复域积分方法及其应用_安幼山.doc

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1、复域积分方法及其应用 安幼山 * * * 韩致宥 摘要 本文中的复域枳分方法，就是在适当条忤下，把通常的拟微分算子定义中关于 4 的 积分区域尺换成中另外的（实 ） n维流形。文中讨论了这样做的条件，并由此得到了 有关拟基本解的存在性、条件光滑性等方面的一些结果。 一 复 域 积 分 方 法 本稿于 1986 年 6 月 11 日收到 *安幼山系兰州大学数学系教师，在职博士生9 二 条 件 光 滑 性 问 题 今假设 为实常向量， A 为线性微分算子，即 crA(x， 4)是系数在 CCX)中的 实变量 4 的 m 阶多项式。显然， CTA ( x， t + iri)仍为系数在 C00 (X)

2、中的 4 的 m 阶多 项式，于是 （ M)又可写为 与 4的结果比较，我们的定玴舍弃了齐次方程的解的解析性的结果，而得到了非 齐次方程光滑性的结果。 定理 2,2 设 Q( 是 m 阶多项式，若存在常向量 ri,使 P(4) =Q(E + in)满足 s 即为 A 的左拟基本解。类似可构造 A 的右拟基木解。此时右与左拟基本解一致，而可 称为 A 的拟基本解。 注 3.1 以 上 定 理 中 A 为适的假设可除去，只须要求与 A 相差一个中算子的适算 子八 1 满足定理的相应条件。 注 3.2 由于拟微分算子的性质实际上只与大的 4 有关，故在定理 3.1 中，条丨： （ 3.2) 可修改为

3、只对大的 I 成立。 我们指出定理 3 1 的一个有趣的应用。今设 P ( D )是任意的亚椭圆的常系数算子， 则由定理 3.1 显然可看出，对任意 ii(x) (X)， TKX)实，算子 (X， D)= P (D + ;(x)有拟基本解存在。由此知在某驻情况下，我们可把变系数算 +拟基本解 的存在性归结为某个常系数算子的亚椭圆性的切论。 条件（ 3.2)描过了算子 A 的某种均匀性质。但下 面的例子表明，即使（ 3,2)成立， A也不必是常强度的（见 5 ): A= D2t+b ( x ) D|+iD2 , 其中 b ( x ) ， 且在 x。， 使 b(x。） = ， b(xj) =1。

4、最后我们指出，本文的思想曾受到 6、 7的启发。 作者对导师陈庆益教授的精心指导表示衷心的盛谢。 参 考 文 献 1 M . A, my 6 H E : JTceBJioflHtjjcjjepeHUHajibHMe Oneqa T op M H Cne K ipaji t Has T e p H a , 1978 . 2 L . Hormande r : Fourier Integral Operators I, Acta Math., Vol 128, 1972 . 3 H.M. r e JI b(ja M a w r . E. UIH JIOB： 06o6meH H BIG cjy H K

5、 u - H H , B H n . 2 , 1958 4 陈庆益：卷积方程的分类，数学学报， 15 : 4, 1965 5 L * Hormanderj Linear part ai Different ai 0erat rs 1964 6 陈庆益 ： On Fundame .tai S lut: ns of Operators f Principal Types, 数 学 L 物理学报， 1 : 1， 1981 7 L - Hormander； Hyp enij.t c DifTerentai Operators, Ann. Inst. Fourier Grenoble, 11, 1961

6、 Method of Integration in a Complex Domain and Its Applications An Youshan Han Xiaoyou Abstract In this paper, the method of ir.tegration in a complex domain means that,under certain c nd ti ns,tbe iritegrat-on domain R n w t、 lesrect t I as taken in the current defin/t on. of pseudo-differential Oferarors, is replaced by ether appropriate (real ) submanifolds f n-dimen.sion in C 11 We . ave diecussed conditions for such do ng, and have obtained some results on the existence of paramet :*ixes as well a, the con ditional smoothness.