第五章 线性代数运算命令与例题.ppt

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1、第五章 线性代数运算命令与例题,北京交通大学,5.1向量与矩阵的定义数学上矩阵是这样定义的: 由个数排成m行n列的数表: 称为m行n列矩阵，特别，当m=1时就是线性代数中的向量。记作: 两个矩阵称为同型矩阵。,5.1.1输入一个矩阵命令形式1:Tablefi,j，i，m，j，n功能: 输入矩阵，其中f是关于i和j的函数，给出i， j项的值.命令形式2:直接用表的形式来输入功能:用于矩阵元素表达式规律不易找到的矩阵的输入。注意:1. 要看通常的矩阵形式可以用命令: MatrixForm%2. 对应上述命令形式，输入一个向量的命令为 Tablefj，j,n或直接输入一个一维表a1,a2,an，这里

2、a1,a2,an是数或字母。,例1.输入矩阵A= , 向量b=1,4,7,-3。解:Mathematica命令In1:= a=12，-3，0，2，1，56，-8，-45，21，91，3，6，81，13，4Out1:= 12，-3，0，2，1，56，-8，-45，21，91，3，6，81，13，4In2:=b=1, 4, 7, -3 Out2:= 1, 4, 7, -3,例2. 输入一个矩阵解:Mathematica命令In3:=TableSini+j，i，5，j，3Out3:=Sin2，Sin3，Sin4，Sin3，Sin4，Sin5，Sin4，Sin5，Sin6， Sin5，Sin6，Sin

3、7，Sin6，Sin7，Sin8In4:=MatrixForm% Out4:=Sin2 Sin3 Sin4Sin3 Sin4 Sin5Sin4 Sin5 Sin6Sin5 Sin6 Sin7Sin6 Sin7 Sin8,5.1.2 几个特殊矩阵的输入1. 生成0矩阵命令形式: Table0，m，n功能:产生一个的0矩阵2. 生成随机数矩阵命令形式: TableRandom ，m，n功能: 产生一个的随机数矩阵 3.生成上三角矩阵命令形式: TableIfi=j， a， 0， i，m，j，n功能: 产生一个非0元全为数a的下三角矩阵,5.生成三对角矩阵命令形式: TableSwitchi-j，-

4、1，ai，0，bi，1， ci-1，-，0，i，m，j，n功能: 产生一个的三对角矩阵 6.生成对角矩阵命令形式:DiagonalMatrixlist功能:使用列表中的元素生成一个对角矩阵.7.生成单位矩阵命令形式:IdentityMatrixn功能:生成n阶单位阵,例3. 构造的0矩阵。解: Mathematica命令In5:=Table0，4，3Out5:= 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0， 0In6:= MatrixForm%Out6:= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0例4. 构造一个的随机数矩阵。解: Mathematica命令In7:=

5、TableRandom ，2，5Out7:=0.46223， 0.545335， 0.423938， 0.635765， 0.792571， 0.802126， 0.372146， 0.114424， 0660867， 0.0163719,例5. 构造非0元全为2的45上三角矩阵。解:Mathematica命令In8:=TableIfi=j，1，0，i，4，j，4Out10=1，0，0，0，1，1，0，0，1，1，1，0，1，1，1，1In11:=MatrixForm%Out11=1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1,例7. 生成三对角矩阵 解:Mathematica

6、命令In12:=TableSwitchi-j，-1，a，0，b，1，c，_，0，i，6，j，6Out12=b，a，0，0，0，0，c，b，a，0，0，0，0，c，b，a,0,0， 0，0，c，b，a，0，0，0，0，c，b，a，0，0，0，0，c，b例8. 生成对角矩阵解:Mathematica命令In13:=DiagonalMatrixa，b，c，dOut13=a，0，0，0，0，b，0，0，0，0，c，0， 0，0，0，d,例9.生成5阶单位矩阵。解:Mathematica命令In14:=a=IdentityMatrix5Out14=1，0，0，0，0，0，1，0，0，0，0，0，1，0

7、0， 0，0，0，1，0，0，0，0，0，1 In15:=MatrixForm% Out15=1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,5.2向量与矩阵的运算 5.2.1基本运算,例10. 计算 解:Mathematica命令In16:= 1，3，7，-3，9，-1+2，3，-2，-1，6，-7Out16=3， 6， 5，-4， 15， -8例11 计算解:Mathematica命令In17:=51，2，3，3，5，1Out17=5， 10， 15， 15， 25， 5,例12. 求向量 与 的点积。解:Mathematica命令In1

8、8:= a， b， c.e， f， gOut18= a e + b f + c g例13. 求向量a，b，c与矩阵 的乘积。解:Mathematica命令In19:= a， b， c.1， 2，3， 4，5， 6Out19=a + 3 b + 5 c， 2 a + 4 b + 6 c,例14. 求矩阵 与向量a，b的乘积。解:Mathematica命令In20:=1，2，3，4，5，6.a， bOut20:=a + 2 b， 3 a + 4 b， 5 a + 6 b 例15:求矩阵 与 的乘积。解:Mathematica命令In21:= a=1，3，0，-2，-1，1In22:=b=1，3，-

9、1，0，0，-1，2，1，2，4，0，1In23:=a.bOut23:=1， 0， 5， 3， 0， -1， 0， 0,例16. 求矩阵 的逆。解:Mathematica命令In24:=A=1，2，3，4，2，3，1，2，1，1，1，-1，1，0，-2，-6Out24=1，2，3，4，2，3，1，2，1，1，1，-1，1，0，-2，-6In25:=InverseAOut25=22，-6，-26，17，-17，5，20，-13，-1，0，2，-1，4，-1，-5，3,例17. 求矩阵 的逆。解:Mathematica命令In26:= Inversea，b，c，dOut26:=例18. 求矩阵 的

10、转置。解:Mathematica命令In27:=A=1，2，3，4，2，3，4，5，3，4，5，6Out27:=1， 2， 3， 4， 2， 3， 4， 5， 3， 4， 5， 6In28:=TransposeAOut28:=1， 2， 3， 2， 3， 4， 3， 4， 5， 4， 5， 6,5.2.2. 方阵的运算求行列式 命令形式:DetA功能:计算方阵A的行列式求方阵的幂命令形式:MatrixPowerA，n功能:计算方阵A的n次幂。求矩阵的k阶子式命令形式:MinorsA，k功能:求出矩阵A的所有可能的k阶子式的值。,例19 ,求A的行列式解:Mathematica命令In29:=D

11、eta，b，c，d Out29:=-bc+ad 例20. 求矩阵 的2次幂。解:Mathematica命令In30:=MatrixPower1，2，3，4，2Out30:=7， 10， 15， 22,例21. 求矩阵 的所有2阶子式的值。解:Mathematica命令In31:=Minors1，2，3，2，3，4，2Out31:=-1， -2， -1,例22. 某农场饲养的动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组，05岁；第二组610岁；第三组成1115岁。动物从第二年龄组起开始繁殖后代，经过长期统计，第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三组在其年龄段平均繁殖3个后

12、代，第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别是1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头，问15年后农场饲养的动物总数及农场三个年龄段的动物各将达到多少头？指出15年间，动物总增长多少头及总增长率。,解：年龄组为5岁一段，故将时间周期也取5年。15年经过3个周期。用k=1，2，3分别表示第一、二、三个周期，xi(k)表示第i个年龄组在第k个周期的数量。由题意，有如下矩阵递推关系：即 利用Mathematica计算有：In32:=L=0，4，3.1/2，0，0，0，1/4，0; x0=1000，1000，1000;In33:= Dox0=L.x0;Printx

13、0， 3Out33：= 7000， 500， 250 2750， 3500， 125 14375， 1375， 875结果分析： 15年后，农场饲养的动物总数将达到16625头，其中05岁的有14375头，占总数的86.47%，610岁的有1375头，占8.27%，1115岁的有875头，占5.226%，15年间，动物总增长13625头，总增长率为13625/3000=454.16%。,5.3解线性方程组,命令形式: Solveeqns，x1，x2，功能:求解以x1，x2，为未知量的方程或纺方程组。注:eqns表示方程或方程组，其中的等号用两个等号“=”输入。例23 求方程组 的解。解:Mat

14、hematica命令In34:=Solve2x+3y= =4，x-y= =1，x，yOut34:=,例24. 求齐次方程 的解。解:Mathematica命令 In35:=Solve5x1+4x2+3x3+2x4+x5=0，x1 Out35= In36:=Solve5x1+4x2+3x3+2x4+x5=0，x5Out36=x5 - -5 x1 - 4 x2 - 3 x3 - 2 x4,例25. 求非齐次方程 的解。解:Mathematica命令In37:=Solve2x1+7x2+3x3+x4=6，3x1+5x2+2x3+2x4=4，9x1+4x2+x3+7x4=2， x1，x2，x3，x4O

15、ut37=,5.4求矩阵特征值和特征向量,命令形式1:EigenvaluesA 功能:求出方阵A的全部特征值。命令形式2:EigenvaluesNA 功能: 求出方阵A的全部特征值的数值解。注意:命令1有时不能求出特征值，而命令2总能求出特征值的近似值例26. 求矩阵 的特征值。解:Mathematica命令In38:=A=2.，1.，1.，1.，2.，1.，1.，1.，2.Out38=2.， 1.， 1.， 1.， 2.， 1.， 1.， 1.， 2.In39:=EigenvaluesAOut39=4.， 1.， 1.,例27. 求矩阵 的特征值。解:Mathematica命令In40:=A

16、=2，1，1，1，2，1，1，3，2;In41=EigenvaluesNAOut41=4.56155， 1.， 0.438447得三个特征值4.56155， 1.， 0.438447.,例28. 求矩阵 的特征值。解: Mathematica命令In43:=A=3，7，-3，-2，-5，2，-4，-10，3;In44:=EigenvaluesNA Out44=1.， 1.77636 10 -15 + 1. I， 1.77636 10 -15 - 1. I得三个特征值1.，1.77636 10 -15 + 1. I，1.77636 10 -15 - 1. I,5.4.2 求矩阵特征向量命令命令形

17、式1:EigenvectorsA 功能:求方阵A全部特征向量。命令形式2: EigenvectorsNA 功能:求方阵A全部特征向量的数值解。例29. 求矩阵的特征向量。解:Mathematica命令In47:=A=2.，1.，1.，1.，2.，1.，1.，1.，2.Out47=2.， 1.， 1.， 1.， 2.， 1.， 1.， 1.， 2.In48=EigenvectorsAOut48=0.57735， 0.57735， 0.57735， 0.， -0.707107， 0.707107， -0.816497， 0.408248， 0.408248得三个特征向量为:0.57735， 0.5

18、7735， 0.57735， 0.， -0.707107， 0.707107， -0.816497， 0.408248， 0.408248,例30求矩阵的特征向量。In49:=EigenvectorsNAOut49:=-0.816497， 0.408248， 0.408248， 0.6742 + 3.82181 10 -18 I， -0.40452 - 0.13484 I，-0.26968 - 0.53936 I， 0.6742 - 3.82181 10 -18 I， -0.40452 + 0.13484 I， -0.26968 + 0.53936 I,例31. 求矩阵 的特征值和特征向量。解:Mathematica命令In53:=A=2.，1.，1.，1.，2.，1.，1.，1.，2.Out53=2.，1.， 1.， 1.， 2.， 1.， 1.， 1.， 2.In54:=EigensystemAOut54=4.， 1.， 1.， 0.57735，0.57735，0.57735，0.，-0.707107， 0.707107，-0.816497，0.408248，0.408248其中，第一个表是三个特征值，第二个2维表是三个特征向量,例32：综合应用：,第五章结束谢谢!,