物理竞赛中的数学知识.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -物理竞赛中的数学学问一、重要函数1 指数函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 三角函数y=sinxy-5- 137y=cosxy-5-137可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2-4 -7 -3-22-3 -o222 5 34-3x-4 -72-2-2 -3o2322 54x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y=tanx2-1 22y22-1 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-3-o3x22223 反三角函数反正弦 Arcsin x ，反余

2、弦 Arccos x ，反正切 Arctan x ，反余切 Arccot x 这些函数的统称， 各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x 的角。二、数列、极限1 数列：按肯定次序排列的一列数称为数列， 数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项） ，排在其次位的数称为这个数列的第 2 项 排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。数列的一般形式可以写成a1， a2， a3， an， a（n+1）， 简记为 an，通项公式：数列的第N 项 an 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。2 等差数列： 一般的，假如

3、一个数列从第2 项起， 每一项与它的前一项的差等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式a =a+n-1d ，前 n 项和 Sa1annnann1 d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1n122等比数列： 一般的， 假如一个数列从第2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结aa qa 1qn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结

4、n通项公式an=a1q n-1 ，前 n 项和 S1n1q1q11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结全部项和 Sna1 q11q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3求和符号4 数列的极限：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设数列an,当项数 n 无限增大时 ,如通

5、项an 无限接近某个常数A ,就称数列an收敛于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A,或称 A 为数列an的极限 ,记作lim anAn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结否就称数列an发散或limnan 不存在 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、函数的极限：在自变量x 的某变化过程中，对应的函数值fx无限接近于常数A， 就称常数 A 是函数 fx当自变量x 在该变化过程中的极限。设 fx在 xa a0 有定义 ,对任意0, 总存在 X0,当 xX 时，恒有 | f xA|，就称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常数 A 是函数 fx

6、当 x+时的极限。记为limfx=A，或 fxAx+。x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limfxgx=limf xlimgx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limfxgx=limf xlimgx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0xx0xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结lim f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limf xxx0，其中l

7、imgx0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0gxlimgxxx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0四、无穷小量与无穷大量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如limf x0 ，就称f x 是 xx0 时的无穷小量。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - -

8、 - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（如 limg x, 就称f x 是 xx0 时的无穷大量） 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或：如limx=0 , 就称 x当 xx0 时为无穷小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0在自变量某变化过程中，|fx|无限增大， 就称 fx在自变量该变化过程中为无穷大。记为lim f x.2无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量。无穷大量的倒数是无穷小量。3无穷小量的运算性质（ i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。（ ii

9、）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。（ iii ）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4无穷小的比较可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义：设limx=0， limx=0 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如 limx=0 ，就称当xx0 时x是比x高阶无穷小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2如 limx=，就称当xx0 时x是比x低阶无穷小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

10、总结3如 limx=CC0，就称当xx0 时x与x是同阶无穷小，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4如 limx=1, 就称当 xx0 时x与x是等价无穷小。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5常用的等价无穷小为：当 x0 时： sin xx，tan xx，arcsin xx，arctan xx，1cos x1 x2 ， n 1x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 x 。 n等价无穷小可代换五、二项式定理1 阶乘：n.=1 2 3n2组合数

11、：从m 个不同元素中取出n（ nm）个元素的全部组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n 个元素的组合数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3二项式定理即六、常用三角函数公式sin （ ） sin cos（ ） cos tan（ ） tan sin （ /2 ） cos cos（ /2 ） sin tan（ /2 ） cot 可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载精品名师归纳总结sin ABsinA cos Bcos A sin Bs i nABs iAncBo sAc o s Bs可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos AB cos A cos BsinA sinBc o sABc oAscBo sAs i nBs可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin 2 A2sinA cos Acos 2Acos2 Asin 2 A1 2sin 2 A2cos 2 A1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资

13、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结tan 2 A2 tan A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tanA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin A1cos Acos A1cos At a A1c o sAs i An可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n222221c oAs1cAo s和差化积公式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结sin asin b2sin ab 2cos ab 2sin asin b2cos ab 2sin ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos atan acos btan b2c

14、os ab 2sinabcos ab 2cos acos b2sin ab 2sin ab 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结cos a cos b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结积化和差公式sin a sin b1cos ab 2cos abcos a cos b1cos ab 2cos ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结s i nac obs12s ianbs ianbc o sas ibn12s ianbs ianb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结万能公式sin a2 tan a2cosa1 tan2 a 2t a na2

15、 t a an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1tan2 a1tan2a2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1t a n222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -典型物理问题数列极限等应用1 蚂蚁离开巢穴沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离成反比，当蚂蚁爬到距巢中心 距离 L 1=1m 的 A 点处时，速

16、度是V 1=2cm/s。 试问蚂蚁连续由A 点到距巢中心L 2=2m 的 B点需要多长时间？2m1m2a2 a1m3a3常见近似处理1 人在岸上以v0 速度匀速运动，如图位置时，船的速度是多少？2 如下列图，顶杆AB 可在竖直滑槽K 内滑动，其下端由凹轮M 推动，凸轮绕O 轴以匀角速度 转动 .在图示的瞬时，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触，法线n 与 OA 之间的夹角为， 试求此瞬时顶杆AB 的速度 .第十一届全国中同学物理竞赛预赛试题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 16 页 - - - - - - -

17、- - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -3三个芭蕾舞演员同时从边长为L 的正三角形顶点A,B,C 动身，速率都是v ，运动方向始终保持着A 朝着 B,B 朝着 C,C 朝着 A。经过多少时间三人相遇？每人经过多少路程？4 如下列图，半径为R2 的匀质圆柱体置于水平放置的、半径为R1 的圆柱上，母线相互垂直，设两圆柱间动摩擦因数足够大，不会发生相对滑动，试问稳固平稳时，R1 与 R2 应满意什么条件 .5.一只狐狸以不变的速度1 沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率2 追击，其运动方向始终对准狐狸.某时

18、刻狐狸在F 处，猎犬在D 处， FD AB ，且 FD=L ，如图 14 1 所示，求猎犬的加速度的大小.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -解析 ：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结做匀速率曲线运动，依据向心加速度2a2 , r r为猎犬所在处的曲可编辑资料 - - - 欢迎下载

19、精品名师归纳总结率半径，由于r 不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化， 题目要求猎犬在D 处的加速度大小，由于2 大小不变， 假如求出 D 点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断转变.在所求时刻开头的一段很短的时间t 内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为R ，就加速度2a2R其方向与速度方向垂直，如图14 1甲所示 .在t 时间内，设狐狸与猎犬分别到达可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结F 与D，猎犬的速度方向转过的角度为2t /R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结而狐狸跑过的距离是：

20、1t L因而2t /R1t /L ， R=L2 /12=/L12所以猎犬的加速度大小为a2R6如下列图，半径为R，质量为m 的圆形绳圈，以角速率绕中心轴O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析取绳上一小段来讨论，当此段弧长对应的圆心角很小可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结时，有近似关系式sin.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如取绳圈上很短的一小段绳AB=L 为讨论对象，设这段绳所对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的圆心角为，这段绳两端所受的张力分别为TA 和 TB （方向见图14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑

21、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3甲），由于绳圈匀速转动，无切向加速度， 所以TA 和 TB 的大小相等， 均等于 T.TA 和 TB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在半径方向上的合力供应这一段绳做匀速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为m ，根可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结据牛顿其次定律有：2T sin2mR。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于L 段很短，它所对应的圆心角很小所以sin22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将此近似关系和mRmm可编辑资料 - - -

22、欢迎下载精品名师归纳总结代入上式得绳中的张力为T2 R2m2 R2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -7 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC ，光滑小球从顶点A 处沿斜边轨道自静止动身自由的滑到端点C 处所需时间，恰好等于小球从顶点A 处自静止动身自由的经两直角边轨道滑到端点C

23、处所需的时间 .这里假设铅垂轨道AB 与水平轨道BC 的交接处B 有微小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽视不计.在此直角三角形范畴内可构建一系列如图14 4 中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由如干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有微小圆弧（作用同上） ，轨道均从A 点动身到C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止动身自由的从A 点滑行到C 点所经时间的上限与下限之比值.解析直角三角形AB 、BC、 CA 三边的长分别记为l1 、 l 2 、 l3 ，如图 14 4甲所示，小球从A 到 B 的时间记为 T1 ，再从 B 到 C 的时间为 T2 ，而

24、从 A 直接沿斜边到C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所经受的时间记为T3 ，由题意知 T1T2T3 ，可得l1 ： l 2 ： l 3 =3： 4： 5，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此能得T1 与 T2 的关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于 l1l 1所以1 gT 212T1l1gT1T2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结l 22T2因 为 l ： l=3 ：4，所以T2 T12213可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

25、名师归纳总结小球在图 14 4乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为t1T1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经各水平段所需时间之和记为t 2 ，就从 A 到 C 所经时间总和为tT1t2 ，最短的t 2 对应 t可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的下限tmin，最长的t2 对应 t 的上限t max .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需可编辑资料 - - - 欢迎

26、下载精品名师归纳总结时间短，因此，全部水平段均处在最低位置（即与BC重合）时t 2 最短，其值即为T2 ，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t= TT5 T .min1213t 2 的上限明显对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小量l1 ，便接一段水平小量l2 ，这两个小量之间恒有l2l1 cot，角即为 ACB ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此连续下去， 构成如下列图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的微齿形轨道

27、，由于l1 、l 2 均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经的时间小量t1i 与t2 i 之间有如下关联：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结t2 i t1 i l 2cotl 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编

28、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是作为t 2 i 之和的t 2 上限与作为t1 i 之和的T1 之比也为cot. 故 t 2 的上限必为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T1 cot，即得：t maxT1T1cot7T1 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这样 tmax: tmin=7:5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求导与微分一、导数的概念1导数定义设 y=fx 在 x0 的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个转变量x ,函数值有一

29、相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应转变量yf x0xfx0 ,如极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limyx0xlimx0f x0xfx x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结存在 ,就称此极限值为函数y=fx 在 x0 点的导数 ,此时称 y=fx 在 x0 点可导 ,用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结0f x 或y,或dy,或df x表示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0dyx xx0dxxx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料

30、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 yf x 在集合 D 内到处可导（这时称fx 在 D 内可导） ,就对任意 x0D ,相应的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导数 f x0 将随x0 的变化而变化,因此它是x 的函数 ,称其为 y=fx 的导函数 ,记作可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x 或y ,或dy ,或df x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dxdx2导数的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数fx 在点 x0 处可导 ,就 f x0 就是曲线y=fx 在

31、点（ x0,y0）处切线的斜率,此时切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线方程为yy0f x0 xx0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 f x0 =0,曲线 y=fx 在点（ x0,y0）处的切线平行于x 轴,切线方程为yy0f x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 fx 在点 x0 处连续 ,又当 xx0 时 fx,此时曲线y=fx 在点（ x0,y0）处的切线可编辑资料 - - - 欢迎下载

32、精品名师归纳总结垂直于 x 轴,切线方程为x=x 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1几个基本初等函数的导数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 c0 xx1 sin xcos xcos xsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2导数的四就运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1） cu xcu x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2） u xv xu xv x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3） u xv xu xv xu xv x 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结u xu xv xu xv x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）vxv2 x可编辑