概率论必备知识点.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点概率论与数理统计学问点：第一章随机大事及其概率1、随机试验、样本空间与随机大事（ 1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为E. 1） 试验可在相同的条件下重复进行。2） 每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的全部可能结果。3） 每次试验前不能确定哪一个结果会显现.（ 2）样本空间：随机试验E 的全部可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为 。试验的每一个可能结果，即 中的元素，称为样本点，记为e.（ 3）随机大事： 在一次试验中可能显现也可能不显现的大事称为

2、随机大事，简称大事，常用 A、B、C 等大写字母表示。可表述为样本空间中样本点的某个集合，分为复合大事和简单大事，仍有必定大事（记为）和不行能大事（记为） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、大事的关系与运算（ 1）包含关系与相等： “大事 A 发生必导致B 发生”，记为 AB 或 BA 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABAB 且 BA.（ 2）和大事（并） ：“大事 A 与 B 至少有一个发生” ，记为 AB .（ 3）积大事（交） ：“ 大事 A 与 B 同时发生”，记为 AB 或 AB .（ 4）差大事、对立大事 余大事 ：“大事 A 发生而 B 不

3、发生”，记为 AB 称为 A 与 B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的差大事。BB 称为 B 的对立大事。易知：ABAB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）互不相容性：AB。A、 B互为对立大事AB且 AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）大事的运算法就：1交换律：ABBA ， ABBA。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2) 结合律：ABC ABC ， AB CA BC 。

4、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3) 安排律： ABCACBC ， ABC AC BC 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4) 对偶DeMorgan律：ABAB，

5、ABAB，可推广可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AkAk ,AkkkkAk .k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、频率与概率（ 1）频率的定义：大事A 在 n 次重复试验中显现nA 次，就比值nA 称为大事A 在 n 次 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结重复试验中显现的频率，记为f n A ，即nAf n A.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）统计概率：当n时，频率nAf n AnP A . 当 n 很大时，可编辑资料 -

6、- - 欢迎下载精品名师归纳总结P APfn A 称为大事A 的统计概率 .（ 3）古典概率：如试验的基本领件数为有限个，且每个大事发生的可能性相等，就试验对应古典概型（等可能概型），大事 A发生的概率为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P AA中所含样本点数中样本点总数kk A.nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）几何概率：如试验基本领件数无限，随机点落在某区域g 的概率与区域g 的测度 长度、面积、体积等 成正比，而与其位置及外形无关，就试验对应几何概型，“在区域中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结随机的取一点落在区域g 中”这一大事A

7、g 发生的概率为：P Ag g的测度 .的测度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）概率的公理化定义：设, F 为可测空间，在大事域F 上定义一个实值函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P A, AF ，满意： 1非负性：P A0 ，对任意AF 。 2规范性： P1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3可列可加性：如有一列AiFi , i1,2,Ai A j，使得PAj j 1P Aj ，j 1可编辑资

8、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就称 P A, AF 为域 F 上的概率测度，简称“概率”4、概率的基本性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）不行能大事概率零：P 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）有限可加性： 设A1 , A2 , An 是 n 个两两互不相容的大事，即Ai Aj，（ ij ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结, i, j1,2,n ，就有P A1A2An P A1 P A2 P An .可编辑资料 - - -

9、欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）单调不减性：如大事BA，就 P BP A ，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点P B A P B P A. （ 4）互补性： P A 1 P A ，且P A1. （ 5）加法公式：对任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结意两大事A、B ，有P ABP AP B P AB 。此性

10、质可推广到任意n 个大事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1 , A2 , An 的情形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 6）可分性：对任意两大事A、B ，有P AP ABP AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、条件概率与乘法公式（ 1）条件概率： 设A、B 是中的两个大事， 即A、BF ，就 P B | AP AB 称P A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为大事 A 发生的条件下大事B 发生的条件概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）乘法公式：设

11、A、 BF ，就P AB P AP B | APB P A | B称为事可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结件 A、B 的概率乘法公式.6、全概率公式与贝叶斯Bayes 公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）全概率公式：设A1 , A2 , An 是的一个划分，且P Ai 0 ， i1,2, n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就对任何大事BF ，有nP Bi 1P Ai P B |Ai ，称为全概率公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

12、纳总结（ 2）贝叶斯 Bayes 公式：设A1 , A2 , An 是的一个划分，且P Ai 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i1,2,n，就对任何大事BF ，有P Aj| BP Aj P B | Aj n, j1, n ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAi P B | Ai i 1称为贝叶斯公式或逆概率公式.7、大事的独立性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）两大事的独立：设, F , P 为一概率空间，大事A、 BF ，且P A0 ，如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P BP B |A ，就称大事A 与 B 相互独立。等价于：P ABP A P B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）多个大事的独立：设A1, A2 , An 是 n 个大事，假如对任意的k1kn ，任可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结意的 1i1i 2i kn ，具有等式P Ai AiAi PAiP Ai P Ai ，称 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

14、总结112k2k个大事A1 , A2 , An 相互独立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8、贝努里 Bernoulli概型（ 1）只有两个可能结果的试验称为贝努里试验，常记为E E 也叫做“胜利失败”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试验 , “胜利”的概率常

15、用pP A表示，其中A “胜利” .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）把 E 重复独立的进行n 次，所得的试验称为n 重贝努里试验，记为E n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cnn（ 3）把 E 重复独立的进行可列多次，所得的试验称为可列重贝努里试验，记为 E以上三种贝努里试验统称为贝努里概型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）E n 中胜利 k 次的概率是：k pk 1p n kC k p k q nk , 0kn 其中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结pq1.其次章随机

16、变量及其分布1、随机变量设是随机试验的样本空间，假如对于试验的每一个可能结果，都有唯独的实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 X 与之对应， 就称 X 为定义在上的随机变量， 简记为 X . 随机变量通常用大写可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结字母 X、Y、Z 等表示 .2、分布函数及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 X 为随机变量，x 为任意实数，函数F xP Xxx称为随机可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变量 X 的分布函数 .分布函数完整的描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（ 1） 0F x1x 。可编辑资

17、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）假如x1x2 ，就F x1 F x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）F x 为右连续，即F x0F x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）limxF x0, limxF x1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）P x1Xx2 P Xx2 P Xx1 F x2 F x1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3、离散型随

18、机变量及其概率分布假如随机变量X 只能取有限个或可列个可能值，就称X 为离散型随机变量. 如 果 X 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一切可能值为x1 , x2 ,，并且 X 取 xk 的概率为pk ，就称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - -

19、 - 欢迎下载精品名师归纳总结pkP Xxk k1,2,3, 为离散型随机变量X 的概率函数（概率分布或分布律）. 列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结成表格形式，也称为分布列 表 2-1 ：表 2-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Xx1x2x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pp1p2p3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中 pi0,pi1.i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常见的离散型随机变量的分布有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） 0-1 分布，记为X 01) ，概率函数可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xkpk 1p1k , k0,1,0p1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k（ 2）二项分布，记为X B n,p ，概率函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xknpk 1pnk , k0,1, n,0p1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C（ 3）泊松分布，记为X P ，概率函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精

21、品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xke, kkk.0,1,0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结泊松定理设0 是一常数， n 是任意正整数，设npn，就对于任一固定的非负整数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k ，有limnk p k 1k enkpn .k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Cnn当 n 很大且p 很小时，二项分布可以用泊松分布近似代替，即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nC k p k

22、1p n ke，其中np .kk.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）超几何分布，记为X H n, M , N ，概率函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kn k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P XkCM CN MCn, kN0,1, min n, M ，其中n、 N、 M为正整数，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MN , nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 23 页 - - - -

23、 - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 N 很大，且kn kCCnnpn 较小时，有MN MC k pk 1p n k .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CNN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）几何分布，记为X G p ，概率函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Xkp1pk1 , k0,1,0p1 .可编辑资料 -

24、- - 欢迎下载精品名师归纳总结4、连续型随机变量及其概率分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如对于随机变量X 的分布函数F x ，存在非负函数f x，使对于任一实数x ，有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F xxf t dt ，就称 X 为连续型随机变量. 函数f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为 X 的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）f x0 。（ 2）f t dt1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

25、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）P x1Xx2x2f t dt 。 （4） P Xx1x1 0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 5）假如f x 在 x 处连续，就F xf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常见的连续型随机变量的分布有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）匀称分布，记为1X U a,b ，概率密度为0, xa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x, axbab,. 相应的分布函数为F xxa , ax b 。可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品名师归纳总结0, 其它ba1, xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）指数分布，记为X E ，概率密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xe, x0,. 相应的分布函数为F x1ex , x0。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0,其它0, x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）正态分布，记为X N ,2 ，概率密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f

27、 x x 221e2,X2，相应的分布函数为F x x1x e2222dt 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当0,1时，即X N 0,1时，称 X 听从标准正态分布. 这时分别用 x 和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名

28、师归纳总结x2211xt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x 表示 X 的密度函数和分布函数，即xe2 ,2 xe2 dt2. 具有性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结质：x1 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一般正态分布X N ,2 的分布函数F x 与标准正态分布的分布函数 x 有关可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结系： F x x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、随机变量函数的分布（ 1）离散型随机变量函数的分布设 X 为离散型随机变量，其分布列为 表

29、2-2 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表 2-2Xx1x2x3xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pp1p2p3p n就 Yg X 任为离散型随机变量，其分布列为 表 2-3 ：表 2-3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Yy1g x1 y2g x2 y3g x3 yng xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Pp1p2p3pnyi 有相同值时，要合并为一项，对应的概率相加.（ 2）连续型随机变量函数的分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 X 为离散型随机变量，概率密度为f X x ，就 Yg X 的概率密度有

30、两种方法可可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1）定理法：如yg x在 X 的取值区间内有连续导数g x ，且g x单调时，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Yg X 是连续型随机变量，其概率密度为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点可编辑资料 -

31、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结fY yf X h y h y ,y.0, 其它可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中min g, g ,max g , g . h y 是g x 的反函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）分布函数法：先求Yg X 的分布函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结FY yPYyP g X yf x xdxkk y ，然后求fY y FY y .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三章多维随机变量及其分布1、二维随机变量及其联合分布函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 X ， Y 为随机变量，就称它们的有序数组（X , Y）为二维随机变量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设（ X ,Y）为二维随机变量，对于任意实数x 、 y ，称二元函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品