统计物理学习讲义 (2).ppt

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1、统计物理学习讲义,中科院数学院复杂系统研究中心复杂系统学习班 (CSSGBJ)韩 靖2003年10月27日,统计物理、自旋玻璃和复杂系统,统计物理做什么？自旋玻璃(Spin Glasses)是什么？它们在复杂系统研究中有何应用？它们的局限性？探讨：对我们的研究有何启发？,学习提纲和计划 (欢迎补充修改),基本概念介绍Entropy, Boltzmann分布(partition function)Example: K-SAT问题的相变Dynamics and Landscapes各态历尽, landscapes, Monte Carlo SimulationExample: Simulated

2、Annealing(模拟退火)Meanfield, Replica Symmetry, Cavity MethodsMeanfield 用于网络动力学的例子Replica Symmetry 用于组合问题的例子Cavity Methods: Survey Propagation Critical Phenomena & Power-law相变SOC, HOT/COLD理论,统计物理,Statistical physics is about systems composed of many parts. 集体行为 组合数学和概率理论Traditional examples:气体、液体、固体 - 原

3、子或分子；金属、半导体 - 电子;量子场 - 量子，电磁场 - 光子等Complex systems examples:生态系统 - 物种社会系统 - 人计算机网络 - 计算机市场 - 经纪人agent鱼群 - 鱼、鸟群 - 鸟、蚁群 - 蚂蚁组合问题 变量 研究复杂系统为什么要学习统计物理？,Collective Behavior 群体行为,集体行为：系统由大量相似的个体组成全局行为不依赖于个体的精确细节，而相互作用必须合理定义，并且不要太复杂；个体在单独存在的行为与在整体中的行为很不一样.(在整体中各个体行为变得相似)；相互作用的类型：吸引、抗拒、对齐主要的集体现象：相变、模式形成、群组运

4、动、同步 研究手段：统计物理、多主体计算机模拟“磁化”现象:go个体行为 邻居动作的平均方向同步掌声恐慌现象,http:/angel.elte.hu/vicsek/,自旋玻璃(Spin Glasses),简单的理想模型，性质丰富，易于研究个体:spin si; 系统:多个spin局部相互作用以最简单的Ising模型为例：si=1 或者 1在lattice上排列，相邻spin之间有相互作用能量(Hamiltonian)：E = - J(i-1)isi-1siJij0, 偏好相邻同向；Jij0, Z also counts other r that E(r)0. But the lower T,

5、the r with lower E(r) Z counts. Z is decreasing when T is decreasing.The K-SAT result considers T=0.,学习提纲和计划,基本概念介绍Entropy, Boltzmann分布(partition function)Example: K-SAT问题的相变Dynamics and Landscapes各态历尽, landscapes, Monte Carlo SimulationExample: Simulated Annealing(模拟退火)Meanfield, Replica Symmetry,

6、Cavity MethodsMeanfield 用于网络动力学的例子Replica Symmetry 用于组合问题的例子Cavity Methods: Survey Propagation Critical Phenomena & Power-law相变SOC, HOT/COLD理论,各态历尽,对任意2个系统状态r1和r2, r1可以经过有限部变换到r2.,00,01,10,11,熵最大分布的三个条件,Rij=probability of ri changes to rj 方程的平衡状态是熵最大分布,必须要满足：p=Rp, R 有唯一的主特征向量(特征值为1)各态历经细致平衡：平衡态时，piR

7、ij=pjRji,Ergodicity breaking and Landscape,Mapping of microstates onto energies,barrier,r1,r2,r3,rn,Very high, unlikely to cross, when system size is large,T is low:pi/pj=e-(Ei-Ej)/T,Monte Carlo Simulation,设定状态转换矩阵，使得系统演化服从我们希望的状态分布 P。如果各态历尽和细致平衡，有 把P代入就可以得到Rij,Simulated Annealing,目标P是Boltzmann分布：pi

8、e-Ei/T。Rij/Rji=e-(Ej-Ei)/T Rij= 1if EjEi e-(Ej-Ei)/T if EjEiSimulated Annealing:We want to minimize ET=0, ergodicity breaking, favors minimal ET0, barriers can be crossed, favors more states Most problems have many metastable states (local optima), various scales of barriers heights,学习提纲和计划,基本概念介绍En

9、tropy, Boltzmann分布(partition function)Example: K-SAT问题的相变Dynamics and Landscapes各态历尽, landscapes, Monte Carlo SimulationExample: Simulated Annealing(模拟退火)Meanfield, Replica Symmetry, Cavity MethodsMeanfield 用于网络动力学的例子Replica Symmetry 用于组合问题的例子Cavity Methods: Survey Propagation Critical Phenomena & P

10、ower-law相变SOC, HOT/COLD理论,Replica Approach and P(J),For a given J, free energy density:fJ=-1/(N) ln ZJFor a P(J), we want to know: =P(J)fJFor n replicas: Zn=JP(J)(ZJ)n (ZJ)n=s1s2sn exp-a=1nHJ(sa)si is the i th replica. fn=-1/(nN) ln Zn, ln Z= Lim n0 (Zn-1/n)We get: = Lim n0 fn f0,参考教材,http:/ Newman

11、2001 复杂系统暑期学校教材 http:/www.santafe.edu/mark/budapest01/ K-SAT相变: Nature, Vol 400, July 1999, p133-137Survey Propagation: Science, Vol 297, Aug. 2002, p812-815, p784-785.SOC: 大自然如何工作, Per Bak.HOT/COLD:HOT: Highly Optimized Tolerance: A Mechanism for Power Laws in Designed Systems. J. M. Carlson, John Doyle. (April 27, 1999)COLD: Optimal design, robustness, and risk aversion. M. E. J. Newman, Michelle Girvan and J. Doyne Farmer,