位置直线的3个投影均不反映真长，亦不反映空间直线对投影面的真实倾角。其投影图如图2-1

24、6（b）所示。a）直观图 （b）投影图图2-16 一般位置直线的投影2.3.1.2 投影面平行线平行于某一个投影面，而倾斜于另外两个投影面的直线，称为投影面平行线。投影面平行线有3种位置：平行于水平面的称水平线、平行于正面的称正平线；平行于侧面的称侧平线。投影面平行线的直观图、投影图和投影特性如表2-1所示。 表表2-1 2-1 投影面平行线投影面平行线水平线（H面）正平线（V面）侧平线（W面）直观图投影图投影特性1V面、W面投影均短于直线段的真长，且平行于相应的投影轴，即abOX轴而水平，abOYW轴也水平；2H面投影倾斜而反映直线段的真长，即ab=AB；3ab与水平线和垂直线的夹角，反映直

25、线段AB对V面和W面的实际倾角 、 1H面、W面投影均短于直线段的真长，且平行于相应的投影轴，即cdOX轴而水平, cdOZ轴而垂直；2V面投影倾斜而反映直线段的真长，即cd =CD；3cd 与水平线和垂直线的夹角，反映直线段CD对H面和W面的实际倾角 、 1V面、H面投影均短于直线段的真长，且平行于相应的投影轴，即ef OZ轴而垂直，efOYH轴也垂直；2W面投影倾斜而反映直线段的真长，即ef=EF；3ef 与水平线和垂直线的夹角，反映直线段EF对H面和V面的实际倾角 、 2.3.1.3 直线垂直于某一个投影面时，称为投影面垂直线。投影面垂直线有3种位置：垂直于水平面的称为铅垂线；垂直于正面

26、的称为正垂线；垂直于侧面的称为侧垂线。投影面垂直线的直观图、投影图和投影特性如表2-2所示。表表2-2 2-2 投影面垂直线投影面垂直线铅垂线（H面）正垂线（V面）侧垂线（W面）直观图铅垂线（H面）正垂线（V面）侧垂线（W面）投影图投影特性1H面投影积聚为一个点a（b）；2V面、W面投影均反映直线段AB的真长，且分别垂直于相应的投影轴，即ab=ab=AB，abOX轴，abOYW轴1V面投影积聚为一个点d（c）；2H面、W面投影均反映直线段CD的真长，且分别垂直于相应的投影轴，即cd=cd=CD，cdOX轴，cdOZ轴1W面投影积聚为一个点e（f）；2H面、V面投影均反映直线段EF的真长，且分别

27、垂直于相应的投影轴，即ef= ef =EF，e fOYH轴， ef OZ轴【例例2-4】如图2-17所示正三棱锥的投影图，试分析各棱线与投影面的相对位置关系。1） 棱线SB，如图2-17（a）所示，sb与sb分别平行于OYH轴和OZ轴，可确定棱线SB为侧平线，侧面投影sb反映棱线SB的真长。2） 棱线AC，如图2-17（b）所示，侧面投影a（c）为积聚点，可判断棱线AC为侧垂线，其正面投影与水平投影均反映棱线AC的真长，即ac=ac=AC。3） 棱线SA，如图2-17（c）所示，棱线SA的3个投影s a、sa、sa对各投影轴均倾斜，由此可判断出棱线SA必定是一般位置直线。 a）棱线SB为侧平线

28、 b）棱线AC为侧垂线 c）棱线SA为一般位置线图2-17 正三棱锥各棱线与投影面的相对位置2.3.2 求一般位置直线段的真长及对投影面的倾角 用直角三角形法求出一般位置直线段的真长及其对投影面的倾角。 2.3.2.1 基本原理 如图2-18（a）所示，在一般位置直线AB与其水平投影ab所决定的平面ABba上，过线段端点B作一水平线与投影线Aa相交于点C，可得到一直角三角形ABC。其中，斜边AB的长度是一般位置直线本身的真长，直角边BC的长度等于投影ba的长度，直角边AC的长度即是线段两端点A、B到H面的距离差（Aa-Bb=AC=ac）。BC与AB的夹角反映直线与投影面H的夹角 。同理，可作出

29、一直角三角形BAD，从而求出直线与投影面V的夹角。2.3.2.2 作图步骤作图步骤如下：（1）以ab为一直角边，从a端（或b端）作一垂直线aA1；（2）在直线aA上截取aA1= ac（ZA-ZB）；（3）连接bA1，得三角形abA1，bA1即为真长，bA1与ab的夹角为直线对投影面H面的倾角 ，如图2-18（b）所示；（4）同理可求出角 及真长，如图2-18（c）所示。 a）直观图 b）求AB的真长及倾角 c）求AB的真长及倾角 图2-18 求一般位置直线段的真长及倾角 2.3.3 直线上的点2.3.3.1 直线上的点的投影点在直线上，其投影一定落在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律，这一

30、特性称为从属性。如图2-19（a）所示，因为点C在直线AB上，所以点C的投影一定落在该直线的同面投影上；点D不在直线AB上，点D的投影一定不落在该直线的同面投影上（V面投影d与ab重影），其投影图如图2-19（b）所示。 a）直观图 b）投影图 图2-19 直线上点的投影2.3.3.2 点分直线段成定比直线上的点分割直线段长度之比等于其同面投影长度之比。如图2-19所示，点C将直线段AB分成AC和CB两段，点C的投影c也分ab为ac、cb两段，则：AC:CB=ac:cb=ac: cb=ac:cb。【例例2-5】如图2-20（a）所示，已知直线AB的V、H面投影，在直线AB上找一点C使其分直线A

31、B为2:3。作图如图2-20（b）所示，步骤如下：1） 过点a引一条适当长度并五等分辅助线aB1；2） 过点B1向a连线得aB1，距点a两等分处得点k；3） 过点k作bB1的平行线交ab得点c；4） 作V面的投影点c，如图2-20（b）所示。 a）已知条件 b）作图过程图2-20 直线上点分割直线及投影巩固提高 课堂练习： 习题集、。知识扩展 两条直线的相对位置：两条直线平行、两条直线相交（垂直相交）、两条直线交叉。兴趣阅读公路行政等级公路按使用性质可分为：国家公路、省公路、县公路和乡公路（简称为国、省、乡道），以及专用公路五个行政等级。一般把国道和省道称为干线，县道和乡道称为支线。 国道是指

32、具有全国性政治、经济意义的主要干线公路，包括重要的国际公路，国防公路、连接首都与各省、自治区、直辖市首府的公路，连接各大经济中心、港站枢纽、商品生产基地和战略要地的公路。 省道是指具有全省（自治区、直辖市）公路主管部门负责修建、养护和管理。国道中跨省的高速公路由交通部批准的专门机构负责修建、养护和管理。 县道是指具有全县（县级市）政治、经济意义，连接县城和县内主要乡（镇）、主要商品生产和集散地的公路，以及不属于国道、省道的县际间公路。县道由县、市公路主管部门负责修建、养护和管理。 乡道是指主要为乡（镇）村经济、文化、行政服务的公路，以及不属于县道以上公路的乡与乡之间及乡与外部联络的公路。乡道由

33、人民政府负责修建、养护和管理。专用公路是指专供或主要供厂矿、林区、农场、油田、旅游区、军事要地等与外部联系的公路。专用公路由专用单位负责修建、养护和管理。也可委托当地公路部门修建、养护和管理。2.4 平面的投影学习目标 掌握平面的表示方法；掌握各种位置平面的投影（一般位置平面、投影面平行面、投影面垂直面）；掌握平面上的直线和点（平面上的直线、平面上的点）的求法。知识链接 2.1.2 正投影的基本特征；2.1.3 三面投影；2.2.1 点的三面投影及投影规律；2.3.1 各种位置直线的投影。2.4.1 平面的表示方法平面的范围是无限的，它在空间的位置可用下列的几何元素来表示：（1）不在同一条直线

34、上的3个点，如图2-21（a）所示的点A、B、C； a）不同线3个点 b）直线及线外一点 c）相交两直线 d）平行的两条直线 e）平面图形 图2-21 平面的表示方法（2）一条直线及直线外一点，如图2-21（b）所示的点A和直线BC；（3）相交的两条直线，如图2-21（c）所示的直线AB和AC；（4）平行的两条直线，如图2-21（d）所示的直线AB和CD；（5）平面图形，如图2-21（e）所示的三角形ABC。2.4.2 各种位置平面的投影 三投影面体系中的平面，相对于投影面有3种不同位置，可分为：一般位置平面；平行于投影面的平面（简称投影面平行面）；垂直于投影面的平面（简称投影面垂直面）。后两

35、种平面统称为特殊位置平面。 平面对H面的倾角用 表示，对V面的倾角用 表示、对W面的倾角用 表示。2.4.2.1 一般位置平面当平面与3个投影面都倾斜时，称为一般位置平面。如图2-22所示，图中用ABC来表示一个平面，该平面与V、H、W 3个投影面都倾斜，投影面上的投影abc、abc和abc均为ABC的类似形，也不反映该平面对投影面的真实倾角。一般位置平面的投影特性是：3个投影都没有积聚性，仍是平面图形，反映了原空间平面图形的类似形状。在读图时，一个平面的3个投影如果都是平面图形，它必然是一般位置平面。a）直观图 b）投影图 图2-22 一般位置平面 2.4.2.2 投影面平行面投影面平行面有

36、以下3种：平行于水平面的平面称为水平面平行面（简称为水平面）；平行于正面的平面称为正面平行面（简称为正平面）；平行于侧面的平面称为侧面平行面（简称为侧平面）。投影面平行面的直观图、投影图和投影特性如表2-3所示。 表2-3 投影面平行面水平面（H面）正平面（V面）侧平面（W面）直观图投影图投影特性1H面投影反映平面图形的真形；2V、W面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的投影轴OX轴和OYW轴1V面投影反映平面图形的真形；2H、W面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的投影轴OX轴和OZ轴1W面投影反映平面图形的真形；2H、V面投影积聚为一条直线，且分别平行于相应的投影轴OZ轴和OYH轴2.

37、4.2.3 投影面垂直面投影面垂直面，可分为以下3种：垂直于水平面而倾斜于V、W面的平面称为水平面垂直面（简称铅垂面）；垂直于正面而倾斜于H、W面的平面称为正面垂直面（简称为正垂面）；垂直于侧面而倾斜于H、V面的平面称为侧面垂直面（简称为侧垂面）。投影面垂直面的直观图、投影图和投影特性如表2-4所示。 表2-4 投影面垂直面铅垂面（H面）正垂面（V面）侧垂面（W面）直观图投影图投影特性1H面投影积聚为一条直线；2V、W面投影均为小于平面图形真形的类似形1V面投影积聚为一条直线；2H、W面投影均为小于平面图形真形的类似形1W面投影积聚为一条直线；2H、V面投影均为小于平面图形真形的类似形2.4.

38、3 平面上的直线和点2.4.3.1 平面上的直线如图2-23（a）、（b）所示分别为平面上直线的直观图、投影图。直线在平面上的几何条件是：（1）一条直线若通过平面上的两个点，则此直线必定在该平面上。三角形ABC决定一平面P，由于M、N两点分别在直线AB和AC上，所以MN连线在P平面上。（2）一条直线若通过平面上的一个点，又平行于该平面上的另一条直线，则此直线必在该平面上。相交两直线ED、EF决定一平面Q，由于M是直线ED上的一个点，若过M作直线MNEF，则MN必定在Q平面上。a）直观图 b）投影图图2-23 平面上的直线 平面上的点如图2-24（a）、（b）所示分别为平面上点的直观图、投影图。

39、点在平面上的几何条件是：若点在平面内的任一条直线上，则此点一定在该平面上。相交两直线ED、EF决定一平面Q，由于M点在平面Q中的EF直线上，因此M点在平面Q上。 a）直观图 b）投影图图2-24 平面上的点【例例2-6】已知ABC及其平面上点k的投影，求作点K的水平投影k，如图2-25（a）所示。作图步骤如下：1） 过投影点a、k作辅助线交bc于d点，再按点的投影规律，由d向下作铅垂线，与bc相交得d点，如图2-25（b）所示。2） 连接ad，如图2-25（b）所示。3） 由k向下作垂直线，与ad相交得k点，k点即为所求，如图2-25（c）所示。a）已知条件 b）作图过程 c）完成图 图2-2

40、5 求作平面上点的投影 2.4.3.3 特殊位置平面上点的投影投影面平行面或投影面垂直面称为特殊位置平面，在它们所垂直的投影面上的投影积聚成直线，所以在该投影面上的点和直线的投影必在其有积聚性的同面投影上。如图2-26所示，若已知三角形ABC上点F的水平投影f，可利用有积聚性的正面投影abc求得f ，再由f和f 求得f 。图2-26 特殊位置平面上点的投影巩固提高 课堂练习： 习题集、。知识扩展直线与平面的相对位置，直线与平面的相对位置有三种：平行、相交、垂直。垂直是相交的特殊情况。两平面的相对位置，平面与平面的相对位置也有三种：平行、相交、垂直。垂直是相交的特殊情况。点、直线、平面的综合，空

41、间的几何问题一般涉及点、直线、平面之间的从属、距离和直线、平面之间的平行、相交、垂直、距离、夹角以及线、面本身的真长、真形等问题。兴趣阅读公路等级公路根据使用任务、功能和适应的交通量分为高速公路、一级公路、二级公路、三级公路、四级公路五个等级。高速公路为专供汽车分向、分车道行驶并全部控制出入的干线公路。 四车道高速公路一般能适应按各种汽车折合成小客车的远景设计年限年平均昼夜交通量为250055000辆； 六车道高速公路一般能适应按各种汽车折合小客车的远景设计年限年平均昼夜交通量为4500080000辆； 八车道高速公路一般能适应按各种汽车折合成人客车的远景设计年限年60000100000辆。

42、一级公路为供汽车分向、分车道行驶的公路，一般能适应按各种汽车折合成小客车的远景设计年限年平均昼夜交通量为150030000辆。二级公路一般能适应按各种车辆折合成中型载重汽车的远景设计年限年平均昼夜交通量为30007500辆。三级公路一般能适应按各种车辆折合成中型载重汽车的远景设计年限年平均昼夜交通量为10004000辆。四级公路一般能适应按各种车辆折合成中型载重汽车的远景设计年限年平均昼夜交通量为：双车道1500辆以下；单车道200辆以下。本 章 小 结 主要介绍了:（1）投影的形成、投影法分类。1） 投影的形成：将发光点称为光源，光线称为投射线，地面或墙面称为投影面，这种影子称为投影。2）

43、投影法分类：分为中心投影法和平行投影法（正投影法、斜投影法）两大类。（2）三面投影体系。直观图：也称为立体图；投影图：正投影面（简称正面，用V表示）、水平投影面（简称水平面，用H表示）和侧面投影面（简称侧面，用W表示）。（3）点的投影规律及作图方法。两投影点连线垂直相应的轴，点的坐标（x，y，z），两点相对位置的判断以坐标大小为准。（4）直线的投影特征。一般位置直线、特殊位置直线（投影面的平行线、投影面的垂直线）；一般位置直线求真长及倾角的方法（直角三角形法）。（5）各种位置平面的投影特征。一般位置平面、特殊位置平面（投影面的垂直面、投影面的平行面）；点和直线在平面上的几何条件。复习思考题 2-1工程上常用的投影法分为哪几类？每种投影法的特点是什么？2-2为什么说掌握点的投影规律是研究直线、平面、形体投影的基础？2-3判断空间两点相对位置关系的依据是什么？2-4一般位置直线的投影特性是什么？2-5投影面平行线的投影特性是什么？2-6投影面垂直线的投影特性是什么？2-7简述用直角三角形法求直线段真长和对投影面倾角的方法。2-8直线上的点有哪些特点？2-9平面的表示方法有哪些？2-10一般位置平面的投影特性是什么？2-11投影面平行面的投影特性是什么？2-12投影面垂直面的投影特性是什么？