第2章控制系统的数学模型(1)课件.ppt

《第2章控制系统的数学模型(1)课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第2章控制系统的数学模型(1)课件.ppt（34页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第二章控制系统的数学模型第二章控制系统的数学模型Chapter 2 Mathematical model of control system控制系统的数学模型数学模型是指描述系统或元件输入量、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式。建立数学模型，可以使用解析法解析法和实验法实验法 数学模型时域模型频域模型方框图和信号流图状态空间模型本章重点内容本章重点内容 系统微分方程的列写系统微分方程的列写 传递函数的定义和性质传递函数的定义和性质 系统框图的建立和等效变换系统框图的建立和等效变换 信号流图和梅逊公式的应用信号流图和梅逊公式的应用2.1 2.1 列写系统微分方程的一般方法列写系统微分方程的

2、一般方法解析法建立微分方程的一般步骤是 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入、输出量；量；1 从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各从输入端开始，按照信号的传递时序及方向，根据各变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程变量所遵循的物理、化学定律，列写出变化（运动）过程中的微分方程组；中的微分方程组；2 消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程；消去中间变量，得到只包含输入、输出量的微分方程；3 标准化工作标准化工作:将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输入有关的各项放在等号的右侧，即将与输出有关的各项放在等号的左侧，

3、并按照降幂排列。将与输出有关的各项放在等号的左侧，并按照降幂排列。4例例2-1 R-L-C2-1 R-L-C串联电路串联电路图2-1)()()()(22tutudttduRCdttudLCrcccdttduCtic)()( )()()()(tutRidttdiLtucr)()()(22tudttduRCdttudLCccc 动态数学模型为二阶常系数线性微分方程。动态数学模型为二阶常系数线性微分方程。2.1.1 简单系统微分方程的建立简单系统微分方程的建立 例例2-2 2-2 已知一已知一R-CR-C网络如图所示，试写出该网络输网络如图所示，试写出该网络输入与输出之间的微分方程。入与输出之间的微

4、分方程。解：解： 设回路电流设回路电流i i1 1、i i2 2111cruiRu dtiiCuc)(12111 2221ccuiRu dtiCuc2221 2ccuu 由由、得得dtduCdtduCicc2222由由导出导出 dtduCdtduCidtduCiccc2112111将将i1i1、i2i2代入代入、，则得，则得 22211cruiRiRuccccudtduCRdtduCdtduCR222111)(ccccudtduCRdtduCuiRdtdCR2222211)(cccccudtduCRdtduCRdtduCRdtudCRCR222111222211rcccuudtduCRCRCR

5、dtudCCRR)(222111222121例例2-3 2-3 设弹簧设弹簧质量质量阻尼器系统如图所示，试阻尼器系统如图所示，试求外力求外力 与质量为与质量为m m的质量块的位移的质量块的位移 之间的微分之间的微分方程式。方程式。)(tF)(ty2d)(dttymmaF22d ( )d( )( )( )ddy ty tF tky tfmtt22d( )d ( )( )( )ddy ty tmfky tF ttt 弹簧弹簧质量质量阻尼器系统阻尼器系统 式中，式中，f f为阻尼系数；为阻尼系数；k k为弹簧的为弹簧的弹性系数。这是一种机械平移运弹性系数。这是一种机械平移运动的运动方程，它是一个二阶

6、微动的运动方程，它是一个二阶微分方程。分方程。2.1.2 复杂复杂系统系统微分方程的建立微分方程的建立 找到控制系统的总输入量和最终的输出量，找到控制系统的总输入量和最终的输出量，明确系统中各元件的连接方式和各自的工明确系统中各元件的连接方式和各自的工作原理作原理; ; 分别列写出各个典型元件的微分方程，组分别列写出各个典型元件的微分方程，组成方程组成方程组; ; 消去所有中间变量，得到系统最终输入量消去所有中间变量，得到系统最终输入量和输出量的关系式和输出量的关系式, ,即为控制系统的微分方即为控制系统的微分方程。程。 例例2-5直流调速系统直流调速系统(DC speed control s

7、ystem)当电动机的负载或电网电压变化时，由于系统的当电动机的负载或电网电压变化时，由于系统的自动控制作用，电动机的转速能近似的维持不变。自动控制作用，电动机的转速能近似的维持不变。 解：系统框图解：系统框图执行元件参考输入控制变量被控制量扰动量被控对象控制器测量元件偏差gUneUM1KG1UdUTGfnULT (1) 放大器放大器( amplifier) 假设无惯性假设无惯性 （2）直流他励发电机）直流他励发电机(DC separately excited generator) 为分析简化起见，假设拖动发电机为分析简化起见，假设拖动发电机的原动机的转速的原动机的转速 恒定不变，发恒定不变，

8、发电机没有磁滞回线和剩磁。此外，电机没有磁滞回线和剩磁。此外，还设发电机的磁化曲线为一直线，还设发电机的磁化曲线为一直线，即即 。 0n/BiLeUKU11 由电机学的原理得由电机学的原理得其中其中 。把式。把式(2-6)代入式代入式(2-5)，于是得，于是得式中，式中，1URidtdiLBB （2-5）（2-6）LCC12 12UKEdtdEGGG RLCKRLG12 ； 12GBECC i(3) 直流他励电动机直流他励电动机(DC separately excited motor) 由基尔霍夫定律和由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得牛顿第二定律得GeaaEnCdtdiLRi dtdnGDTTL

9、e3752 aueicT 由上述三式中消去中间变量由上述三式中消去中间变量 后，得后，得式中式中, 称为电动机的机电时间常数；称为电动机的机电时间常数； 称为电动机的电气时间常数；称为电动机的电气时间常数； 的量纲与时间的量纲相同。的量纲与时间的量纲相同。 aeiT、)(122dtdTTCCRECndtdndtndLaLueGemam (2-8) uemCCRGD3752 RLa am 和和(4) 测速发电机测速发电机 测速发电机的磁场恒定不变。测速发电机的磁场恒定不变。测速发电机发出的电压与转速成正比测速发电机发出的电压与转速成正比 (5) 比较环节比较环节nufn fngeuuu (2-1

10、1) (2-10) 系统方程系统方程: : 对整个系统而言，引起系统运动的外部因素是给对整个系统而言，引起系统运动的外部因素是给定电压和负载转矩。其余的物理量均为中间变量，定电压和负载转矩。其余的物理量均为中间变量，经消元后得经消元后得)()1()()(222233LLGaLaGuegeemGGamGamTdtdTTdtTdCCRuCKnCKdtdndtnddtnd (2-12)()(.)()()()(.)()(0111101111trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnn 线性定常系统微分方程的一般形式线性定常系统微分方程的一

11、般形式2.2 2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 绝对的线性元件和线性系统不存在绝对的线性元件和线性系统不存在 非本质非线性非本质非线性 本质非线性本质非线性 线性化线性化: :在满足一定条件的前提下，用近似在满足一定条件的前提下，用近似的线性系统代替非线性方程。的线性系统代替非线性方程。 线性化的基本条件线性化的基本条件: :非线性特性必须是非本非线性特性必须是非本质的，系统各变量对于质的，系统各变量对于工作点工作点仅有微小的仅有微小的偏离。偏离。 微偏法微偏法:若非线性函数不仅连续，而且其若非线性函数不仅连续，而且其各阶导数均存在，则由级数理论可知，各阶导数均存在，则由级

12、数理论可知，可在给定工作点邻域将此非线性函数展可在给定工作点邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。的非线性方程。线性化的方法线性化的方法: :设一非线性元件的输入为设一非线性元件的输入为x x、输出为、输出为y y，它们，它们间的关系如图所示，相应的数学表达式为间的关系如图所示，相应的数学表达式为)(xfy (2-13)在给定工作点在给定工作点 附近，将上式展开泰勒级数附近，将上式展开泰勒级数)(00yx ， 202200)(! 21)()()(00 xxdxfd

13、xxdxdfxfxfyxxxx若在工作点若在工作点 附近增量附近增量 的变化很小，则可的变化很小，则可略去式中略去式中 项及其后面所有的高阶项，这样，上项及其后面所有的高阶项，这样，上式近似表示为式近似表示为)(00yx ，0 xx 20)(xx )(00 xxKyy (2-14) 或写为或写为 xKy （2-14）00000)(xxxyyydxdfKxfyxx ， 式中，式中， 式（式（2-14）就是式（）就是式（2-13）的线性化方程。）的线性化方程。叠加原理叠加原理：可叠加性和齐次性可叠加性和齐次性线性系统的基本特性线性系统的基本特性22( )( )( )( )d x tdx tmfKx

14、 tf tdtdt 当当f(t)=f1(t)时，上述方程的解为时，上述方程的解为x1(t)；当当f(t)=f2(t)时，上述方程的解为时，上述方程的解为x2(t)；如果如果f(t)=f1(t)+ f2(t) ,方程的解方程的解为为x(t)= x1(t)+x2(t),这就是这就是叠加性叠加性当当f(t)=Af1(t)时，上述方程的解为时，上述方程的解为x1(t)=Ax1(t),这就是这就是齐次性齐次性 END 10y1210y12上线性化。求用线上线性化。求用线性化方程来计算当性化方程来计算当x=5x=5，y=10y=10时时z z值所产生的误差。值所产生的误差。解：由于研究的区域为解：由于研究

15、的区域为5x75x7、10y1210y12，故，故选择工作点选择工作点x x0 0=6=6，y y0 0=11=11。于是于是z z0 0=x=x0 0y y0 0=6=611=66.11=66.求在点求在点x x0 0=6=6，y y0 0=11=11，z z0 0=66=66附附近非线性方程的线性化表近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点达式。将非线性方程在点x x0 0,y,y0 0,z,z0 0处展开成泰勒级数，处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有并忽略其高阶项，则有)()(000yybxxazz11000yxzayyxx6000 xyzbyyxx因此，线性化方程式为：因此，线

16、性化方程式为： z-66=11(x-6)+6(y-11)z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66z=11x+6y-66当当x=5,y=10 x=5,y=10时，时，z z的精确值为的精确值为z=xy=5z=xy=510=5010=50由线性化方程求得的由线性化方程求得的z z值为值为z=11x+6y=55+60-66=49z=11x+6y=55+60-66=49因此，误差为50-49=1，表示成百分数 %2501例2-4试把非线性方程试把非线性方程 z=xy z=xy 在区域在区域5x7 5x7 、例子：直流他励发电机磁化曲线的线性化例子：直流他励发电机磁化曲线的线性化设

17、发电机原工作于磁化曲线的设发电机原工作于磁化曲线的A点。若令发电机的励点。若令发电机的励磁电压增加磁电压增加 ，求其增量电动势，求其增量电动势 的变化规律。的变化规律。1u GE 若发电机在小（若发电机在小（增量增量）信号励磁电压的作用下，工作）信号励磁电压的作用下，工作点点A的偏离范围便较小，从而可以通过的偏离范围便较小，从而可以通过A点作一切线点作一切线CD，且依此切线，且依此切线CD近似地代替原有的曲线近似地代替原有的曲线EAF。在在平衡点平衡点A处，发电机的方程为处，发电机的方程为 当励磁电压增加当励磁电压增加 后，则有后，则有100uRiB （2-15）（2-16）（2-17）（2-

18、18）1u 010 CEG1100)(uudtdNRiiBB )(010 CEEGG 由式（由式（2-17）减式（）减式（2-15），式（），式（2-18）减去式）减去式（2-16）后得）后得作上述相减的运算，消去了原平衡工作点作上述相减的运算，消去了原平衡工作点A处各变量处各变量间的关系，使所求的式（间的关系，使所求的式（2-19）、（）、（2-20）中的变量）中的变量均为增量，因而称这两个方程式为均为增量，因而称这两个方程式为增量方程式增量方程式。1udtdNRiB 1CEG（2-19）（2-20） 增量方程只描述了发电机在平衡工作点增量方程只描述了发电机在平衡工作点A处受到处受到增量励磁

19、电压增量励磁电压 作用下的运动过程。作用下的运动过程。对于式（对于式（2-19）、（）、（2-20）而言，发电机励磁曲线的）而言，发电机励磁曲线的坐标原点不是在坐标原点不是在O点而是移至原平衡点点而是移至原平衡点A处。处。因此，发电机的初始条件变为零了。因此，发电机的初始条件变为零了。这样，不仅便于求解方程，而且也是我们以后研究这样，不仅便于求解方程，而且也是我们以后研究控制系统时控制系统时假设零初始条件的依据假设零初始条件的依据。1u 需要注意的是，在式（需要注意的是，在式（2-19）中之所以不）中之所以不写作写作 ，而用，而用 表示，原因是那一表示，原因是那一段磁化曲线不是一直线，即段磁化

20、曲线不是一直线，即 ，表，表示电感示电感L不是一个常数，因而用反电动势不是一个常数，因而用反电动势来表示。来表示。 dtidLB ddNt ddBi 常常量量把磁化曲线把磁化曲线 在平衡工作点在平衡工作点 处展开为泰勒处展开为泰勒级数级数 略去上式中略去上式中 项及其后面所有的高阶项，并令项及其后面所有的高阶项，并令 则式（则式（2-21）便简化为）便简化为（2-21）20)(BBii ( )Bf i00()Bi，00()BBBBf iiii ，0()BBf ii 200 000)(! 21)()()(BBBBBBBBiiifiiififif或写作或写作式中式中 为平衡工作点为平衡工作点A处的

21、正切值。根据式处的正切值。根据式（2-22），式（），式（2-19）和式（）和式（2-20）可改写为）可改写为其中，其中，)(0BBifidd （2-22）)(0Bif1udtidLRiBB BGiCE 2（2-23）（2-24）)()(0120BBifCCiNfL ， 不难看出，随着发电机平衡工作点的不同，其时不难看出，随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数间常数 和放大倍数和放大倍数 也不同。由线也不同。由线性化引起的误差的大小与非线性的程度和工作点偏移性化引起的误差的大小与非线性的程度和工作点偏移的大小有关。的大小有关。 严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程严格地说，经过线性化后的所得的系统微分方程式，只是近似地表征系统的运动情况。式，只是近似地表征系统的运动情况。 实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性实践证明，对于绝大多数的控制系统，经过线性化后所得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统化后所得的系统数学模型，能以较高的精度反映系统的实际运动过程，所以线性化方法是很有实际意义的。的实际运动过程，所以线性化方法是很有实际意义的。 )(0BifRNRL RCK2