用空间向量解立体几何问题方法归纳学生版.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -用空间向量解立体几何题型与方法一平行垂直问题基础学问直线 l 的方向向量为a a1， b1，c1 平面 ， 的法向量u a3， b3， c3 ，v a4， b4，c41 线面平行： l . a u. au0. a1a3 b1b3 c1c30(2) 线面垂直： l . a u. a ku. a1 ka3， b1 kb3， c1kc3(3) 面面平行： . u v. u kv. a3 ka4， b3 kb4， c3kc44 面面垂直： . u v. uv0. a3a4 b3b4 c3c40例 1、如下列图，在

2、底面是矩形的四棱锥P-ABCD中， PA底面ABCD， E， F 分别是PC， PD的中点， PA AB 1， BC 2.(1) 求证： EF平面 PAB。(2) 求证：平面PAD平面 PDC.精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方 向向量平行， 然后依据线面平

3、行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直。证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直.例 2、在直三棱柱ABC-A1B1C1 中， ABC 90， BC 2， CC1 4，点 E 在线段 BB1 上，且 EB1 1， D， F， G分别为 CC1， C1B1， C1A1 的中点求证： 1 B1D平面 ABD。2 平面 EGF平面 ABD.二利用空间向量求空间角基础学问(1) 向量法求异面直线所成的角：如异面直线a，b 的方向向量分别为a，b，异面直线所| ab|成的角为，就 cos |cos a， b| | a| b|

4、.(2) 向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角| na|为 ，就 sin |cos n，a| | n| a| .(3) 向量法求二面角：求出二面角 l 的两个半平面与 的法向量 n1， n2，| n1n2|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如二面角 l 所成的角为锐角，就cos |cos n1， n2| |。n1| n2|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如二面角 l 所成的角为钝角，就cos |cos n1， n2| 例 1、如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中， AB AC，

5、 AB AC 2， A1A4，点 D是 BC的中点(1) 求异面直线A1B与 C1D 所成角的余弦值。(2) 求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值| n1n2| n1| n2| .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 2、如图，三棱柱ABC-A1B1C1 中， CA

6、CB， AB AA1， BAA1 60.(1) 证明： AB A1C。(2) 如平面 ABC平面 AA1B1B， AB CB，求直线A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(1) 运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤：建立恰当的空间直角坐标系。求出相关点的坐标。写出向量坐标。结合公式进行论证、

7、运算。转化为几何结论(2) 求空间角应留意：两条异面直线所成的角不肯定是直线的方向向量的夹角，即 cos |cos|.两平面的法向量的夹角不肯定是所求的二面角，有可能两法向量夹角的补角为所求例 3、如图，在四棱锥S-ABCD中， ABAD， ABCD， CD3AB 3，平面 SAD平面 ABCD， E 是线段 AD上一点， AE ED3， SE AD.(1) 证明：平面SBE平面 SEC。(2) 如 SE 1，求直线CE与平面 SBC所成角的正弦值例 4、如图是多面体ABC-A1B1C1 和它的三视图精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - -

8、 - - - - -第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(1) 线段 CC1 上是否存在一点E，使 BE平面 A1CC1？如不存在，请说明理由，如存在，请找出并证明。(2) 求平面 C1A1C 与平面 A1CA夹角的余弦值精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资

9、料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三利用空间向量解决探干脆问题例 1、如图 1，正 ABC的边长为4，CD是 AB边上的高， E，F 分别是 AC和 BC边的中点，现将 ABC沿 CD翻折成直二面角A-DC-B 如图 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 试判定直线AB与平面 DEF的位置关系，并说明理由。(2) 求二面角E-DF-C 的余弦值。(3) 在线段 BC上是否存在一点P，使 AP DE？假如存在， 求出BP的值。假如不存在，请BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明理由精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下

10、载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1 空间向量法最适合于解决立体几何中的探干脆问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判定.2 解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范畴内的解”等，所以为使问题的解决更简洁、有效，应善于运用这一方法.例 2、. 如下列图，在直三棱柱ABC-A1B 1

11、C1 中， ACB 90，AA1 BC 2AC 2.(1) 如 D 为 AA1 中点，求证：平面B1CD平面 B1C1D。(2) 在 AA1 上是否存在一点D，使得二面角B1-CD-C1 的大小为60？四空间直角坐标系建立的创新问题空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量解决立体几何问题解决的关键环节之一就是建立空间直 角坐标系，因而建立空间直角坐标系问题成为近几年试题新的命题点一、经典例题领会好精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 14

12、 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 1、如图，四棱锥P-ABCD中， PA底面 ABCD，BC CD2， AC 4，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结， ACB ACD F 为3(1) 求 PA的长。PC的中点， AF PB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 求二面角B-AF-D 的正弦值建立空间直角坐标系的基本思想是查找其中的线线垂直关系此题利用AC BD，如图中存在交于一点的三条直线两两垂直，就以该点为原点建立空间直角坐标

13、系. 在没有明显的垂直关系时， 要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上挑选一个合理的位置建立空间直角坐标系，留意建立的空间直角坐标系是右手系，正确确定坐标轴的名称.例 2、如图，在空间几何体中，平面ACD平面 ABC，AB BCCA DADC BE2. BE与平面 ABC所成的角为60，且点 E 在平面 ABC内的射影落在ABC的平分线上(1) 求证： DE平面 ABC。精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳

14、总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(2) 求二面角E-BC-A 的余弦值专题训练1. 如下列图，在多面体ABCD A1B1C1D1 中，上、下两个底面A1B1C1D1 和 ABCD相互平行，且都是正方形，DD1底面 ABCD，AB A1B1，AB 2A1B1 2DD1 2a.(1) 求异面直线AB1 与 DD1 所成角的余弦值。(2) 已知 F 是 AD的中点，求证：FB1平面 BCC1B1.3如图 1 ，四边形ABCD中， E 是 BC的中点， DB 2，DC 1，BC5，AB AD2.精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资

15、料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -将图 1 沿直线 BD折起，使得二面角A-BD-C为 60，如图 2 (1) 求证： AE平面 BDC。(2) 求直线 AC与平面 ABD所成角的余弦值4如下列图，在矩形ABCD中， AB35，AD 6， BD是对角线，过点A 作 AE BD，垂足为 O，交 CD于 E，以 AE为折痕将 ADE向上折起，使点D到点 P的位置，且PB41.精品资料可编辑资料 -

16、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(1) 求证： PO平面 ABCE。(2) 求二面角E-AP-B 的余弦值5. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面 PAD底面 ABCD，侧棱 PA PD2，PA PD，底面 ABCD为直角梯形，其中BCAD， ABAD， ABBC 1， O为 AD中点(1) 求直线 PB与平面 POC所成角的余弦值。(2) 求 B

17、点到平面 PCD的距离。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 线段 PD上是否存在一点Q，使得二面角Q-AC-D 的余弦值为6PQ3？如存在，求出的QD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值。如不存在，请说明理由精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -6如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，

18、侧棱SA底面 ABCD，AB垂直于 AD和 BC， SA AB BC 2， AD 1. M是棱 SB的中点(1) 求证： AM平面 SCD。(2) 求平面 SCD与平面 SAB所成二面角的余弦值。(3) 设点 N 是直线 CD上的动点， MN与平面 SAB所成的角为，求 sin的最大值7、如图，四边形ABEF和四边形ABCD均是直角梯形，FAB DAB90，AF AB BC2， AD 1， FA CD.(1) 证明：在平面BCE上，肯定存在过点C的直线 l 与直线 DF平行。(2) 求二面角F-CD-A 的余弦值精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - -

19、 - - - - - - - -第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -8、. 如图，在四棱锥P-ABCD中， PD平面 ABCD，四边形 ABCD是菱形， AC 2，BD 23 ，E是 PB上任意一点(1) 求证： AC DE。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 已知二面角A-PB-D的余弦值为155，如 E 为 PB的中点，求EC与平面 PAB所成角的正弦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结值9、如图1， A，

20、D 分别是矩形A1BCD1 上的点， AB 2AA1 2AD 2， DC 2DD1，把四边形A1ADD1 沿 AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2 所示，连接A1B， D1C得几何体ABA1-DCD1.精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 13 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -(1) 当点 E 在棱 AB上移动时，证明：D1E A1D。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 在棱 AB上是否存在点E，使二面角D1-EC-D 的平面角为？如存在，求出AE的长。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如不存在，请说明理由精品资料可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 14 页，共 14 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载