高中生对数函数学习困难的研究%01.docx

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1、学校代码： 10200 研究生学号： 2013101691 分类号： G633.6 密 级：无 硕士学位论文 高中生对数函数学习困难的研究 Difficult to Study High School Students Learning Logarithmic Function 作者： 吴 瑞 丽 指 导 教 师 ： 韩 继 伟 副 教 授 专业学位类 别：教育硕士 专业学位领域：学 科教学（数学 ） 学位类型：专 业硕士 东北师范大学学位评定委员会 2015年 5月 独 创 性 声 明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究 工作所取得的成果。据我所知，除了特别加以标注

2、和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明。本声明的法律结果由本人 承担。 学 位 论 文 作 者 签 名 ： 曰 期 : 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将 学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或其它复制手段保存、汇编本学位论文。 (保密的学位论文在解密后适用本授权书 ） 学位论文作者签名： !彿甑

3、. 日 .期 ： 指导教师签名 ： 日 期： 学位论文作者毕业后去向 : 工作单位： , 通讯地址： _ 电话 : 邮编 : 摘 要 对数函数是高中生新接触的一类重要的基本初等函数，但是由于对数符号的抽象 性，函数学习的复杂性，对数函数的综合性等诸多因素，导致学生关于对数函数的学习 和理解明显存在困难。尽管国内数学教育工作者关于对数以及对数函数的研究成果颇 丰，但是他们大多数都是在对数的发展史、对数函数的教学设计、对数函数的概念、性 质、解题及应用等方面提出自己的观点，而以对数函数为主实证研究却很有限。笔者通 过对部分高中教师和学生的访谈发现，教师并不知道学生在对数函数学习过程中具体存 在哪些

4、学习困难，学生也无法通过教师的讲解完全消除学习障碍。 因此笔者以高中生对数函数的学习困难为研究内容，选取吉林省长春市三所高中的 不同年级学生为调查对象展开研究。在正式研究之前，笔者首先选取学校一高一的部分 学生进行预研究，根据预研究调查问卷反映出的问题，适当修改问卷后才对 三所学校的 高中生展开正式调查。接下来笔者使用 Excel和 SPSS软件对调查问卷的数据进行了分 析和处理，得到高中生关于对数函数知识的理解现状，并总结了他们在这部分知识学习 的过程中存在的四类学习困难： 1. 对数函数的概念辨析困难。在这类困难范围内，学生分别有关于对数函数概念的 陈述性知识记忆困难，对对数函数概念中变量

5、的限定条件掌握不准确，无法应用对数函 数的概念进行辨析三类具体困难类型。 2. 数学思想的应用困难。在高中阶段要求学生掌握的七类基本数学思想中，有三类 常常被应用于解决对数函数的相关问题，分别是分类与讨 论思想、数形结合思想和转化 与化归思想，而这三类数学思想的应用也是学生的主要学习困难所在。 3. 对数型复合函数的理解困难。对数函数和复合函数都是高中数学学习的重点和难 点，而将两者结合成对数型复合函数对学生来说无疑是 雪上加霜 。学生在学习这部 分知识主要存在三类困难：缺乏整体换元意识、忽略对函数定义域的考察和单调性的判 断困难。 4. 对数函数的相关知识基础薄弱。有些学生之所以出现对数函数

6、的学习困难，并不 是对数函数知识掌握不足，而是对于对数函数相关的知识理解存在障碍。 结合上述研究结果，笔者针对高中生关于对数函数的学习困难提出了五点教学建 议：首先教师应该尽量激发学生对对数函数的学习兴趣，并且鼓励学生勇于发现错误、 提出疑难，然后设计适应高中生认知发展水平的教学活动，接下来引导学生建构对数函 数的知识框架，最后注重培养学生在数学学习过程中的反思习惯。 关键词 .“ 高中生；对数函数；学习困难 Abstract Logarithmic function is the important basic elementary functionsin with a new class

7、of high school students ,However, due to the abstractive of logarithmic function symbols,the complexity of the learning function,as well as the integrated function of many factors such as the number,leads students on a logarithmic function of learning and understanding obviously difficult.Although t

8、he number of mathematics educators on logarithms and logarithmic functions of research quite good,but most of them are in the history of the development of the number of instructional design logarithmic function of several aspects of the concept of function, naturely, problem solving and application

9、 put forward their views,the logarithmic function-based empirical research is limited.The author interview some high school teachers and students,then find that teachers dont know what students with learning difficulties in the learning process for a specific number of fonctions exist,and students w

10、ith learning disabilities canH be completely eliminated by the teacher to explain,either. So the author inquire into three high school students with learning difficulties in a logarithmic function of the research content, select three different grades of high school students in Changchun of Jilin Pr

11、ovince as object of the study.Prior to the formal research, I select the part of the pre-study students firstly, according to a pre-questionnaire reflects issues, with appropriate modifications to the questionnaire after the three schools for high school students launched a formal investigation.Next

12、, I use Excel and SPSS software to the questionnaire data were analyzed and processed,get high school students understand the current situation with regard to knowledge of logarithmic functions,and summarizes their main four types of learning difficulties in this part of knowledge. 1. Analysis of di

13、fficult concepts logarithmic function. About such difficulties, the students were on a logarithmic function of the concept of declarative knowledge memory difficulties, logarithmic fiinction concept variables qualification inaccurate and can not be applied to grasp the concept of the number of funct

14、ions performed discriminate these three specific types of difficulties. 2. Difficult application of Mathematical Thinking. In high school requires students to master basic mathematical ideas in seven categories, there are three types applicable to a logarithmic function of the relevant knowledge, ar

15、e classified and discussed ideas, thoughts and the idea of combination of and snaoe transformation and the idea, which will undoubtedly become a high school logarithm learning difficulties function. 3. Difficulty understanding complex logarithmic function. Logarithmic function and high school studen

16、ts learn complex functions are important and difficult, combining the two logarithmic composite function for students is undoubtedly Mworse/ Students in this part of the main types of difficulty is the lack of awareness of the overall substitution, ignore visits and monotonic function definition dom

17、ain judgment difficult. 4. Weak logarithmic function of the relevant knowledge base. The reason why some students in the event of a logarithmic function of the difficulties in learning, not for lack of knowledge of the number of control functions, but for a logarithmic function of the relevant knowl

18、edge to understand the obstacles. The author combine the results of the study for high school students on a lfunction of learning difficulties presented a five-point teaching suggestions: First, teachers should try to stimulate students1 interest in learning logarithmic function, and encourage stude

19、nts to discover the error and the courage to make difficult, and then design to adapt to the level of cognitive development of high school students and teaching activities, followed by a logarithmic fimction to guide students to construct knowledge framework and finally focus on students in mathemat

20、ics learning process reflection habits. Key words: High school students; Logarithmic fiinction; Learning difficulties ill 目 录 m . I Abstract . II f： . IV 1. . 问题提出 . 1 1.1研究背景 . 1 1.1.1对数的提出和发展历程 . 1 1.1. 2对数函数在课程标准中的要求 . 1 1.1. 3高中生对数函数的学习现状 . 1 1.2研究问题 . 1 1.3研究意义 . 2 1. 3. 1理论意义 . 2 1. 3. 2实践意义 .

21、 2 . 3 2.1学习困难的相关研究 . 3 2. 2对数函数的研究现状 . 3 2. 2.1对数函数数学史 . 3 2.2. 2对数的教学设计 . 3 2. 2. 3对数函数概念 . 4 2. 3. 4对数函数性质 . 4 2. 3. 5对数函数的解题 . 5 2. 3. 6对数函数的应用 . 5 2.3相关理论介绍 . 5 2.3.1自我价值理论 . 5 2. 3. 2信息加工理论 . 5 2. 3. 3建构主义学习理论 . 6 3靡方法 4设计 . 7 3.1研究对象 . 7 3. 2研究方法 . 7 3_ 3概过 H . 8 4. 高中生对对数函数的理解状况和存在困难 . 12 4.

22、1高中生对数函数掌握的情况 . 12 4. 1.1高中生对数函数掌握的整体情况 . 12 4.1.2不同类型学校学生的对数函数知识的掌握情况 . 13 4.1. 3男女生的对数函数知识掌握情况 . 14 4.1.4不同年级学生的对数函数知识的掌握情况 . 15 4. 2高中生对数函数学习困难类型 . 17 4. 2.1对数函数的概念辨析困难 . 17 4. 2.2数学思想的应用困难 . 22 4. 2. 3对数型复合函数的理解困难 . 25 4. 2.4对数函数的相关知识基础薄弱 . 28 5. 讨论骑议 . 30 IV 5.1髙中生对数函数学习困难可能成因的相关讨论 . 30 5.1. 1对

23、数符号的抽象程度高 . 30 5.1. 2对数函数相关考点的综合性强 . 30 5.1. 3相关的函数知识掌握不佳 . 30 5. 2 MiX . 30 5. 2.1激发学生对对数函数的学习兴趣 . 30 5. 2. 2鼓励学生勇于发现错误并提出疑难 . 31 5. 2. 3设计适应高中生认知发展水平的教学活动 . 31 5. 2. 4引导学生建构对数函数的知识框架 . 31 5. 2. 5注重培养学生在数学学习过程中的反思习惯 . 32 . 33 Pft . 35 & . 40 V 1. 问题提出 1.1研究背景 1.1.1对数的提出和发展历程 16世纪末至 17世纪初，在自然科学领域（尤其

24、是天文学）的发展上常常需要处理 大量精密而又庞大的数值，因此数学家们发明了对数以简化运算 纳皮尔 Napier John) 在他的奇妙的对数表的描述文中中阐明了对数原理，后人称之为 纳皮尔对数 。 但是纳皮尔对数既不是常用对数，也不是自然对数，与现今研究的对数并不等同。 1742 年， J.威廉在给G.威廉的对数表所写的前言中首次使用指数来定义对数。欧拉 (Leonhard Euler)在他的著作无穷小分析寻论中也明确提出对数函数与指数函数 互为逆函数，这一关系正是现在高中数学基本初等函数的学习内容。 伽利略 （ Galileo Galilei)曾经说过： 给我时间，空间和对数，我可以创造出

25、一个宇宙 1。数学家拉普拉斯 （ Pierre-Simon marquis de Laplace)亦曾提到 对数 用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍 2，都极大程度上肯定了对数发明的重大 意义。 1.1.2对数函数在课程标准中的要求 普通高中数学课程标准关于对数函数内容的要求如下 ： M 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数 或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史及其简化运算的作用； 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数 的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函 数的图像，探索并了解对

26、数函 数的单调性与特殊点； 知道指数函数产，与对数函数 rlogj互为反函数。 （ a0， #l) 1.1. 3高中生对数函数的学习现状 函数不仅是高中数学的一条主线，还从一定角度将高中数学课程的许多内容串联起 来。学生在初中就已对一次函数、二次函数、正比例函数和反比例函数进行了初步探究 和简单了解，因此对函数也有一定的认知基础。在初中的学习基础上，高中又对函数进 行了更深层次的研究，其中对数函数作为一种新的函数模型，是高中学习的重点和难点。 由于函数知识本身的复杂性，对数函数对于学生来说过于抽象，而且学生无法在实际生 活中感知对数函数的存在性和应用性，因此学生在对数函数的学习中难免存在理解障

27、碍 和学习困难。而教师在实际教学过程中，也因存在盲目教条等问题导致教学效果不佳现 象的频频出现。 1.2研究问题 基于笔者以上对于对数的发展与发明意义的研究，和对数函数在高中数学课程标准 _ 东北师范大硕士学位论文 _ 中要求的阐述，以及对学生关于对数函数的学习现状分析，笔者以 高中生对数函数学 习困难的研究 为内容，具体研究以下两个问题： 1. 高中生对数函数的学习现状如何？ 2. 高中生在对数函数学习过程中的容易出现哪些学习困难？ 1. 3研究意义 本研究是在笔者查阅了大量参考文献，又结合高中教学实际需要确立的研究课题， 因此存在一定的理论意义和实际意义。 1. 3.1理论意义 从学习困难

28、的角度，对数函数的复杂性导致学生学习困难的出现是笔者研究和思考 的一个重点。学习困难问题最初起源于心理学对具有学习障碍儿童的研究，但它在教育 领域的研究比较宽泛，尤其对于数学学科，没有具体化、知识化的论述。因此，本文关 于高中数学对数函数这一具体学习困难的调查，可以拓宽和完善数学学科在学习困难领 域的研究。从数学学科教育角度，高中数学函数本身的知识量不断增加，对数函数又是 函数学习研究的重中之重，因此学生在学习对数函数时存在困难也是情理之中的事。从 学生的认知发展角度，探究学生怎样理解对数函数知识，可以帮助学生克服函数学习困 难，并提出对学生更有效的对数函数教学策略。 1.3.2实践意义 通过

29、笔者的探究和分析，现在的高中教师由于缺乏与学生的沟通和互动，加上教师 在教育心理学方面理论知识的欠缺，他们的课堂教学与学生的主观需求是分离的。很多 对数函数知识的讲授对于教师而言顺理成章，但是这一跨度不符合学生 的认知结构，因 此学生听课的无效性和教师教学的盲目性越来越显著。本研究意在从学生主位出发，通 过量化研究，一方面可以掌握真实的反馈结果，找到学生的认知障碍，帮助教师了解学 生关于对数函数存在哪些学习困难，使得教师在对数函数教学中能掌握主动性和有效 性。另一方面，通过分析学生在对数函数中存在的学习困难，为教师有效地进行对数函 数教学提供依据，完善教学设计以达到减少教学失误的效果。 2.

30、文献综述 2.1学习困难的相关研究 关于函数学习困难这一课题，数学教育工作者对其做的相关研究还很有限，研究人 却也主雯来自于部分一线教师以及即将步入教育行业的在读学生们，其中比较有代表性 的研究如下： 刘静 (2006)认为函数学习困难的因素主要有三个方面 :函数的复杂性，中学生思维 发展水平的局限性，初、高中函数衔接问题。 敖海军 (2007)从两方面分析了学生在函数部分存在困难的原因，其一是从学生的思 维水平方面，其二是函数的复杂性方面。在分析过困难原因以后，敖海军又针对以上两 方面原因提出了教学策略。 刘兵 (2013)根据自己的实际教学经验， 分别从学生自身因素、函数本身特征、教师 因

31、素三方面对高中生函数学习困难的原因做了分析和归纳。 裴利芳 (1995)分别从知识结构、学习的认知加工水平、元认知技能三方面慰学习的 影响进行了关于 学习困难 的研究。她的研究重点是从认知结构，并应用心理学理论 分析了学生存在学习困难的原因。 陈烨 (2013)从函数的复杂性、学生的思维发展水平以及学生的学习习惯三方面对初 中函数学习困难的原因进行了解释并做了相应的教学设计。 孙倩男 (2014)以高一函数知识为载体，从认知结构的角度探究了造成学生函数学习 困难的三个原因 ，分别为：原有知识基础薄弱；函数知识组织程度较差；函致知识表征 不完善。最后他又结合认知心理学和建构主义观点，提出了相应的

32、解决策略。 2. 2对数函数的研究现状 我国关于对数函数的相关研究多数是关于对数函数的解题和应用，与对数函数相关 的实证研究十分少见。在中国知网中，以 对数函数 为题目可以搜索到大量相关文章， 笔者以不同的分类标准并将它们整理为以下几个方面。 2.2.1对数函数数学史 苏英俊，汪晓勤 (2002)认为将数学史融入数学课堂教学可以对学生的学习起到积极 作用。他以 对数 的实际课堂教学为例，向学生介绍了对数的发明过程，让学生在感 受对数的发明发展历程，及其重要应用的基础上达到更好的学习效果。 桂德怀 (2003)为了解答同学们将对数函数理解成人们通过指数函数的关系而硬性 规定的这一误区，推荐学生课

33、后自学对数和指数发展简史，并且通过开卷问答形式 了解学生的掌握情况。 汪晓勤，韩祥临 (2005)谈及了中学数学中涉及到的数学史内容。 2. 2. 2对数的教学设计 笔者在中国知网中搜索到的大量有关对数函数的文献，相当大一部分都是关于对数 函数的教学与设计的。 _ 东北师范大硕士学位论文 _ 卜文 （ 2001 )从四个方面介绍了对数函数的说课案例，他结合自身教学经验，以及 他对对数函数课程的理解，设计了这节课的教学过程和安排目的。 陈克胜、章传秀 (2004)着重从课堂引入的角度研究了有关对数函数的教学。文章首 先向学生介绍了对数发明的发明过程，然后让出学生对大数进行复杂的计算，在学生表 示

34、出对这种复杂计算的反感后引入对数的概念，然后介绍了对数发明的背景、产生与发 展，以及常用对数的由来。 陈柏良 (2004)通过对两位高中数学教师关于对数概念课程设计的比较，分析学生的 认知心理因素，概括出四点数学教学启示： （ 1)科学地组织数学教学； （ 2)从不同角 度了解学生的学习状况和需要； （ 3)提倡理解性学习； （ 4)启发学生的积极思维。 张继仁 （ 2005)分别从教学目标、学习目标、教学重难点、多媒体、板书设计、教 学过程的设计、形成性练习、形成性评价八个方面对对数函数课堂教学进行了完整 设计并以表格形式呈现。 张兰 （ 2006)应用多种教学方法，如启发法、诱导法、发现教

35、学法，指导学生发现 与对数函数的有关的规律，并且要求学 生自己归纳对数函数的性质，从而完成课堂教学 任务。 刘咏梅，黄伟民 （ 2009)以对数函数的教学为例，设计了高中数学学案，在编 写的过程中他提出了自己的教学建议和相关说明。 2. 2. 3对数函数概念 数学概念是数学学习的基础，同样对数函数概念在整个对数函数知识中占有核心地 位，笔者通过对文献的整理，发现以下文章对对数函数的概念研究很有借鉴意义。 熊萍 （ 2009)认为指导学生绘制对数函数概念图有利于反映他们关于对数概念的内 在理解图式，并且还可以从中洞察学生建构概念的情况。 朱学庆 (2002)介绍了有关概念图定义、由来和理论依据以

36、及如何绘制概念图，这一 方法可以应用到对数函数的概念学习中。 2. 2.4对数函数性质 甘大旺 (1997)研究了对数函数比较大小问题，他通过研究发现比较两个真数与底数 均不相等的对数时，学生存在解题困难，而应用对数函数的单调性恰好可以解决这一问 题。 刘思恭 （ 2002)总结了对数函数的相关性质，发现判断对数值的正负方法： （ 1)同 向则正，异向则负； （ 2)正则同向，负则异向。具体含义是如果将底数和自变量的范围 都标在数轴上，那么当他们同时在 1的一侧时，函数值就是正值，反之 是负值。 刘志刚 (2007)介绍了 4种比较对数大小的方法，分别是： （ 1)求差法； （ 2)直接 换底

37、法； （ 3)求商法； （ 4)乘方法； （ 5)插值法； （ 6)化成同类式子； （ 7)图像 法； （ 8)参数法；（ 9)斜率法； （ 10)平均值不等式法； （ 11)求导法。 陶维林 (2007)创新性的用计算器进行 对数的运算性质 教学，并整理了教学过程。 他通过分组讨论的形式，将班级的学生分组，并用计算器计算指定的对数数值，然后让 同学们互相对比计算结果自己探究规律，最后归纳出对数运算的相关计算性质。 石志群、仇炳生 (2007)通过自己的听课经验发现，对于 对数的运算性质 的课程 实际都没有做到以学生的发展作为起点和目标，针对课堂上出现的这种现象，他们提出 了有关对数性质的学习

38、的几点建议。 _ 东北师范大硕士学位论文 _ 2. 2. 5对数函数的解题 慕泽刚 （ 2004)总结了高中生在对数函数学习中容易遇到的三大难点： （ 1)底数 不统一；（ 2)真数是和差的形式； （ 3)对数与对数相乘。然后针对学生以上的学习困 难，提出了相应的解决策略。 刘和平 （ 2004)通过对 2004年高考全国统一考试理科卷的第 22题的研究，用微积 分的观点解题，并且从中总结出关于对数函数的一个独特性质。 刘修龙 （ 2006)总结了高中数学教师在指导学生学 对数函数时不可忽视的六个要 点：（ 1)对数式与指数式的关系； （ 2)对数的真数大于 0; (3)对数的底数大于 0 且

39、不等于 1; (4)对数运算性质成立的条件； （ 5)对数函数的值域； （ 6)对数运算的 几个补充公式。 唐正敏 （ 2008)通过对于大量对数习题的总结分析，认为高中生学习对数存在四大 难点：（ 1)底数不统一； （ 2)真数是和差的形式； （ 3)对数与对数相乘； （ 4)指数 中出现对数。 李清州 （ 2010)认为高中生在解决对数函数问题时，容易出现六种错误： （ 1)忽 视对函数的定义域的考虑； （ 2)忽视对底数的辨别； （ 3)忽略指数式的取值范围； （ 4) 忽视新变量范围的变化； （ 5)变形过程不等价； （ 6)对复合函数的分析不透彻。 张由涛 （ 2010)从五个方面将高中对数及对数函