极坐标与参数方程题型及解题方法.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -参数方程极坐标复习提问1、 极坐标系和直角坐标系有什么区分？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正半轴。假如点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y），在极坐标系下的坐标为, 就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以下关系成立：cosxsiny可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

2、师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、 参数方程x r cosy r sin表示什么曲线？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 、 圆x-a2+y-b2=r2的参数方程是什么？5、 极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=，又 xOP=.和的值确定了，就P 点的位置就确定了。叫做 P 点的极半径，叫做 P 点的极角， , 叫做 P 点的极坐标（规定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结写在前，写在后）。明显，每一对实数, 打算平面上一个点的位置可编辑资

3、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6、参数方程的意义是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 题型与方法归纳可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 题型与考点 （ 1）极坐标与一般方程的相互转化极坐标与直角坐标的相互转化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（

4、2）参数方程与一般方程互化参数方程与直角坐标方程互化可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用参数方程求值域3参数方程的几何意义2、解题方法及步骤（1）、参数方程与一般方程的互化化参数方程为一般方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。化一般方程为参数方程的基本思路是引入参数，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 选 定 合 适 的 参 数 t ， 先 确 定 一 个 关 系 xft （ 或ygt， 再 代 入 普 通 方 程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

5、纳总结Fx, y0 ，求得另一关系yg t （或 xft） . 一般的，常挑选的参数有角、有向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 1、方程y2t22t2tt（ 为参数） 表示的曲线是（）t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆解析：留意到2t t 与 2 t 互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结消 去 含 t 的 项 ， x22y22t2 t22t2 t4，

6、 即 有 y2x24， 又 注 意 到可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2t0，2t2 t22t2 t2，即y2 ， 可 见 与 以 上 参 数 方 程 等 价 的 普 通 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2x2（4 y2）. 明显它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 1、与一般方程x2y10 等价的参数方程是（）（ t 为能数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 13 页 - - - - - -

7、- - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xsin txtgtx1txcos t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.B.ycos2 tyC .1tg 2 tytD.ysin2 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：所谓与方程x2y10 等价，是指如把参数方程化为一般方程后不但形式一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结致而且x, y 的变化范畴也对应相同，根据这一标准逐一验证即可破解.可编辑资料 - - - 欢

8、迎下载精品名师归纳总结对于 A 化为一般方程为x21，1 ， y0，1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于 B 化为一般方程为x2对于 C化为一般方程为x2R，y 0，y，1 。，1 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于 D化为一般方程为x21，1 ， y0，1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y10，xy10，xy10，xy10，x而已知方程为x2y10， xR，y，1，明显与之等价的为B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习2 、设P 是椭圆为.2x23y212上的一个动点，就x2 y 的最大值是，最小值可编辑资料 -

9、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：留意到变量x, y的几何意义，故讨论二元函数x2 y 的最值时，可转化为几可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结何问题 . 如设 x2 yt ，就方程 x2 yt 表示一组直线， （对于 t 取不同的值， 方程表示不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同的直线） ，明显22x, y既满意2x23y212 ，又满意x2 yt ，故点x, y是方程组可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x3yx2 yt12的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为讨论消无后的一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结元二次方

10、程的判别式0 问题 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：令 x2 yt ，对于x, y既满意2x23y212 ，又满意 x2 yt ，故点x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是 方 程 组2x2 x3y22 yt12的 公 共 解 ， 依 题 意 得11 y28ty2t2120 ， 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结264t24112t120 ，解得：22t22 ，所以 x2 y 的最大值为22 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最小值为22 .（ 2）、极坐标与直角坐标的互

11、化利用两种坐标的互化，可以把不熟识的问题转化为熟识的问题，这二者互化的前提条件 是（ 1）极点与原点重合。 （ 2）极轴与 x 轴正方向重合。 （ 3）取相同的单位长度. 设点 P的直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结角坐标为x, y，它的极坐标为,，就2x cos或y sintgx2y 2y x。如把直角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结坐标化为极坐标，求极角时，应留意判定点P 所在的象限（即角的终边的位置） ，以便正确的求出角.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2、极坐标方程4sin 225 表示的曲线是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

12、名师归纳总结A. 圆B. 椭圆C.双曲线的一支D.抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为一般方程进行判定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：由4sin241cos22cos，5 化为直角坐标系方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x2y22 x5 ，化简得y 25 x254. 明显该方程表示抛物线，应选D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 1、已知直线的极坐标方程为sin2 ，就极点到该直线的距离是42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载

13、精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：极点的直角坐标为o 0,0，对于方程sin2 sin2 cos2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得sincos1，化为直角坐标方程为x y10 ，因此点到直线的距离为22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

14、师归纳总结练习 2、极坐标方程2 cos0 转化成直角坐标方程为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A x2y20或y1B x1C x2y20或x1D y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：cos10,x2y20, 或cosx1 ，因此选C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 3、点 M 的直角坐标是1,3 ，就点 M 的极坐标为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 2,3B 2, 32C 2, 23D 2, 2k, kZ 3

15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：2, 2k, kZ 都是极坐标，因此选C.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）、参数方程与直角坐标方程互化x210 cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例题 3：已知曲线C1 的参数方程为y10 sin（为参数），曲线C2 的极坐标方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程为2 cos6 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）将曲线C1 的参数方程化为一般方程，将曲线C2 的极坐标方程化为直角坐标方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）曲线C1

16、， C2 是否相交，如相交恳求出公共弦的长，如不相交，请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x解：（ 1）由210cos得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx22y 210 sin10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结曲线C1 的一般方程为 x22y 210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 cos6 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22cos6sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222xy , xcos, ysin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x 2y22x6 y ，

17、即 x1 2 y3 210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结曲线C2 的直角坐标方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x12 y3210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）圆C1 的圆心为 2,0 ，圆 C2 的圆心为1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 C1C 221203 23221

18、0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两圆相交设相交弦长为d ，由于两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 d 22 32 2210 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 d22公共弦长为22练习 1、坐标系与参数方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知曲线 C：xy32 cos12 sin为参数， 02，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）将曲线化为一般方程。（） 求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极

19、坐标方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：（） x2（）y223x23 cos2 y0 sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）利用参数方程求值域x1 cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 题4 、 在 曲 线C1 ：y sin 为参数 ）上 求 一 点 ， 使 它 到 直 线 C2：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x22t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y11 t22 t为参数 ）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。可编辑资料 - - - 欢迎下载

20、精品名师归纳总结解：直线 C2 化成一般方程是x+y-22 -1=0C设所求的点为P（ 1+cos,sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 C 到直线 C2 的距离 d= |1cossin2221 |AEBDO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=|sin+2|4F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当3时，即= 425时， d 取最小值1 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 13 页 - - - - - - - -

21、- -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此时，点 P 的坐标是（ 1-2 ，-2 ）2222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2练习 1、在平面直角坐标系xOy 中，动圆 x +y - 8x cos-6 y sin+ 7cos+ 8 =0（R）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的圆心为Px , y，求 2x -y 的取值范可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 ： 由 题 设 得x 4 c o s,（为 参 数 ，R ）于 是 .y 3 s i n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 xy8 c o s3 s i n7 3 c o s，所以732 xy73 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 2、已知曲线 C 的极坐标方程是（ t 为参数）2 sin，设直线 L 的参数方程是x3 t25,y4 t5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程。（）设直线L 与 x 轴的交点是M ， N

23、曲线 C 上一动点，求MN的最大值 .解：（ 1）曲线 C 的极坐标方程可化为：22sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又x 2y 22 ,xcos,ysin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，曲线 C 的直角坐标方程为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y22 y0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：y4 x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令y0得x2 即

24、M 点的坐标为2,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又曲线 C 为圆，圆 C 的圆心坐标为0,1 ，半径 r1 ，就 MC5 MNMCr51（5）直线参数方程中的参数的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例5 、已知直线 l 经过点P1,1,倾斜角，6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结写出直线l 的参数方程 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总

25、结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 l 与圆x2y 24 相交与两点A, B ，求点 P 到A, B 两点的距离之积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解（ 1）直线的参数方程为x 1t cos6 ，即y 1t sin6x 13 t2y 11 t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）把直线x 13 t2代入y 11 t2x2y24 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

26、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结得 13212t1t4, t 231t20 ， t1t22 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22就点 P 到 A, B 两点的距离之积为2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 1、 求直线4x1t5y13 t5（ t为参数）被曲线2 cos 所截的弦长 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：将方程4x1t53y1t5，2 cos 4分别化为一般方程：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3x4 y10

27、， x2y2xy0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结圆心C112122117可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（，），半径为圆心到直线的距离 d，弦长 2rd2.2221021005（ 6）、参数方程与极坐标的简洁应用参数方程和极坐标的简洁应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或讨论某些函数的最值问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6、已知ABC 的三个顶点的极坐标分别为A5， B5， C43，, 判可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结断三角形ABC的三角形的外形，并运算其面积

28、.623可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 判定 ABC的外形， 就需要运算三角形的边长或角，在此题中运算边长较为简洁，不妨先运算边长.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析：如图，对于AOB，BOC5，AOC5，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 OAOB5, OC366B43 ，由余弦定理得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22ACOA22OC2 OAOC5cosAAOCOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结52432543 cos6C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - -

29、- - - - - - - -第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结133 ，AC133 ，同理， BC133，ACBC，ABC为等腰三角形，2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 ABOAOB5，所以AB边上 的高21hACAB133,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结S ABC2211336535224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习 1、如图，点A

30、 在直线 x=5 上移动，等腰OPA的顶角 OPA为 120（ O， P， A 按顺时针方向排列） ，求点 P 的轨迹方程 .解析：取 O为极点， x 正半轴为极轴，建立极坐标系，就y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线 x5 的极坐标方程为cos5 ，设A（0 ，0 ），PA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P,，因点 A 在直线cos5 上，0 cos 051OPA为等腰三角形，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OPA120 ， 而 OP，OA0 ，以及POA30Ox可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

31、载精品名师归纳总结03 ， 且 0302，把代入 ，得点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P 的轨迹的极坐标方程为：3cos305.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1把方程xy趁热打铁1 化为以 t 参数的参数方程是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x t 2A 1y t2xsin tB y1 sin txcostCy1 costxtantDy1 tan t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： Dxy1 ， x 取非零实数，而A ，

32、 B， C 中的 x 的范畴有各自的限制可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2曲线x25ty12t21t为参数 与坐标轴的交点是（）115可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 0,、,052B 0,、,052C 0,4、8,0D 0,、8,09可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析： B当 x0 时， t2 ，而 y12t ， 即 y11，得与 y 轴的交点为0,。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 y0 时， t51 ，而 x225t ，即 xx12ty2t1252251 ，得与 x 轴的交点为251 ,02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3直线t为参数 被圆 xy9截得的弦长为（）