示范教案单调性与最大小值第课时2.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导入新课第 2 课时函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结思路 1.某工厂为了扩大生产规模,方案重新建造一个面积为10 000 m2 的矩形新厂址 ,新厂址可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的长为 x m ，就宽为10000m，所建围墙ym，假如你是这个工厂的厂长,你会挑选一个长和x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结宽各为多少米的矩形土的,使得新厂址的围墙y 最短 .同学先摸索或争论，老师指出此题意在求函数y=

2、2x+10000,x0 的最小值 .引出本节课题：x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在生产和生活中，我们特别关怀花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮忙的. 那么什么是函数的最值了.这就是我们今日学习的课题.用函数学问解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题.思路2.画出以下函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能表达函数的什么特点？fx=-x+3 。 fx=-x+3,x -1,2。fx=x 2+2x+1; fx=x 2+2x+1,x -2,2 . 同学回答后，老师引出课题：函数的最值. 推动新课新

3、知探究提出问题如图 1-3-1-11 所示，是函数y=-x 2-2x 、y=-2x+1,x -1,+ 、y=fx 的图象 .观看这三个图象的共同特点 .图 1-3-1-11函数图象上任意点Px,y 的坐标与函数有什么关系？你是怎样懂得函数图象最高点的.问题 1 中，在函数y=fx 的图象上任取一点Ax,y ，如图 1-3-1-12 所示，设点C 的坐标为x 0,y0，谁能用数学符号说明：函数y=fx 的图象有最高点C？图 1-3-1-12在数学中， 形如问题1 中函数 y=fx 的图象上最高点C 的纵坐标就称为函数y=fx 的最大值.谁能给出函数最大值的定义？函数最大值的定义中fxM即 fxf

4、0x，这个不等式反映了函数y=fx 的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特点？函数最大值的几何意义是什么？函数 y=-2x+1,x -1,+ 有最大值吗？为什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点 -1,3是不是函数y=-2x+1,x - 1,+ 的最高点？由这个问题你发觉了什么值得留意的的方？争论结果 :函数y=-x 2 -2x 图象

5、有最高点A ，函数y=-2x+1,x -1,+ 图象有最高点B ，函数y=fx图象有最高点C. 也就是说 ,这三个函数的图象的共同特点是都有最高点.函数图象上任意点P 的坐标 x,y 的意义 :横坐标 x 是自变量的取值,纵坐标 y 是自变量为x时对应的函数值的大小.图象最高点的纵坐标是全部函数值中的最大值,即函数的最大值.由于点C 是函数 y=fx 图象的最高点，就点A 在点 C 的下方，即对定义域内任意x，都有 yy0 ，即 fx f0x，也就是对函数y=fx 的定义域内任意x，均有 fx 0fx成立 .一般的，设函数y=fx 的定义域为I，假如存在实数M 满意：（1）对于任意的x I，都

6、有 fxM。（2）存在 x0 I，使得 fx 0=M.那么，称M 是函数 y=fx 的最大值 .fxM反映了函数y=fx 的全部函数值不大于实数M 。这个函数的特点是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.函数图象上最高点的纵坐标.函数 y=-2x+1,x -1,+ 没有最大值，由于函数y=-2x+1,x -1,+ 的图象没有最高点.不是，由于该函数的定义域中没有1.争论函数的最大值，要坚持定义域优先的原就。函数图象有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必需是函数图象上的点.提出问题类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.类比问题9，你认为争论函数最小值应留意什么？活动： 让

7、同学摸索函数最大值的定义，利用定义来类比定义.最高点类比最低点，符号不等号“类”比不等号 “函”数.的最大值和最小值统称为函数的最值.争论结果： 函数最小值的定义是:一般的，设函数y=fx 的定义域为I，假如存在实数M 满意：（1）对于任意的x I，都有 fxM。（2）存在 x0 I，使得 fx 0=M.那么，称M 是函数 y=fx 的最小值 .函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.争论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原就。函数图象有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必需是函数图象上的点.应用示例可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 求函数 y=思路 12在区

8、间 2，6上的最大值和最小值.x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动： 先摸索或争论，再到黑板上书写.当同学没有证明思路时，才提示：图象最高点的纵 坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值.依据函数的图象观看其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最终利用函数的单调性求得最大值和最小值.利用变可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结换法画出函数y=的.2的图象，只取在区间2， 6上的部分 .观看可得函数的图象是上升x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - -

9、 - - - -第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：设 2x1x 2 6就, 有22fx 1-fx 2=2 x2=1 x11=2 x2x1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x11x21x11 x21x11 x21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2x10,x 1-1x 2 -10.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fx 1fx 2,即函数 y=x在区

10、间 2， 6上是减函数 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以，当x=2 时，函数y=2在区间 2， 6上取得最大值f2=2 。x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=6 时，函数y=变式训练2在区间 2， 6上取得最小值f6=2 .x15可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.求函数 y=x 2-2xx -3,2 的最大值和最小值 .答案： 最大值是f-3=15 ，最小值是f1=-1. 2.函数 fx=x 4+2x 2-1 的最小值是 .分析：（换元法）转化为求二次函数的最小值.设 x2=t ，y=t 2 +2t- 1t ，0又当 t 0时，

11、函数y=t 2+2t-1 是增函数，就当 t=0 时，函数y=t 2+2t- 1t 取0最小值 1.所以函数fx=x 4+2x 2-1 的最小值是1.答案： -13.画出函数y= x 2 2|x| 3 的图象，指出函数的单调区间和最大值.分析： 函数的图象关于y 轴对称， 先画出 y 轴右侧的图象， 再对称到 y 轴左侧合起来得函数的图象。借助图象，依据单调性的几何意义写出单调区间.解： 函数图象如图1-3-1-13 所示 .图 1-3-1-13由图象得，函数的图象在区间（， 1）和 0，1上是上升的，在1，0和（ 1，）上是下降的，最高点是 1,4，故函数在（ ， 1）， 0，1上是增函数。

12、函数在1， 0，（1， ）上是减函数，最大值是4.点评： 此题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法.求函数的最值时，先画函数的图象， 确定函数的单调区间，再用定义法证明，最终借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题 .单调法求函数最值：先判定函数的单调性,再利用其单调性求最值。常用到下面的结论：假如函数y=fx 在区间 a,b上单调递增，在区间b,c上单调递减，就函数y=fx 在 x=b 处有最大值fb 。假如函数y=fx 在区间 a,b上单调递减，在区间b,c上单调递增，就函数 y=fx 在 x=b 处有最小值fb.例 2“菊花 ”烟花是最壮丽的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点

13、时爆裂.假如烟花距的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -面的高度h m 与时间 t s 之间的关系为ht=-4.9t 2 +14.7t+18 ，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的正确时刻？这时距的面的高度是多少（精确到1m）？活动： 可以指定一位同学到黑板上书写，老师在下面巡察，并准时帮忙做错的同学改错.并对同学的板书准时评判.将实际问题最终

14、转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值. “烟花冲出去后什么时候是它爆裂的正确时刻”就是当t 取什么值时函数ht=-4.9t 2+14.7t+18取得最大值。“这时距的面的高度是多少（精确到1 m ） ”就是函数 ht=-4.9t 2+14.7t+18 的最大值。转化为求函数ht=-4.9t 2+14.7t+18 的最大值及此时自变量t 的值 .解：画出函数ht=-4.9t 2+14.7t+18 的图象，如图1-3-1-14 所示，明显， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆炸的正确时刻，纵坐标就是这时距离的面的高度.图 1-3-1-14由二次函数的

15、学问，对于函数ht=-4.9t 2+14.7t+18 ，我们有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 t=14.7=1.5 时，函数有最大值,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结24.9即烟花冲出去后1.5s 是它爆裂的正确时刻，这时距的面的高度约是29m.点评： 此题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的才能.解应用题步骤是审清题意读懂题。将实际问题转化为数学问题来解决。归纳结论.留意：要坚持定义域优先的原就。求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.变式训练1.2006 山东菏泽二模， 文 10 把长为 12 厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正

16、三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是A. 33 cm2B.4cm 2C.32 cm2D.23 cm22解析：设一个三角形的边长为x cm，就另一个三角形的边长为4-x cm ，两个三角形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结和为 S，就 S=3x2+434-x 2=43x-2 2+23 2 3 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x=2 时， S 取最小值23 m2.应选 D.答案： D2.某超市为了猎取最大利润做了一番试验，如将进货单价为8 元的商品按10 元一件的价格出售时，每天可销售60 件，现在采纳提高销售价格削减进货量的方法增加利润，已知这

17、种商品每涨1 元，其销售量就要削减10 件，问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大，并求出最大利润 .分析： 设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再争论函数关系式的定义域，并结合问可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -题的实际意义作出回答.利润（售价进价）销售量 .解： 设商品售价定为x 元时，利润为y 元，就y=x-8 60-x-1010

18、=-10 x-12 2 -16 =-10x-12 2+16010 x 16.当且仅当x=12 时， y 有最大值160 元，即售价定为12 元时可获最大利润160 元.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 已知函数 fx=x+1,x0 ，x思路 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）证明当0x0 的最小值 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结活动： 同学摸索判定函数单调性的方法，以及函数最小值的含义.（ 1）利用定义法证明函数的单调性。（ 2）应用函数的单调性得函数的最小值.（1） 解： 任取 x 1、x 2（ 0， +）且 x 1 x 2，

19、就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f （ x1） f（ x2） =（ x11 ）（ x2+ 1x2） =（ x 1 x 2） +x1 x1=x2 x1x21 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x 1 x2， x1 x 20.当 0 x 1 x2 1 时， x1x2-10 ，f （x 1） f （ x2） 0.x1 x2x1 x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f （x 1） f （ x2），即当 0x0 ，f （x 1） f （ x2） 0.f （x 1） f （ x2） ,即当 x 1时，函数fx 是增函数 .1可编辑资料 - - -

20、欢迎下载精品名师归纳总结（2） 解法一： 由（ 1）得当 x=1 时，函数 fx=x+,x0 取最小值 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f1=2 ，就函数fx=x+1,x0 取最小值是2.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法二： 借助于运算机软件画出函数fx=x+1,x0 的图象，如图1-3-1-15 所示，x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由图象知，当x=1 时，函数 fx=x+图 1-3-1-151,x0 取最小值f1=2.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 此题

21、主要考查函数的单调性和最值.定义法证明函数的单调性的步骤是“去竞赛 ”。三个步骤缺一不行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -利用函数的单调性求函数的最值的步骤：先判定函数的单调性,再利用其单调性求最值。 常用到下面的结论：假如函数y=fx 在区间 a,b上单调递增，在区间b,c上单调递减，就函数 y=fx 在 x=b 处有最大值fb 。假如

22、函数y=fx 在区间 a,b上单调递减， 在区间 b,c上单调递增，就函数y=fx 在 x=b 处有最小值fb. 这种求函数最值的方法称为单调法.图象法求函数的最值的步骤：画出函数的图象，依据函数最值的几何意义，借助图象写出最值.变式训练可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结31.求函数 y=1x （ x0）的最大值 .2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解析 :可证明函数y= 31x （ x0）是减函数，2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y= 31x （ x0）的最大值是f0=3.2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.求函数

23、 y=|x+1|+|x-1| 的最大值和最小值.2 x,x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解法一：（图象法） y |x+1|+|x-1|=2,2 x,1xx1,1, 其图象如图1-3-1-16 所示 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 1-3-1-16由图象得，函数的最小值是2，无最大值 .解法二：（数形结合） 函数的解析式y=|x+1|+|x-1| 的几何意义是： y 是数轴上任意一点P 到1的对应点 A 、B 的距离的和，即y=|PA|+|PB|,如图 1-3-1-17 所示，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结图 1-3-1-17观看数轴

24、 ,可得 |PA|+|PB| |AB|=，2 即函数有最小值2，无最大值 . 3.2007 天利高考第一次全国大联考（江苏卷），11 设 0x1, 就函数 y=1 +1的最小值是 .x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： y=1x1,当 0x400 时， fx=60000-100x是减函数 ;又 fx60000-100 4003 时，函数 y=28-mm1m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结是减函数，所以当m=3 时，函数y=28拓展提升16-m 取最大值21（万元） .m1可编辑资料 - - - 欢迎下载精

25、品名师归纳总结问题：求函数y=1x 2x的最大值 .1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结探究： 方法一 利用运算机软件画出函数的图象，如图1-3-1-18 所示，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结故图象最高点是14,.图 1-3-1-18可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就函数 y=1x2x23的最大值是4 .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法二 函数的定义域是R，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以证明当x1时，函数y=21x 2x是增函数。1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 x1时，函数y=2

26、11x2x1是减函数 .14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就当 x=时，函数y=2x 2x取最大值,13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即函数 y=1x2x的最大值是4 .13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -方法三 函数的定义域是R ，可编辑资料 - - -

27、 欢迎下载精品名师归纳总结由 y=1x 2x,得 yx 2+yx+y-1=0.1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x R，关于x 的方程 yx 2+yx+y-1=0必有实数根，当 y=0 时，关于x 的方程 yx2 +yx+y-1=0 无实数根，即y=0 不属于函数的值域.当 y0时，就关于x 的方程 yx 2+yx+y-1=0是一元二次方程，就有 =-y 2-4 yy- 1 0. 0y4 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 y=3x的最大值是4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x243ax2bxc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归

28、纳总结点评： 方法三称为判别式法，形如函数y=dx2exfd 0， 当函数的定义域是R（此时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结e2-4df0 ）时，常用判别式法求最值，其步骤是把y 看成常数，将函数解析式整理为关于x 的方程的形式mx 2+nx+k=0 。分类争论m=0 是否符合题意。当 m0时，关于 x 的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结mx 2+nx+k=0 中有 x R ，就此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk 0即,关于 y 的不等式，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解不等式组n 24mk0,m0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m 0此.不等式组的解集与中y 的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值.课堂小结本节课学习了：1 函数的最值。 2 求函数最值的方法：图象法，单调法，判别式法。3 求函数最值时，要留意函数的定义域.作业课本 P39 习题 1.3A 组 5、6.设计感想为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上实行了以下的措施：（1）在探究概念阶段,让同学经受从直观到抽象、从