示范教案等比数列的概念及通项公式.docx

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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2.4等比数列2.4.1等比数列的概念及通项公式淡定说课本节内容先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出等比数列的概念，再由老师引导同学与等差数列类比探究等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行 联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让同学感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让同学经受了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利用信息和多媒体技术，给同学以较多的感受，激发同学学习的积极性和思维的主动性 .预备丰富的阅读材料，为同学供应自主学习的可能，进而达到更好的懂得和巩

2、固课堂所学学问的目的 .教学重点1.等比数列的概念; 2.等比数列的通项公式.教学难点1.在详细问题中抽象出数列的模型和数列的等比关系;2.等比数列与指数函数的关系.教具预备多媒体课件、投影胶片、投影仪等三维目标一、学问与技能1.明白现实生活中存在着一类特别的数列;2.懂得等比数列的概念，探究并把握等比数列的通项公式;3.能在详细的问题情境中，发觉数列的等比关系，并能用有关的学问解决相应的实际问题;4.体会等比数列与指数函数的关系.二、过程与方法1.采纳观看、摸索、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.发挥同学的主体作用，作好探究性活动;3.亲密联系实际，激发同学学习的积极性.三、情感

3、态度与价值观1.通过生活中的大量实例，勉励同学积极摸索，激发同学对学问的探究精神和庄重仔细的科学态度，培育同学的类比、归纳的才能;2.通过对有关实际问题的解决，表达数学与实际生活的亲密联系，激发同学学习的兴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结趣.导入新课教学过程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结师 现实生活中，有很多成倍增长的实例.如，将一张报纸对折、对折、再对折、，对折了三次，手中的报纸的层数就成了8 层，对折了5 次就成了32 层.你能举出类似的例子吗？生 一粒种子繁衍出其次代120 粒种子，用其次代的120 粒种子可以繁衍出第三代120120粒种子，用第三代的1

4、20120 粒种子可以繁衍出第四代120120120 粒种子，师 特别好的一个例子！现实生活中，我们会遇到很多这类的事例.老师出示多媒体课件一：某种细胞分裂的模型.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -师 细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成一个数列，你能写出这个数列吗？生 通过观看和画

5、草图，发觉细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从而得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下面的数列：1， 2， 4， 8，老师出示投影胶片1： “一尺之棰，日取其半，万世不竭. ” 师 这是庄子 天下篇中的一个论述，能说明这个论述的含义吗？ 生 摸索、争论，用现代语言表达.师 用现代语言表达后假如把 “一尺之棰 ”看成单位 “1，”那么得到的数列是什么样的了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 发觉等比关系，写出一个无穷等比数列：1， 老师出示投影胶片2：运算机病毒传播问题.1 ， 1 ，241 ， 1 ，816可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一种运算机病

6、毒，可以查找运算机中的的址簿，通过邮件进行传播.假如把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为其次轮，依此类推.假设每一轮每一台运算机都感染20 台运算机 ,那么在不重复的情形下,这种病毒感染的运算机数构成一个什么样的 数列了 .师 读题后 这种病毒每一轮传播的运算机数构成的数列是怎样的了？引导同学发觉 “病毒制造者发送病毒称为第一轮”“每一轮感染20 台运算机 ”中蕴涵的等比关系.生 发觉等比关系，写出一个无穷等比数列：1， 20， 202， 203 ，204，老师出示多媒体课件二：银行存款利息问题.师 介绍 “复利 ”的背景： “复利 ”是我国现行定期储蓄中的一种支付利息的方式

7、，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再运算下一期的利息，也就是通常说的“利滚利 ”我.国现行定期储蓄中的自动转存业务实际上就是按复利支付利息的.给出运算本利和的公式：本利和 =本金 1+ 本金 n，这里 n 为存期 .生 列出 5 年内各年末的本利和，并说明运算过程.师 生合作争论得出“时间 ”“年初本金 ”“年末本利和 ”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和 单位：元 组成了下面数列：10 000 1.019 8，10 000 1.019 82，10 000 1.019 83，10 000 1.019 84，10 000 1.019 85.师 回忆数列的等差关系和等差数列的定义，

8、观看上面的数列，说说它们有什么共同特点？师 引导同学类比等差关系和等差数列的概念，发觉等比关系.引入课题：板书课题2.4 等比数列的概念及通项公式推动新课合作探究师 从上面的数列中我们发觉了它们的共同特点是：具有等比关系.假如我们将具有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给等比数列下一个什么样的定义了？生

9、回忆等差数列的定义，并进行类比，说出：一般的，假如把一个数列，从第2 项起， 每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.老师精讲师 同学们概括得很好，这就是等比数列geometricsequence的定义 .有些书籍把等比数列 的英文缩写记作G.P.GeometricProgression.我们今后也常用G.P.这个缩写表示等比数列. 定义中的这个常数叫做等比数列的公比commo n ratio ，公比通常用字母q 表示 q 0.请同学们想一想，为什么q0了？ 生 独立摸索、合作沟通、自主探究.师 假设q=0，数列的其次项就应当是0，那么作第一项后面的任一项与它的前一项的比

10、时就显现什么了了？生 分母为 0 了.师 对了，问题就出在这里了，所以，必需q0.师 那么，等比数列的首项能不能为0 了？生 等比数列的首项不能为0.师 是的，等比数列的首项和公比都不能为0，等比数列中的任一项都不会是0.合作探究师类比等差中项的概念，请同学们自己给出等比中项的概念.生 假如在 a 与 b 中间插入一个数G，使 a、G、b 成等比数列，那么G 叫做 a、b 的等比中项.师 想一想，这时a、b 的符号有什么特点了？你能用a、b 表示 G 吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 一起探究 ,a、 b 是同号的 Gab ， G=ab ， G2=ab.G可编辑资料 -

11、- - 欢迎下载精品名师归纳总结师 观看同学所得到的a、b、G 的关系式，并赐予确定.补充练习： 与等差数列一样，等比数列也具有肯定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2 倍，即 a n-k+a n+k =2 an.对于等比数列来说，有什么类似的性质了？生 独立探究，得出：等比数列有类似的性质：a n-ka n+k =an2.合作探究探究：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 一个数列a1,a2,a3,an,a1 0是等差数列，同时仍能不能是等比数列了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 写出两个首项为1 的等比数列的前5 项，比较

12、这两个数列是否相同？写出两个公比为2的等比数列的前5 项，比较这两个数列是否相同？3 任一项 an 及公比 q 相同，就这两个数列相同吗？4 任意两项am、an 相同，这两个数列相同吗？5 如两个等比数列相同，需要什么条件？师 引导同学探究，并给出1的答案，（ 234 可留给同学回答.生 探究并分组争论上述问题的解答方法，并沟通1的解答 .老师精讲概括总结对上述问题的探究，得出：1 中， 既是等差数列又是等比数列的数列是存在的，每一个非零常数列都是公差为0，公比为 1 的既是等差数列又是等比数列的数列.概括同学对 234 的解答 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师

13、精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 中，首项为1，而公比不同的等比数列是不会相同的。公比为2，而首项不同的等比数列也是不会相同的.3 中，是指两个数列中的任一对应项与公比都相同，可得出这两个数列相同。4 中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同。5 中，结论是：如两个数列相同，需要“首项和公比都相同”.探究的目的是为了说明首项和公比是打算一个等比数列的必要条件。为等比数列的通项

14、公式的推导做预备合作探究师 回忆等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等比数列的通项公式吗？ 生 推导等比数列的通项公式.方法引导师 让同学与等差数列的推导过程类比，并引导同学采纳不完全归纳法得出等比数列的通项公式 .详细的，设等比数列 an 首项为 a1，公比为q，依据等比数列的定义，我们有： a2=a1q,a3=a2q= a1q2,an=a n-1 q=a1q n-1，即 an=a1qn-1.师 依据等比数列的定义，我们仍可以写出可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a3a1a2a4.a3anq ,an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结进而有 an=an-

15、1q=a n-2q2=a n-3q3 =a1q n-1 .亦得an=a1qn-1.师 观看一下上式，每一道式子里，项的下标与q 的指数，你能发觉有什么共同的特点吗？生 把 an 看成 anq0，那么，每一道式子里，项的下标与q 的指数的和都是n.师 特别正确，这里不仅给出了一个由an 倒推到 an 与 a1 ，q 的关系，从而得出通项公式的过程，而且其中仍包蕴了等比数列的基本性质，在后面我们争论等比数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师 请同学们环绕依据等比数列的定义写出的式子可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2a3a1a2a4.a3an an 1q ,再摸索 .可编辑资料

16、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如我们把上面的式子改写成a2q, a 3a1a 2q , a4a3q,.,a nq .an 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结那么我们就有了n-1 个等式，将这n-1 个等式两边分别乘到一起 叠乘 ，得到的结果是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结anq n1,于是，得a =aq n-1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n1a1师 这不又是一个推导等比数列通项公式的方法吗？师 在上述方法中，前两种方法采纳的是不完全归纳法，严格的，仍需给出证明.第三种方法没有涉及不

17、完全归纳法，是一个完善的推导过程，不再需要证明.师 让同学说出公式中首项a1 和公比 q 的限制条件 .生 a1， q 都不能为0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学问拓展师 前面实例中也有“细胞分裂 ”“运算机病毒传播”“复利运算 ”的练习和习题，那里是用什么方法解决问题的了？老师出示多媒体课件三：前面实例中关于“细胞分裂 ”“运算机病毒

18、传播”“复利运算 ”的练习或习题 .某种储蓄按复利运算成本利息，如本金为a 元，每期利率为r，设存期是x,本利和为y元.（ 1）写出本利和y 随存期 x 变化的函数关系式。（ 2）假如存入本金1 000 元，每期利率为2.25% ，试运算5 期后的本利和 .师 前面实例中关于“细胞分裂 ”“运算机病毒传播”“复利运算 ”的问题是用函数的学问和方法解决问题的 .生 比较两种方法，摸索它们的异同.老师精讲通过用不同的数学学问解决类似的数学问题，从中发觉等比数列和指数函数可以联系起来.1 在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an=2 n-1 的数列的图象和函数y=2 x-1 的图象，你发觉了什么？

19、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 在同一平面直角坐标系中，画出通项公式为an1 n1的数列的图象和函数y=1x-1 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22图象，你又发觉了什么？生 借助信息技术或用描点作图画出上述两组图象，然后沟通、争论、归纳出二者之间的关系.师 出示多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观看它们之间的关系，得出结论： 等比数列是特别的指数函数，等比数列的图象是一些孤立的点 .师 请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3 个角度类比等差数列与等比数列，并填充以下表格：等差数列等比数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定义从

20、其次项起， 每一项与它前一项的差都是同一个常数从其次项起，每一项与它前一项的比都是同一个常数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结首项、 公差 公比 取值有无限制没有任何限制首项、公比都不能为0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结通项公式an=a1+n-1dan=a1q n-1相应图象的特点直线 y= a1+x-1 d 上孤立的点函数 y= a1qx-1 图象上孤立的点例题剖析【例 1】 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年， 剩留的这种物质是原先的84， 这种物质的半衰期为多长精确到 1 年？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 -

21、 - - - - - - - - -第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -师 从中能抽象出一个数列的模型，并且该数列具有等比关系.【例 2】 依据右图中的框图，写出所打印数列的前5 项，并建立数列的递推公式，这个数列是等比数列吗？师 将打印出来的数依次记为a1即 A ，a2， a3，.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可知 a1=1;a2=a111;a3=a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22于是，可得递推公式可编辑

22、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11,nna1 a2.1 n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由于a na n 11，因此，这个数列是等比数列.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结生 算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式 .练习：1.一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18，求它的第 1 项和第 2 项 .师 启示、引导同学列方程求未知量 .生 探究、沟通、列式、求解 . 2.课本第 59 页练习第 1、2 题. 课堂小结本节学习了如下内容：1.等比数列的定义 .2.等比数列的通项公式 .3.等比数列与指数函数的联系 .布置作业课本第 60 页习题 2.4 A 组 第 1、2 题.板书设计等比数列的概念及通项公式1.等比数列的定义实例剖析2.等比数列的通项公式从三个角度类比等差数列表例 1练习： 1. 同学板演 例 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载