最新高中数学知识探究教案人教版版必修《正弦定理》一 .docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结讲授新课合作探究 师那么对于任意的三角形，关系式a sin Ab sin Bc sin C是否成立？（由同学争论、分析）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情形：如右图，当 ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，依据任意角三角函数的定义，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有CD=AsinB=BsinA,就a sin Ab sin B，同理，可得c sin Cb sin B.从而可编辑资料

2、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ab sin Bc.sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（当 ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情形，由同学自己完成）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ab sin Bc.sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师是否可以用其他方法证明这一等式？生可以作 ABC 的外接圆， 在 ABC 中,令 BC=A,AC=B,AB=C,依据直径所对的圆周角是直角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以及同弧所对的圆

3、周角相等，来证明a sin Ab sin Bc sin C这一关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师很好！这位同学能充分利用我们以前学过的学问来解决此问题，我们一起来看下面的证法.在 ABC 中,已知 BC=A,AC=B,AB =C,作 ABC 的外接圆 ,O 为圆心 ,连结 BO 并延长交圆于B,设 BB=2R. 就依据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAB=90， C = B，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin C=sin B= sin Csin Bc.2 R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c2 R .sin C可编

4、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理 ,可得a sin A2 R,b sin B2R .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结asin Absin Bcsin C2 R .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这就是说 ,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此 ,我们得到等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ab sin Bc.sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - -

5、 - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点评 :上述证法采纳了中学所学的平面几何学问, 将任意三角形通过外接圆性质转化为直角 三角形进而求证,此证法在巩固平面几何学问的同时,易于被同学懂得和接受,并且排除了学生所持的 “向量方法证明正弦定理是唯独途径”这一误会 .既拓宽了同学的解题思路,又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫.学问拓展 师接下来 ,我们可以考虑用前面所学的向量学问来证明正弦定理.从定理内容可以看出,定理反映的是三角形的边角关系,而在向量学问中,哪一学问点表达边角关系了.生向量的数

6、量积的定义式AB=|A|B|Cos其,中 为两向量的夹角.师回答得很好 ,但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系,这两者之间能否转化了.生可以通过三角函数的诱导公式sin C=os90 -进行转化 .师这一转化产生了新角 90-这,就为帮助向量 j 的添加供应了线索 ,为便利进一步的运算 ,帮助向量选取了单位向量 j, 而 j 垂直于三角形一边 ,且与一边夹角显现了 90-这一形式 ,这是作帮助向量 j 垂直于三角形一边的缘由 .师在向量方法证明过程中,构造向量是基础,并由向量的加法原就可得ACCBAB而添加垂直于AC 的单位向量j 是关键 ,为了产生j 与 AB、 AC 、CB 的数量积

7、 ,而在上面对量等式的两边同取与向量j 的数量积运算 ,也就在情理之中了.师下面 ,大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程,并留意总结在证明过程中所用到的向量学问点.点评 : 1在赐予同学适当自学时间后,应强调同学留意两向量的夹角是以同起点为前提,以及两向量垂直的充要条件的运用.2 要求同学在巩固向量学问的同时,进一步体会向量学问的工具性作用.向量法证明过程:1 ABC 为锐角三角形 ,过点 A 作单位向量j 垂直于 AC ,就 j 与 AB 的夹角为90 -A,j 与CB 的夹角为 90-C.由向量的加法原就可得ACCBAB ,为了与图中有关角的三角函数建立联系,我们在上面对量等式

8、的两边同取与向量j的数量积运算 ,得到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结j ACCBjAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由安排律可得ACjCBjAB .|j| AC Cos90+|j| CB Cos90 -C=|j| AB Cos90 -A.AsinC=CsinA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ac.sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料

9、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -另外 ,过点 C 作与 CB 垂直的单位向量j, 就 j 与 AC 的夹角为 90+C,j 与 AB 的夹角为 90+B,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得c sin Cb.sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此处应强调同学留意两向量夹角是以同起点为前提,防止误会为j 与 AC 的夹角为90-C,j与 AB 的夹角为90-B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ab sin Bc.sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载

10、精品名师归纳总结2 ABC 为钝角三角形,不妨设 A90,过点 A 作与 AC 垂直的单位向量j, 就 j 与 AB的夹角为 A-90 ,j 与 CB 的夹角为 90-C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由 ACCBAB ,得 j AC+j CB =j AB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 ACos90 -C=CCosA-90 ,AsinC=CsinA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin Ac sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结另外 ,过点C 作与 CB 垂直的单位向量j, 就 j与 AC 的夹角为90+C,

11、j 与 AB 夹角为90+B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理 ,可得b sin Bc.sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结asimAbsin Bcsin C（形式 1） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结综上所述 ,正弦定理对于锐角三角形、直角三角形、钝角三角形均成立. 师在证明白正弦定理之后,我们来进一步学习正弦定理的应用. 老师精讲 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使 A=ksin A， B=ksin B，C=ksin C。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

12、（2）a sin Ab sin Bc sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结等价于a sin Ab sin B,csin Cb sin B,asin Ac sin C 形式 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结我们通过观看正弦定理的形式2 不难得到 ,利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边，如ab sinA .这类问题由于两角已知,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin B故第三角确定 ,三角形唯独 ,解唯独 ,相对简单 ,课本 P4 的例 1

13、就属于此类问题.已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 sin A类问题变化较多,我们在解题时要分清题目所给的条件一般的，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形a sin bB 此可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -师接下来 ,我们通过例题评析来进一步体会与

14、总结.例题剖析【例 1】 在 ABC 中，已知A=32.0 ,B=81.8 ,A=42.9 cm,解三角形 .分析 :此题属于已知两角和其中一角所对边的问题,直接应用正弦定理可求出边B,如求边C,再利用正弦定理即可.解： 依据三角形内角和定理，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C=180 -A+B=180 -32.0依据正弦定理，+81.8 =66.2 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结asin Bb=sin A42.9 sin 81.8osin 32.0o 80.1cm;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

15、总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结asin Cc=sin A42.9sin 66.2osin32.0o 74.1cm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法引导 1 此类问题结果为唯独解,同学较易把握,假如已知两角和两角所夹的边,也是先利用内角和 180 求出第三角 ,再利用正弦定理.2 对于解三角形中的复杂运算可使用运算器.【例 2】 在 ABC 中，已知A=20 cm，B=28 cm，A=40，解三角形（角度精确到1，边长精确到 1 cm）分析 :此例题属于BsinA a b 的情形 ,故有两解 ,这样在求解之后了,无需作进一步的检验,使同学在运用正弦定理求

16、边、角时,感到目的很明确,同时体会分析问题的重要性.解： 依据正弦定理，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sinB =bsin A a28sin 40o20 0.899 9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 0 B180，所以 B64或 B116.（1）当 B64时，C =180 -（ A+B） =180 -（ 40+64 ）=76 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin CC =sin A20sin 76o sin 40o 30cm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）当 B116时，C=180 -（ A+B） =18

17、0 -（40+116 ） =24 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sinCC=sin A20sin 24o sin 40o 13cm.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法引导 通过此例题可使同学明确,利用正弦定理求角有两种可能,但是都不符合题意, 可以通过分析获得,这就要求同学熟识已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形.当然对于不符合题意的解的取舍,也可通过三角形的有关性质来判定,对于这一点,我们通过下面的例题来体会.变式一： 在 ABC 中,已知 A 60,B 50,A 38,求 B精确到 1和 C保留两个有效数字.分析 :此题属于AB 这一类情形

18、 ,有一解 ,也可依据三角形内大角对大边,小角对小边这一性质来排除 B 为钝角的情形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解： 已知 BA,所以 BB 的情形 ,有一解 ,可应用正弦定理求解角B 后,利用三角形内角和为 180排除角 B 为钝角的情形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： sinB=bsin A a20sin1

19、20o 28 0.168 6,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B38或 B142舍去 .C =180- （A+B）=22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C = a sin C28 sin 22 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin120方法引导 1 此题要求同学留意考虑问题的全面性,对于角 B 为钝角的排除也可以结合三角形小角对小边性质而得到.2 综合上述例题要求同学自我总结正弦定理的适用范畴,已知两角一边或两边与其中一边的对角解三角形 .3 对于已知两边夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解.师为巩固本节我们

20、所学内容,接下来进行课堂练习：1.在 ABC 中结果保留两个有效数字，1 已知 C =3 ,A =45 ,B=60 ，求 B;2 已知 B 12,A 30,B120 ,求 A.解： 1 C=180-A+B=180-45 +60=75 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b sin Bc，sin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B =csin B3 sin 60 1.6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 sin Casin 75b，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Asin B

21、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A = b sin A12sin 30 6.9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Bsin120可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点评 :此题为正弦定理的直接应用,意在使同学熟识正弦定理的内容,可以让数学成果较弱的同学进行在黑板上解答,以增强其自信心.2.依据以下条件解三角

22、形角度精确到1,边长精确到1: 1 B=11,A=20, B=30 ;2 A=28, B=20,A=45 ;3 C =54, B=39, C=115 ;4 A=20, B=28,A=120 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：1 a sin Ab.sin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A =a sin Bb20sin 3011 0.909 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1 65，A2 115 .当 A1 65时， C1=180 -B+A1=180 -30+65 =85 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C1=

23、b sin C1 sin sin B11sin 85sin 30 22.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 A2 115时， C2=180 -B+A2=180 -30+115 =35 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C2=bsin C 2sin B11sin 35sin 30 13.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 sinB=b sin Aa20sin 4528 0.505 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B1 30，B2 150 .由于 A+B2=45 +150 180 ,故 B2 150应舍去 或者由 B A 知 B

24、A,故 B 应为锐角 .C=180-45 +30=105.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C=a sin C28 sin105 38.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 sin A bsin 45c,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin Bsin C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin B=b sin Cc39 sin11554 0.654 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结B1 41B2, 139 .由于 BC,故 B C, B2 139应舍去 .当 B=41时， A=180-41 +115 =24 ,可编

25、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A= c sin Asin C54sin 24sin 115 24.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 sin B=b sin Aa28sin 12020=1.212 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此题无解 .点评 :此练习目的是使同学进一步熟识正弦定理,同时加强解三角形的才能, 既要考虑到已知角的正弦值求角的两种可能,又要结合题目的详细情形进行正确取舍.课堂小结通过本节学习,我们一起争论了正弦定理的证明方法,同时明白了向量的工具性作用,并且明确了利用正弦定理所能解决的两类有关三角形问题:已知两角、一边解三角形;

26、已知两边和其中一边的对角解三角形.布置作业（一）课本第10 页习题 1.1第 1、2 题.（二）预习内容：课本P5 P 8 余弦定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -预习提纲 1 复习余弦定理证明中所涉及的有关向量学问.2 余弦定理如何与向量产生联系.3 利用余弦定理能解决哪些有关三角形问题.板书设计正弦定理 1.正弦定理 :2.证明方法 :3.利用正弦定理,能够解决两类问题:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a sin A角b sin Bc sin C(1) 平面几何法1已知两角和一边(2) 向量法2 已知两边和其中一边的对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载