求轨迹方程题型全归纳.docx

《求轨迹方程题型全归纳.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求轨迹方程题型全归纳.docx（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载求轨迹方程的六种常用方法1直接法依据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式等，直接列出动点满意的等量关系式，从而求得轨迹方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1已知线段AB6 ，直线AM , BM相交于 M ，且它们的斜率之积是49，求点 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的轨迹方程。解：以 AB 所在直线为x 轴， AB 垂直平分线为y 轴建立坐标系，就A3,0, B3,0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

2、归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设点 M 的坐标为 x,y ，就直线 AM 的斜率kAMy xx33 ，直线 BM 的斜可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结率 kAMyx3x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由已知有yy4 x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x3x39x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化简，整理得点M 的轨迹方程为941x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：1平面内动点P 到点F 10,0的距离与到直线x4 的距离之比为

3、2，就点 P 的轨迹方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结程是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x22 y24 交于 A 、 B 两点，P 是 l 上满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PAPB1 的点，求点P 的轨迹方程。3.到两相互垂直的异面直线的距离相等的点, 在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A 直线B椭圆C抛物线D双曲线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - -

4、-可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载2定义法通过图形的几何性质判定动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义法，运用定义法，求其轨迹，一要娴熟把握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭圆、双曲线、抛物线等，二是娴熟把握平面几何的一些性质定理。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2如B8,0, C 8,0为ABC 的两顶点，AC 和 AB 两边上的中线长之和是30 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就ABC 的重心轨迹方程是 。可编辑资料 - -

5、 - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设ABC 的重心为G x,y ，就由 AC 和 AB 两边上的中线长之和是30 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BGCG23020 ，而点3B8,0, C 8,0为定点，所以点 G 的轨迹为以B, C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为焦点的椭圆。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以由 2a20, c8 可得 a10,ba2c26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2故ABC 的重心轨迹方程是xy1 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结210036可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

6、名师归纳总结练习：4方程2x1 2 y12| xy2| 表示的曲线是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A 椭圆B 双曲线C线段D抛物线3点差法圆 锥 曲 线 中 与 弦 的 中 点 有 关 的 问 题 可 用 点 差 法 ， 其 基 本 方 法 是 把 弦 的 两 端 点A x1 , y1, B x2 , y2 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1x2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y1y2 ， x1x2 ， y1y2 等关系式，由于弦AB 的中点P x, y的坐标满意2 xx1x2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可

7、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2 yy1y2 且直线 AB 的斜率为2x2y1 ，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程。x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例3 椭圆xy1 中 , 过P 1,1的弦恰被P 点平分, 就该弦所在直线方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结242 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设过点P1,1的直线交椭圆于Ax1, y1 、B x2 ,y2 ，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2y 2x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载

8、精品名师归纳总结1114222142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可得x1x2 x1x2 y1y2 y1y2 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载而 P 1,1为线段 AB 的中点，故有x1x22, y1y2

9、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 x1x2 2 y1y2 20y1y21 ，即1k AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结42x1x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以所求直线方程为y1练习：1 x21 化简可得 x2 y30可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5已知以P2, 2 为圆心的圆与椭圆x22 y2m 交于 A 、B 两点，求弦 AB 的中点 M可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的轨迹方程。y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6已知双曲线x21，过点 2P1,1能否作一条直线l 与双曲

10、线交于A, B 两点，使 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结为线段 AB 的中点？4转移法转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。当题目中的条件同时具有以下特点时，一般可以用转移法求其轨迹方程：某个动点P 在已知方程的曲线上移动。另一个动点M 随 P 的变化而变化。在变化过程中P 和 M 满意肯定的规律。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4 已知 P 是以x2F1 , F2 为焦点的双曲线y1 上的动点，求F1F2 P 的重心 G的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2169轨迹方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师

11、归纳总结解 ：设 重心G x, y ，点P x0 , y0 ，由于F14,0, F2 4,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x44x0就有3， 故x00000yyy322xy3x 代入0013 y169可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得所求轨迹方程9 x216y21 y0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - -

12、- - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5抛物线x24 y 的焦点为 F , 过点 0,1 作直线 l 交抛物线A 、B 两点 , 再以 AF 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BF 为邻边作平行四边形AFBR ，试求动点R 的轨迹方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：（转移法） 设 Rx,y ， F 0,1，平行四边形AFBR 的中心为xy1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

13、纳总结将 ykx1 ，代入抛物线方程,得2x4 kx40 ，P, 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A x1,y1 , B x2 ,y2 ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结16 k2x1x2 x1x24160| k |14kx1x24kx1 x24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 y1y2x1x2x1x2 2x1x24 k22 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结44可编辑资料

14、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x P 为 AB 的中点 .2yx1x22k 21 yyx 4ky 4k 2，消去 k 得3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结122k 2122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x24 y3 ，由得，| x |4 ，故动点 R 的轨迹方程为x24 y3| x |4 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二：（点差法） 设 Rx,y ， F 0,1，平行四边形AFBR 的中心为P x , y1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 A x1,y1 ,

15、B x2 ,22y2 ，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 24 yx 24 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11由得 x1x2 x122x2 4 y1y2 x1x24kl2y11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 P 为 AB 的中点且直线l 过点 0,1 ，所以x1x2xy32 x, kl代2xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y322x212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结入可得 x4，化简可得xx4 y12y4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由点xy1在抛物线口内，可得x 2y12可编

16、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结P , 22422x8 y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载x212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将式代入可得x2814x216| x |4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故动点 R 的轨迹方程为

17、x24 y3| x |4 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练习：7已知A1, 0, B 1, 4，在平面上动点Q 满意QAQB4 ，点 P 是点 Q 关于直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2 x4 的对称点，求动点P 的轨迹方程。5参数法求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行争论。参数取值的变化使方程表示不同的曲线。参数取值的不同使其与其他曲线的

18、位置关系不同。参数取值的变化引起另外某些变量的取值范畴的变化等等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6过点M 2,0作直线 l 交双曲线x2y21 于 A 、B 两点，已知 OPOAOB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（ 2）是否存在这样的直线l ，使 OAPB 矩形？如存在，求出l 的方程。如不存在，说明理由。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为ykx2k0，代入方程x2y21 ，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k 2 x24k

19、2 x4 k210可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于直线 l 与双曲线有两个交点，所以1k 20 ，设Ax , y , B x , y ，就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x x4 k, x x4k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121k21 2k21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y yk x2k x2k xx4k2k4k4 k4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1212121k 21k 2可编辑资料

20、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设 P x,y ，由 OPOAOB得 x, y xx, yy 4k,4k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2121222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4k 2x21k1k4 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1ky4k1k 2x所以ky，代入 y4k2 可得1kyy1 x 2y，化简得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x2y24 x0 即 x2 2y24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当

21、 直 线 l 的 斜 率 不存 在 时， 易 求 得P4,0满 足 方程 ，故 所 求 轨迹 方 程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x22y24 y0 ，其轨迹为双曲线。 （也可考虑用点差法求解曲线方程）可编辑资料 - - -

22、 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）平行四边OPAB 为矩形的充要条件是OA OB0 即 x1x2y1 y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k 不存在时，A 、 B 坐标分别为2,3 、 2,3 ，不满意式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k 存在时，x xy yx xk x2k x21k2 x x2k2 xx4k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21 21 21 2121 212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1k 2 14k2 2 k24 k 24k 20 化简得 k10 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总

23、结1k2k21k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结此方程无实数解，故不存在直线l 使 OPAB 为矩形。练习：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8设椭圆方程为2x 2y1 , 过点 M 0,1 的直线 l 交椭圆于点A 、 B , O 是坐标原点 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点 P 满意 OP41 OAOB , 点 N 的坐标为 1 , 1 , 当 l 绕点 M 旋转时 , 求:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222(1) 动点 P 的轨迹方程。2| NP | 的最小值与最大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

24、总结9设点 A 和 B 为抛物线y 24 px p0 上原点 O 以外的两个动点，且OAOB ，过可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结O 作 OMAB 于 M ，求点 M 的轨迹方程。6交轨法如动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程组先求出交点的参数方程，再化为一般方程。x 2y 2例 7已知 MN 是椭圆1 中垂直于长轴的动弦，A 、 B 是椭圆长轴的两个端a 2b 2点，求直线MA 和 NB 的交点 P 的轨迹方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 1: 利用点的坐标作参数 令 M x1,y1 ，就N x1 ,y1可编辑资料

25、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而 Aa,0,B a,0. 设 AM 与 NB 的交点为P x, y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 A, M , P 共线，所以yy1由于 N , B , P 共线，所以yy1xax1axax1a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2y 2x12y12b 2 a2x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相乘得1，而1 即y121代入可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2a2x 2a 2a 2b 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

26、名师归纳总结1x 2b2x 2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结得，即交点 P 的轨迹方程为1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 2a 2a2a 2b2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解 2: 利用角作参数 设 M a cos,b sin ，就N a cos,b sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - -

27、 - - -精品资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以yb sin,yb sin两式相乘消去可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xaa cosaxaa cosax 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即可得所求的P 点的轨迹方程为1。a 2b 2练习：10两条直线axy10和 xay10a1 的交点的轨迹方程是。总结归纳1要留意有的轨迹问题包含肯定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范畴由曲线和方程的概念可知，在求曲线方程时肯定要留意它的“完备性”和“纯粹性”，即轨迹如是曲线的一部分，应对方程注明x 的取值范畴，或同时注明x, y 的取

28、值范畴。2“轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求“轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说明方程的轨迹图形，最终“补漏”和“去掉增多”的点，如轨迹有不同的情形，应分别争论，以保证它的完整性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载练习参考答案22 x2y111648可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：设 P

29、点的坐标为 x, y ，就由方程x22 y24 ，得 y4x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于直线 l 与椭圆交于两点A 、 B ，故2x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即 A 、 B 两点的坐标分别为Ax,4x, B x,4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PA0,4xy, PB0,4x2y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由题知PAPB1 即 0,4x2y0,4x2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

30、纳总结22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22 y24x21 即 x22 y26 所以点 P 的轨迹方程为xy12x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结23D 【解析】 在长方体63ABCDA1 B1C1D1 中建立如下列图的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结空间直角坐标系，易知直线AD 与 D1C1 是异面垂直的两条直线，过直线AD 与 D1C1 平行的平面是面ABCD ，设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在平面ABCD 内动点M x, y满意到直线AD 与 D1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的距离相等，作MM

31、 1MP 于 M 1 ， MNCD 于 N ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结NPD1C1 于 P ， 连 结 MP ， 易 知 MN平 面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11C D D1C1,M P1 D ，C就有M1MM， P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结| y |2x2a 2 其中 a 是异面直线AD 与 D C 间的距离 ，即有 y2x2a 2 ，因此动点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 AM 的轨迹是双曲线，选D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 解

32、设M x, y ，A x1 , y1 , B x2 , y2 x11y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 x1x22 x, y1y22 y ，由22 y 2， x 2y 2m2m22A P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结两式相减并同除以 x1x2 得MBOx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABy1y21 x1x21xxx2 yy2y,而 ky1y2可编辑资料 - - - 欢迎下