极限计算方法总结简洁版.docx

《极限计算方法总结简洁版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《极限计算方法总结简洁版.docx（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -极限运算方法总结（简洁版）一、极限定义、运算法就和一些结果 1定义：（各种类型的极限的严格定义参见高等数学函授教材，这里不一一表达）。 说明：（ 1）一些最简洁的数列或函数的极限（极限值可以观看得到）都可以用上面的极限严格定义证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结明，例如：limb0 a,b为常数且 a0 。lim 3x15 。 lim qn0 ， 当 | q |1时。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nan等等x2n不存在，当 | q |1时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

2、名师归纳总结义证明。（ 2）在后面求极限时， （ 1）中提到的简洁极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2极限运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理1 已知limf x ， limg x 都存在，极限值分别为A， B，就下面极限都存在，且有（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xg xAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）limf xf xg xABA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）limg x, 此时需 BB0成立 可编辑资料 - - - 欢

3、迎下载精品名师归纳总结说明：极限号下面的极限过程是一样的。同时留意法就成立的条件，当条件不满意时，不能用。3两个重要极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）limsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）lim 1x xe。lim 11 xe可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，仍应能够娴熟运用它们的变形形式，作者简介：靳一东，男，（1964），副教授。1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：limsin 3x1 ，

4、lim 12 x2 xe ， lim 13 3e 。等等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03xx0xx4 等价无穷小定理 2 无穷小与有界函数的乘积仍旧是无穷小（即极限是0）。定理 3 当 x0 时，以下函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x sinx tan x arcsinx arctanx ln1x e x1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：当上面每个函数中的自变量x 换成g x 时（g x0 ），仍有上面的等价可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结关系成立，例如： 当 x0

5、时，e3 x1 3x。 ln1x 2 x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 4 假如函数f x, g x,f1 x, g1 x 都是 xx0 时的无穷小， 且f x f1 x ，g x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xlimf1 x存 在 时 ，limf x也 存 在 且 等 于f xlimf1 x， 即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1， 就 当xx0g1 xxx0g xxx0g1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf x= limf 1 x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0g xxx0

6、g1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5洛比达法就定理 5 假设当自变量x 趋近于某肯定值（或无穷大）时，函数和 g x 的极限都是0 或都是无穷大。f x 和g x 满意：（ 1）f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）f x 和g x都可导，且g x的导数不为0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） limf xg x存在（或是无穷大） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 5 页 - - - -

7、- - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就极限limf x也肯定存在，且等于limf x，即limf x= limf x。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结g xg xg xg x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明：定理5 称为洛比达法就，用该法就求极限时，应留意条件是否满意，只要有一条不满意，洛比可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结达法就就不能应用。特殊要留意条件（1）是否满意，即验证所求极限是否为

8、“0 ”型或“”型。条件0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）一般都满意，而条件（3）就在求导完毕后可以知道是否满意。另外，洛比达法就可以连续使用，但每次使用之前都需要留意条件。6连续性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即假如x0 是函数f x的定义去间内的一点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就有 limf xf x0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx07极限存在准就定理 7（准就 1） 单调有界数列必有极限。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 8（准就

9、 2） 已知 xn, y n, zn 为三个数列，且满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）ynxnzn , n1, 2, 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）lim ynna ， lim znan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就极限lim xnn肯定存在，且极限值也是a ，即lim xna 。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、求极限方法举例1用初等方法变形后，再利用极限运算法就求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1lim3x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x13x

10、1 2223x33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = limlim。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1 x13x12x1 x13x124可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：此题也可以用洛比达法就。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2limnn n2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = limnn n2 n2n1n1分子分母同除以nlimn33。12112nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3limn1 n3n 2n3n1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

11、结解：原式上下同除以3nlimn131 。 2 n13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2利用函数的连续性（定理6）求极限1例 4limx2 e x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2解：由于x02 是函数1f x1x2 e x的一个连续点，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以原式 = 2 2 e 24e。3利用两个重要极限求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5lim 1cos x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - -

12、 - - - -第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 sinx22 sinx资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = lim2lim21。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03x 2x012x 262可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：此题也可以用洛比达法就。2例 6lim 13sin x x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x016 sin x16sin x可编辑资料 - -

13、- 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = lim 13sin x3sin xxlim 13sin x3 sin x xe 6。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0例 7lim n2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn13n 13n3n 13n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = lim 1n3n 1n1lim 1n3 n 1n1e 3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4利用定理2 求极限2例 8lim xsin 1x0x解：原式 =0 （定理 2 的结果）。5利用等价无穷小代换（定理4）求极限可编辑资料 - - -

14、 欢迎下载精品名师归纳总结例 9limx ln13x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0解：xarctan x 2 0时，ln13x 3x ， arctan x2 x2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式 = limx3x3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10x0x 2 sin xxeelim可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = limesin x exsin x1limesin x xsin x1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x

15、0xsin xx0xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：下面的解法是错误的：xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式 =lime1) e1) lim xsin x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xsin xx0 xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正如下面例题解法错误一样：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limtan xsin xlimxx0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 110limx3tanx 2x0x3sin 1 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精

16、品名师归纳总结x0解：当 xsin x0 时，x 2sin 1x是无穷小，tan x2sin1 与x2 sin x1 等价 ，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，原式 = limx2 sin 1xlimx sin 10。（最终一步用到定理2）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xx0x6利用洛比达法就求极限说明： 当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法就仍可以连续使用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 5 页 - -

17、- - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 12lim 1cos x2（例 4）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03xsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = lim。（最终一步用到了重要极限）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x06x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 13limcosx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x1sinx

18、解：原式 = lim22。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 14x1lim x12sin x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x1cos xsin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原式 = lim2= lim。（连续用洛比达法就，最终用重要极限）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x03xx06x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin xx cos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15lim2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xsin x可编辑资料 - - - 欢

19、迎下载精品名师归纳总结原式limsin xx cos xlimcos xcos xxsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x 2xx0解：3x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limx sin x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 18x0lim 13x 231可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0xln1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 错误会法： 原式 = lim 11 0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正确解法：x0xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结原式li

20、mln1xxlimln1xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0lim 1x ln111xxx0xxlimx1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x02xx0 2x1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应当留意，洛比达法就并不是总可以用，如下例。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 19limxx3x2sin x cos x012 cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：易见：该极限是“”型，但用洛比达法就后得到：lim，此极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0不存在，而原先极限却是存在的。正确做法

21、如下：x3sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1原式 = limx32sin xx cosxx（分子、分母同时除以x） = 1（利用定理1 和定理 2）3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7利用极限存在准就求极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 20 已知 x12 , xn 12xn, n1, 2, ，求limxn n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：易证：数列 xn 单调递增， 且有界（ 0xn 2），由准就 1 极限limnxn 存在，设limxna 。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -

22、- - 欢迎下载精品名师归纳总结对已知的递推公式xn 12 xn两边求极限，得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a，解得：a2 或 a资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1（不合题意，舍去） 。所以limxn2 。n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 21lim n1n 21 n1n 2211n2n11n可编

23、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：易见：n 2nn 21n 22n 2nn 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于limnnn 2n1 ， limnn1n 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以由准就2 得：lim n1n 211n2211。n 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上面对求极限的常用方法进行了比较全面的总结，由此可以看出，求极限方法敏捷多样，而且很多题目不只用到一种方法，因此，要想娴熟把握各种方法，必需多做练习，在练习中体会。另外，求极限仍有其它一些方法，如用定积分求极限等，由于不常用，这里不作介绍。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载