概率论与数理统计知识点总结.docx

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1、精品名师归纳总结基本公式要把握第一必需会运算古典型概率 ,这个用高中数学的学问就可解决,假如在解古典概率方面有些薄弱, 就应当系统的把高中数学中的概率学问复习一遍了,而且要将每类型的概率求解问题都做会了, 虽然不肯定会考到, 但也要预防万一,而且为后面的复习做预备。第一章内容：随机大事和概率 ,也是后面内容的基础, 基本的概念、关系肯定要辨论清晰。条件概率、全概率公式和贝叶 斯公式是重点 ,运算概率的除了上面提到的古典型概率, 仍有伯努利概型和几何概型也是要重点把握的。其次章是随机变量及其分布, 随机变量及其分布函数的概念、性质要懂得,常见的离散型随机变量及其概率分 布： 0-1 分布、二项分

2、布 Bn,p 、几何分布、超几何分布、泊松分布 P;连续性随机变量及其概率密度的概念;匀称分布 Ua,b 、正态分布 N ,2 、指数分布等,以上它们的性质特点要记清晰并能娴熟应用,考 题中常会有涉及。第三章多维随机变量及其分布,主要是二维的。大纲中规定的考试内容有：二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和条件密度,随机变量的独立性和不相关性,常用二维随机变量的分布,两个及两个以上随机变量简洁函数的分布。第四章随机变量的数字特点,这部分内容把握起来不难,主要是记忆一些相关公式,以及常见分布的数

3、字特点。大数定律 和中心极限定理这部分也是在懂得的基础上以记忆为 主,再协作做相关的练习题就可轻松搞定。数理统计这部分的考查难度也不大,第一基本概念都明白清晰 。2 分布、t 分布和 F 分布的概念及性质要熟识 ,考题中常会有涉及。参数估量的矩估量法和最大似然估量法, 验证估量量的无偏性、有效性是要重点把握的。单个及两个正 态总体的均值和方差的区间估量是考点。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结概率论与数理统计第一章随机大事及其概率 1.1随机大事一、给出大事描述,要求用运算关系符表示大事： 二、给出大事运算关系符,要求判定其正确性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

4、古典概型公式： P（A ） =1.2概率A所含样本点数所含样本点数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有用中常常采纳 “排列组合 ”的方法运算补例 1：将 n 个球随机的放到 n 个盒中去,问每个盒子恰有 1 个球的概率是多少？解：设 A ：“每个盒子恰有 1 个球”。求： PA=？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所含样本点数： nn . nnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所含样本点数： n n1) n2 . 1n.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P An.nn补例 2：将 3 封信

5、随机的放入 4 个信箱中,问信箱中信的封数的最大数分别为 1、2、3 的概率各是多少？解：设 Ai ：“信箱中信的最大封数为 i ”。i =1,2,3求： PAi =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所含样本点数：4 4 44364可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 1 所含样本点数：P A14 3 224243648可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CA 2 所含样本点数：236可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结433P A2 36964

6、16可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C443A 3 所含样本点数：341P A3 6416注：由概率定义得出的几个性质：1、0P（ A）12、P=1,P =0 1.3概率的加法法就 定理：设 A、B 是互不相容 大事（ AB= ）,就：P（ A B）=P（ A）+P（ B） 推论 1：设 A 1、 A 2、 An 互不相容,就PA1+A 2+.+ An= PA1 + PA 2 + + PAn推论 2：设 A 1、 A 2、 An 构成完备大事组,就PA1+A 2+.+ A n=1推论 3： P（A ） =1 P（ A ）推论 4：如 BA,就 PB A= PB PA推论 5（广

7、义加法公式） ：对任意两个大事 A 与 B,有 PA B=PA+PB PA B补充 对偶律：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1A2.AnA1A2.An可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1A2.AnA1A2.An可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.4条件概率与乘法法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结条件概率公式：PA/B=P AB P B（PB0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PB/A=P AB （PA 0）P A可编

8、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 P（AB ） =P（A /B）P（ B）= P（ B / A） P（A ）有时须与 P（A+B ） =P（A） +P（ B） P（AB ）中的 P（ AB ）联系解题。全概率与逆概率公式：全概率公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P BnP Aii1P B /Ai 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结逆概率公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P Ai/ BP Ai BP Bi1,2,., n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 留意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做,

9、假如要求其次步某大事的概率, 就用全概率公式。 假如求在其次步某大事发生条件下第一步某大事的概率,就用逆概率公式。）1.5独立试验概型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大事的独立性：A与B相互独立P ABP APB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结贝努里公式（ n 重贝努里试验概率运算公式）：课本 P24另两个解题中常用的结论 1、定理：有四对大事： A 与 B、A 与 B 、 A 与 B、 A 与 B , 假如其中有一对相互独立,就其余三对也相互独立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、公式：P A1A2.An 1P A1A2 .An 可编辑资料

10、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次章随机变量及其分布一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列： 确定各种大事,记为写成一行。运算各种大事概率,记为 p k 写成其次行。得到的表即为所求的分布列。 留意：应符合性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1、 pk0（非负性）2、pkk1（可加性和规范性）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补例 1：将一颗骰子连掷 2 次,以 表示两次所得结果之和, 试写出的概率分布。解： 所含样本点数： 66=36所求分布列为：pk补例 2：一袋中有 5 只乒乓球,编号 1,2,3, 4, 5,在其中同时取3 只,以 表示取出 3

11、 只球中最大号码,试写出的概率分布。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 所含样本点数： 所求分布列为：3C5 =10345可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p k1/103/106/10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2、求分布函数 Fx： 分布函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F xPxpkxkx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、关于连续型随机变量的分布问题：xR,假如随机变量 的分布函数 F（ x）可写成 F（ x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

12、总结x= x dx,就 为连续型。 x 称概率密度函数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解题中应当知道的几个关系式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 x0 x dx1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P abP abFbF ab xdxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三章随机变量数字特点一、求离散型随机变量的数学期望 E=？ 数学期望（均值）Exk pkk二、设 为随机变量, fx 是一般实函数,就 =f 也是随机变量, 求 E =.x1x2xkpkp1p2pk = f y1y2y

13、k 以上运算只要求这种离散型的。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补例 1：设 的概率分布为： 101211135101010523pk10求：1,2 的概率分布。 E。解：由于5 10122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1pk5113310101010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 = 21013225 =10144所以,所求分布列为：3 = 21012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结p11133可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k510和：10101025可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4111

14、33510101010 =1014pk可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当= 1 时, E =E（ 1）=2 1 + 151 +0101 +1 3 +10103 3210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=1/4当=时, E=E=1 1 +01 +11 +43 + 25 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=27/85101010410可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、求 或的方差 D=？D =？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结kk有用公式 D= E2 E 2可编辑资料

15、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其中, E2= E 2 = kx p 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xpE=22kkk补例 2： 202pk0.40.30.3求： E和 D解： E= 2 0.4+0 0.3+2 0.3= 0.2E2=（ 2） 2 0.4+02 0.3+22 0.3=2.8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D= E2 E2=2.8（ 0.2） 2=2.76可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第四章几种重要的分布（ 6 个）常用分布的均值与方差（ 解题必备速查表 ）名称概率分布或密度

16、期望方差参数范畴0-1 分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二项分Pknpk qnkCkn pn p q0P0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结泊松0分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结指数112分布0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结匀称分布解题中常常需要运用的E的性质E和 D的性质（ 同志们解题必备速查表 ）D的性质EccD c0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EEE如 、 独立,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D DD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下

17、载精品名师归纳总结如 、 独立,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结EEE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ec c EDc c2 D可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第八章参数估量 8.1估量量的优劣标准 （以下可作填空或挑选 ）如总体参数 的估量量为 .,假如对任给的 0,有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nlim P .1 ,就称 .是 的一样估量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如满意E .,就称 .是 的无偏估量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

18、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如.1 和.2 均是 的无偏估量, 如 D .D .,就称.1 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212比 . 有效的估量量。 8.3区间估量 ： 几个术语1、设总体分布含有一位置参数,如由样本算得的一个统计量11n21n. x ,.,x 及 . x ,.,x ,对于给定的（ 01）满意：P . x ,.,x. x ,.,x111n21n,2和112就称随机区间 （ . ）是 的 100（1）的置信区间, .称为的 100（1）的置信下、上限,百分数100（ 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称为置信度（置信水

19、平） 。一、求总体期望（均值） E的置信区间21、总体方差已知的类型可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据 ,得0 U 1 ,反查表（课本 P260 表）得临界值 U。2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1nn x =xii1求 d=Un置信区间（ x -d ,x +d）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结补简例：设总体X N ,0.09随机取 4 个样本其观测值为 12.6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13.4 , 12.8 , 13.2 ,求总体均值 的 95%的置信区间。解： 1 =0.95 , =0.05 （U ）=1 =0.

20、975 ,反查表得： U =1.962可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4i X1X4 i 11 12.6413.412.813.213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 =0.3 , n=4 d=U=1.96n0.34=0.29可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,总体均值 的=0.05 的置信区间为：（ X d, X d）=（130.29 , 130.29 ）即（ 12.71 ,13.29 ）22、总体方差未知的类型（ 这种类型非常重要！务必把握！ ！）据 和自由度 n 1（ n 为样本容量）,查表

21、（课本 P262 表）得tn1 。1 n1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22n确定 x =xi和si1 xn1 i 1xi 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s求 d=t n1n置信区间（ x -d , x +d）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：无特殊声明,一般可保留小数点后两位,下同。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2二、求总体方差的置信区间据和自由度 n1（ n 为样本数）,查表得临界值：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 n确定 X = nxi2 n221

22、和s1 和n X2n1122xi 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结i1n1 i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1s2n1s2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上限2n112下限2 n12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结置信区间（下限,上限） 典型例题：补例 1：课本 P166 之 16已知某种木材横纹抗压力的试验值听从正2态分布,对 10 个试件作横纹抗压力试验得数据如下 （单位：kg/cm ）:482493457471510446435418394469试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估量（0.04 ）。9解： =0.04

23、 ,又 n=10,自由度 n1=9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2查表得,n22n11 =220.029=19.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121 101=0.98=2.53可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 X =xi10 i 1=48210493.469 =457.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结110s2 Xxi = 1 457.5482 2+ 457.5493 2+457.5469 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结29 i 19=1240.28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1

24、s29s291240.28可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上限2n1 =12n1s220.989s29 =92.531240.28=4412.06可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结下限2 n21 =20.029 =19.7=566.63可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566.63 ,4412.06 ）第九章假设检验必需娴熟把握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：1、提出待检假设 H02、挑选统计量3、据检验水平,确定临界值4、运算统计量的值5、作出判定检验类型： 未知方差2 ,检验总体期望 均值

25、依据题设条件,提出 H0:=0 0 已知 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选统计量 TXs/n t n1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据 和自由度 n1（ n 为样本容量）,查表（课本 P262表）得 t n1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由样本值算出 X ？和 s ？从而得到 T0作出判定X。s /n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如T0如T0t nt n1,就接受 H 01,就拒绝 H 0可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品名师归纳总结典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验,抽查 5 个,得到爆破压力的数据（公斤 /寸 2 ）为： 545, 545,530,550,545。依据体会爆破压认为是听从正态分布的, 而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为 549 公斤/寸 2 ,问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（=0.05）解： H0:= 549可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选统计量 TXs /n tn1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 =0.05 , n1=4,查表得：t0.05 4 =2.776可编辑资料 -

27、- - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 X = 1 5455.545 =543可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s2= 1 5454545 2.543545 2 =57.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结X T0= 543549=1.772.776可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s/n57.5 /5接受假设,即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型： 未知期望 均值 ,检验总体 方差 2依据题设

28、条件,提出 H0:=0 0 已知 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选统计量2 n1n1 s22。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据和自由度 n 1（ n 为样本容量）,查表（课本 P264 表）得临界可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2值：1n21 和2 n21 。2n1 s2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由样本值算出 X ？和 s ？从而得到0n12。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如1n21 2 n1 2n21 就接受假设,否就拒绝 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20补例：某厂生产铜丝

29、的折断力在正常情形下听从正态分布, 折断力 方差 =64,今从一批产品中抽 10 根作折断力试验, 试验结果（单位： 公斤）：578,572,570,568,572,570,572,596,584,570。 是否可信任这批铜丝折断力的方差也是 64？（ =0.05）解： H0: =64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结挑选统计量2 n1n1 s22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 =0.05 , n1=9,查表得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n121 =20.9759 =2.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - -

30、 - 欢迎下载精品名师归纳总结2n21 =20.0259 =19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 X = 110578.570 =575.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s2= 1 575.295782.575.2570 2 =75.73可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 0 n1975.736410.65可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结20.975=2.72 n110.6529 =19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结900.025接受假设,即认为这批铜丝折断力的方差也是64。可编辑资料 - - - 欢迎下载