《圆的对称性》圆PPT课件范例.pptx

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1、九年级下册九年级下册c说一说说一说（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。）你是怎么得出结论的？与同伴进行交流。几个重要概念几个重要概念 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）.ABCD 连接圆上任意两点的线段叫做弦（连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）. 经过圆心的弦叫做直径（经过圆心的弦叫做直径（diameter）. 弧包括弧包括优弧优弧和和劣弧劣弧，大于，大于半圆的弧称为优弧，小于半半圆的弧称为优

2、弧，小于半圆的弧称为劣弧圆的弧称为劣弧.例如例如 优弧优弧ACD（记作（记作 ）ACD劣弧劣弧ABD（记作（记作 ）AD 如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为M.OABBAABABCDMABABCD 如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CDAB，垂足为，垂足为M.（1）右图是轴对称图形）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是吗？如果是，其对称轴是什么？什么？（2）你能发现图中有）你能发现图中有哪些等量关系？说一说哪些等量关系？说一说你的理由。你的理由。MOBAODCE已知：在已知：在 O中，过圆心的直线中，

3、过圆心的直线OE垂直于弦垂直于弦AB，垂足为，垂足为E。 探索发现探索发现证明：连结证明：连结OA、OB，则，则OAOB。因为垂直于弦因为垂直于弦AB 的直径的直径CD所在的直所在的直线既是等腰三角形线既是等腰三角形OAB的对称轴又是的对称轴又是 O 的对称轴。所以，当把圆沿着直的对称轴。所以，当把圆沿着直径径CD折叠时，折叠时， CD两侧的两个半圆重两侧的两个半圆重合，合，A点和点和B点重合，点重合， AE和和BE重合，重合，AC、AD分别和分别和BC、BD重合。重合。因此因此AEBE，ACBC，ADBD叠叠 合合 法法求证：求证：AEBE，ACBC，ADBD。BAODCE垂直于弦的直径平分

4、这条弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。垂径定理：垂径定理：CD是直径是直径CDABAE BEACBCADBD几何语言表达：几何语言表达：看下列图形，能否使用垂径定理看下列图形，能否使用垂径定理? ?为什么为什么? ? EEE例例1 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的半径。的半径。解：连结解：连结OA。过。过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则OE3厘米，厘米，AEBE=1/2AB4厘米厘米在在RtAOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA5厘米厘米 O

5、的半径为的半径为5厘米。厘米。.AEBO垂径定理的应用垂径定理的应用如图，一条公路的转变处是一段圆弧如图，一条公路的转变处是一段圆弧( (即图中弧即图中弧CD,CD,点点O O 是弧是弧CDCD的圆心的圆心),),其中其中CD=600m,ECD=600m,E为弧为弧CDCD上的一点上的一点, ,且且OECDOECD垂足为垂足为F,EF=90m.F,EF=90m.求这段弯路的半径。求这段弯路的半径。解解: :连接连接OC OC O OC CD DE EF F.)90(,mROFRm则设弯路的半径为,CDOE ).(3006002121mCDCF得根据勾股定理,即,222OFCFOC.903002

6、22RR.545,R得解这个方程.545m这段弯路的半径约为 1300 1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥( (如图如图) )的的桥拱是圆弧形，它的跨度桥拱是圆弧形，它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4米，米，拱高拱高( (弧的中点到弧的距离，也叫弓形高弧的中点到弧的距离，也叫弓形高) )为为7.27.2米，求米，求桥拱的半径桥拱的半径.(.(精确到精确到0.10.1米米) )课本课本 P 92 P 92 随堂练习随堂练习BAODCE垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。对的

7、两条弧。垂径定理：垂径定理：CD是直径是直径CDABAE BEACBCADBD几何语言表达：几何语言表达：CDAB, AB是是 O的一条弦的一条弦,且且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n过点过点M作直径作直径CD.On右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?n小明发现图中有小明发现图中有:CDn由由 CD是直径是直径 AM=BM可推得可推得 AC=BC,AD=BD. MAB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧

8、分弦所对的两条弧.垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理解：如图，用解：如图，用 表示桥拱，表示桥拱， 所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为Rm，经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OD，D为垂足，与为垂足，与 相交于点相交于点C.根根据垂径定理，据垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是是 的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.ABABABABABAD217 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（m）答：赵州石拱桥的桥拱半径约为答：赵州石拱桥

9、的桥拱半径约为27.9m.OABCRD37.47.213001300多年前多年前, ,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥 ( (如图如图) )的桥拱是圆弧形的桥拱是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对是弦的长弧所对是弦的长) )为为37.4m,37.4m,拱高拱高 ( (弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离, ,也叫弓形高也叫弓形高) )为为7.2m,7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径( (精确到精确到0.1m).0.1m).2 . 7, 4 .37CDAB由题设由题设n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗? 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两

10、个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB, AC=BC,AD=BD.垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理条件结论命题平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.OABCDM垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所

11、对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理 CD是直径是直径 AM=BM CDABAC=BC AD=BD. 如果圆的两条弦互相平行如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦

12、所夹的弧相等吗等吗?OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.垂径定理的推论垂径定理的推论BAODCE垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。对的两条弧。垂径定理：垂径定理：CD是直径是直径CDABAE BEACBCADBD几何语言表达：几何语言表达：垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平并

13、且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.垂径定理的逆定理：垂径定理的逆定理：平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧并且平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的 另一条弧另一条弧.

14、平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦. 1、判断：、判断： 垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两并且平分弦所对的两条弧条弧. （ ） 平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧另一条弧. （ ） 经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（） 圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ） 弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （ ） 如图如图,M,M为为

15、O O内的一点内的一点, ,利用尺规作一条弦利用尺规作一条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OMAB弦弦AB即为所求。即为所求。 利用尺规作一条弧利用尺规作一条弧ABAB所在圆的圆心。所在圆的圆心。如图，两个圆都以点如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦与大圆的弦AB在在同一直线上，你认为同一直线上，你认为AC与与BD的大小有什么关系？为什么？的大小有什么关系？为什么？OABCDE解：解：AC=BD。理由如下：。理由如下：过过O作作OECD于于E， CD与与AB在同一直线上，在同一直线上， AE=BE，CE=DE AE- CE

16、 =BE- DE ，即即AC=BD ABCD0EFGH如图如图, ,圆圆O O与矩形与矩形ABCDABCD交于交于E E、F F、H,EF=10,HG=6,AH=4.H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BEBE的长的长. .MN解：过解：过O作作OMBC于于M，交，交AD于于N，矩形矩形ABCDABCD ， ADBC， OM AD EM=1/2EF=5，HN=1/2HG=3AN=AH+HN=4+3=7， BM=7BE= BM- EM =7-5=21、已知、已知 O的半径为的半径为6，OP=4，过点，过点P作作 O的弦中，最的弦中，最长为长为 ，最短为，最短为 。2、已知、已知 O的半径为的半径为5，弦，弦AB=8，点，点P为弦为弦AB上的一动上的一动点，点， 则则OP的取值范围是的取值范围是 。3、已知、已知 O的半径为的半径为5，弦，弦ABCD， AB=6，CD=8，则，则AB和和CD之间的距离为之间的距离为 。4、在半径为、在半径为1的的 O中，弦中，弦AB，CD的长分别是的长分别是求求BAC的度数。的度数。,2, 35、若圆的半径为、若圆的半径为2，圆中一条弦长为，圆中一条弦长为 ，则弦的中点，则弦的中点到弦所对的劣弧中点的距离为到弦所对的劣弧中点的距离为 。32