浅谈微积分教学中不定积分的计算方法与技巧_魏宏涛.doc

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1、浅谈微积分教学中不定积分的计算方法与技巧 魏宏涛 1 ，康元宝 2 (1.环县第一中学，甘肃庆阳 745700; 2.西北师范大学，甘肃兰州 730070) 摘要：不定积分的计算是微积分教学中的重要内容之一，也是求解定积分的基础 .本文主要研究了 常见的不定积分的计算方法与技巧，熟练掌握和应用这些方法与技巧，对于解决不定积分的计算问 题很有裨益 . 关键词：原函数；不定积分；计算方法；计算技巧 中图分类号 =0172 2 1 引言 不定积分是高等数学学 习的重要内容， 也是 微 积 分 教 学 中 的 重 要 内 容 之 熟 练 掌 握不定积分的计算方法对学好积分的计算起 着至关重要的作用，同

2、时不定积分的计算对 思维的发展以及后续课程的学习也有重要作 用 .如何在教学过程中帮助学生消除思维障 碍，尽快掌握不定积分计算方法？已有许多 文献对其进行过研究 如 1-5.本文主要通 过对常见的不定积分的计算问题进行研究、 总结，旨在创设有效的学习途径，促使学生掌 握基本的不定积分的计算方法与技巧，对不 定积分的计算形成总体上的把握和认识 .熟 练掌握几类常见不定积分计算问题的解法与 技巧，对 _些难 度较大的不定积分的求解问 题，也能够通过文中的解法与技巧顺利解决 . 作为数学研究中的一个重要领域，有关 不定积分的解法与技巧还有待进 _步完善 . 2 不定积分的计算方法 Z 1 定义法 设

3、 /(:r)， :reJ， 若存在函数 F(： r)， 使得对 任意 zei 均有 或 cLF(:r)=/(:r) (，则称只 :为 /:的 - 个原函数 .记为 收稿日期： 2013-07-28 作者简介：魏宏涛 （ 1968 ）男，甘肃省环县人，本科，中学 一 级教师 . 3 不 定 积 分 的 求 解 技 巧 3 1 递推法 运用分部积分法，可建立 关于下标的 递推公式 .由此递推公式，就把计算 归结 为计算 -1，依次类推，最后归结为计算及， ! . 3Z 待定系数法 在数 学分析中对于处理有理函数和可化 为有理函数的不定积分求积问题时，主要通 过待定系数法将有理函数化为部分分式之和

4、的形式进行求积 . 例 8 解 由于 (2sin x 十 3cos x) 2cos x 3sin x， 故可假设 sin x 十 8cos x A(2sin x 十 3cos x) 十 B(2cos x 3sin x)， 这里 A， B 为待定系数，比较两端 sin x 及 cos x项的系数，得 2A-3B = 1， |A + 2B 二 8， 故 A 二 2， B 二 1.则 注 对 于 形 如 J# P(:r)cLr 的积分（其 中 P(:c)为 ra 次多项式 ） ，它的原函数也形如 efa Q(:r)， 这里的 Q(:r)为某个次待定多 项式 .也可选用上述方法求解 . 3. 3 对偶

5、法 有些不定积分，单独考虑时比较难积出 结果，倘若构造出另一个不定积分作为对偶， 两个积分同时考虑，则可利 用两积分相互之 间的良好关联性质，即可简单地求出不定积 分 .这种利用“对偶”求解不定积分的方法即 所谓“对偶法 例 9 求： 解 （ 1)本题可用待定系数求解，这里 介绍“对偶法”求解 .令 (2)本题可用有理函数积分法求解，但计 算繁琐 .令 参考文献 1 相秀芬 .几个不定积分计算问题的教学体会 J.承德石油高等专科学校学报， 2007， （ 2). 2 杜争光，马小飞 .换元积分法中常用的换元方 法与技巧 .甘肃高师学报， 2006,22(1). 3 刘必立 .不定积分计算刍议 .科学信息， 2012,(35). 刘光，刘荣 .不定积分教学方法探析 .重庆 工业高等专科学校学报， 2005,（ 01). 5 梁仁 .巧解不定积分 .中国统计， 1984, (11)