第五章 随机变量的数字特征.ppt

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1、第四章 随机变量的数字特征,第一节 数学期望,第二节 方差,第三节 协方差及相关系数,第四节 矩、协方差矩阵,第四章 随机变量的数字特征,前面讨论了随机变量的分布函数，从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律。 但在许多实际问题中，人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需要知道它的数字特征即可。,4.1 数学期望,例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数是一 随机变量，分别记为X、Y，并具有如下分布律 X 10 9 8 7 Y 10 9 8 7 Pk 0.6 0.1 0.2 0.1 Pk 0.4 0.3 0.1 0.2试问甲、乙两射手的射击水平哪个较高？,解

2、,由此可见，射手甲的射击水平略高与射手乙的射击水平。,（环）,定义1 设离散型随机变量X的分布律为 若级数 绝对收敛，则称此级数的和为随机变量X的数学期望.记为E(X)即,定义2 连续型随机变量X的概率密度为 f(x), 若积分 绝对收敛，则称此积分值为随机变量X 的数学期望，记为E(X), 即,注 数学期望简称为期望，又称为均值.,例1 设X(), 求 E(X),解 X的分布律为,E(X)=,例2 设XU(a, b), 求 E(X),解,X的概率密度为,E(X)=,例3 设有5个相互独立的电子元件,其寿命Xk (k=1,2,.,5)均服从同一指数分布，其概率密度为 求将这5个元件(1)串联，

3、(2)并联组成系统的平均寿命,(1) 串联时系统寿命 ，,其分布函数为,解 Xk的分布函数为,(2)并联时系统寿命 ，,M的概率密度为,其分布函数为,解 一台收费Y的分布律,Y 1500 2000 2500 3000pk PX1 P 13,0.0952 0.0861 0.0779 0.7408,E(Y)=2732.15,(1) X(离散型)的分布律为： 若级数 绝对收敛，则,(2) X(连续型)的概率密度为 f (x) ,若积分 绝对收敛，则,定理1 设Y是随机变量X的函数：Y=g(X) (g为连续函数),随机变量的函数的数学期望,Y=g(X),证 （1）由离散型随机变量的函数的分布，有,（2

4、）设X是连续型随机变量，Y=g(X)的概率密度为,例5 设风速V在(0,a)上服从均匀分布，飞机机翼受到的压力 W=kV2, (k为常数), 求W的数学期望,解 风速V的概率密度为,例6 国际市场每年对我国某种商品的需求量X（吨）是一随机变量，它服从(a, b)上的均匀分布设每售出该商品一吨可以为国家创汇 s万元，但若销不出去而压于仓库，则每吨亏损 l 万元，问应组织多少货源才使国家收益的期望值最大？,解 设组织货源为t（吨）,由题意at b, 收益Y是X的函数：,令 得:,(3) 若(X,Y)是离散型，其分布律为,(4) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x, y)，则,定理推广：,则

5、,定理推广：,设 Z=g(X,Y)（g为二元连续函数),求 的数学期望,XY2 1 4 2 8,例7 设(X,Y)的联合分布律为,解 (X,Y)的取值及对应的概率如下表:,(X,Y) (1,1) (1,2) (2,1) (2,2),pk 0.4 0.3 0.2 0.1,X+Y 2 3 3 4,X,(1) 若(X,Y)是离散型，其分布律为,则,结论：,(2) 若(X,Y)是连续型，其概率密度为f (x, y)，则,例8 设(X,Y)的概率密度为,求数学期望E(Y), E(1/XY).,解,xy=1,o,x,y,x=y,1,假设以下随机变量的数学期望均存在 1. E(C)=C, （C是常数） 2.

6、 E(CX)=CE(X), （C是常数） 3. E(XY)=E(X) E(Y), 4. 设X与Y相互独立, 则 E(XY)=E(X)E(Y),数学期望的性质:,注 性质3.4.可推广到有限个的情况.,证 (仅对(X,Y)为连续型随机变量证明性质3,4) 设(X,Y)的概率密度为f（x,y），其边缘概率密度分别为 fX（x,y）， fY（x,y），则,又若X与Y相互独立，则,由题意,注 这种引进新的随机变量，将原随机变量分解成有限个随机变量之和,再求数字特征的方法具有一定的普遍意义.,例9 一民航机场的送客车，载有20名乘客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如到达一站没旅客下车就不停车假设每

7、位旅客在各站下车是等可能的，且旅客之间在哪一站下车相互独立以X表示停车次数，求E(X),解 引入随机变量,则,解法一：由已知得,解法二：,同理,解 由于X与Y相互独立，则 与 也相互独立，,解 甲乙平均命中环数为 E(X)=8.9 (环)，E(Y)=8.9 (环) 从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下， 进一步考虑他们射击的稳定性,1.定义 设X是一随机变量，若EX-E(X)2 存在，则称为随机变量 X 的方差，记为D(X)或Var(X)即,4.2 方差,1.离散型:,2.连续型:,3.计算公式：,并 称为X随机变量的均方差或标准差，记(X),注 方差刻画了随机变量X的取值与其均值的偏离程度

8、，它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.,计算公式的推导：,由方差的定义及数学期望的性质，有,例1 设甲、乙两射手在同样条件下进行射击，其命中环数分 别用X、Y表示，分布律分别为 X 10 9 8 7 Y10 9 8 7 0.5 0.1 0.2 0.2 0.4 0.3 0.1 0.2,解,故从平均水平看，甲、乙的技术水平不相上下，,由于E(X2)=80.7 , E(Y2)=80.5,于是 D(X)= E(X2)- E(X) 2 D(Y)= E(Y2)- E(Y) 2,所以，从稳定性来看，射手乙的技术水平略高于射手甲.,甲平均命中环数:,试评定甲、乙的技术水平,乙平均命中环数:,E(X)=100

9、.5+90.1+8 0.2+7 0.2=8.9 (环)，,E(Y)=100.4+90.3+8 0.1+7 0.2=8.9 (环)，,进一步考虑他们射击的稳定性，即D(X), D(Y),=1.49,=1.29,例2 设随机变量X有期望E(X)= , 方差D(X)=20.,记,则,-称为X的标准化变量，,例3 设随机变量X具有(0-1)分布, 则,E(X)= p, D(X)=p(1-p).,例4 设X() ,求 D(X),例5 设XU(a,b) ,求 D(X),例6 设X服从参数为 的指数分布,求E(X)， D(X),=. ( E(X)= ),= (b-a)2/12. (E(X)= (a+b)/2

10、),= 2,=,泊松分布:,2.方差的性质,(假设下列方差均存在),推广：设X1,Xn是n个相互独立的随机变量，则,(1) D(C)=0, (C为常数),(2) D(C X)=C2 D(X), D(X+C)=D(X), (C为常数),(4) D(X)=0 PX=C=1 ,其中C=E(X).,例7 设X1, . , Xn相互独立，且服从同一参数为 p 的 (0-1)分布, 证明： X= X1+.+Xn服从参数为n, p的二项分布, 并求 E(X)，D(X).,证 X的所有可能取值为0,1,n , X=k表示X1,.,Xn中有k个取1， n-k个取0，共有 种方式，故,即X服从参数为n, p的二项

11、分布.,例8 设XN(, 2 ) , 则E(X)= , D(X)= 2 .,推广: Xi N(i , i2 ) , (i=1,2,n), 且相互独立，则,正态分布XN(,2),服从正态分布的随机变量的分布完全由其数学期望和方差所确定,定理 设随机变量X的数学期望E(X)= , 方差D(X)=2, 则对任意的正数，有,切比雪夫不等式:,证 （仅就X为连续型时来证）设X的概率密度为f(x)，则,注 此不等式给出了在随机变量的分布未知的情况下事件 的概率的一种估计方法。,-切比雪夫(chebyshev)不等式,例10 设随机变量X服从泊松分布，且求X的数学期望与方差.,例11 设 XN(1,2),

12、Y服从参数为 3 的泊松分布，且X与Y独立，求 D(XY).,例9 设 E(X)=-2, D(X)=1，E(Y)=2, D(Y)=4, 且X与Y独立，根据切比雪夫不等式估 P|X+Y|5.,答：,答：1/5,答：27,几种重要随机变量的数学期望及方差,二项分布 Xb(n,p),泊松分布 X(),分布 分布密度 数学期望E(X) 方差D(X),均匀分布,正态分布XN(,2),np np(1-p),2,解:,于是,例13一台设备由10个独立工作的元件组成，每一元件在时间T发生故障的概率为0.05设在时间T发生故障的元件数为X，试用切比雪夫不等式估计随机变量X与其数学期望的偏差（a）小于2；(b)不

13、小于2的概率,解 （a）由题意知Xb(10, 0.05)，且,由切比雪夫不等式，得,E(X)=0.5 D(X)=0.475,(b),4.3 协方差 相关系数,定义1 设(X,Y)为二维随机变量，若 EX-E(X)Y-E(Y)存在，则称其为随机变量X与Y的 协方差，记为Cov(X,Y)即,(2)若(X,Y)为连续型,其概率密度为f(x,y), 则,计算公式：,协方差的性质：,1.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2.D(X+Y)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y),1.Cov(X,X)=D(X)； 2.Cov(X, Y)=Cov(Y, X)；3.Cov(aX, bY)=abCov

14、(X, Y)； (a,b为常数) 4.Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1, Y)+Cov(X2, Y)； 5.若X与Y独立，则 Cov(X, Y)=0.,例1 设(X,Y)具有概率密度,求 Cov(X,Y).,答：,解：,注 XY是一个无量纲的量, X, Y相互独立 X与Y不相关；反之不一定.,定义2 设(X,Y)为二维随机变量，若D(X)0, D(Y)0,为随机变量X与Y的 相关系数，记为 XY ,称,特别，当XY =0时，称X与Y不相关,X与Y不相关 Cov(X,Y) E(XY)=E(X)E(Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y),相关系数的性质：,数,证明： 考虑用X的某个线性函数

15、a+bX来近似表达Y，我们以均方误差 来衡量以 a+bX 来近似表达Y 近似的好坏程度. 选取a，b 使 e 值最小.,证2o,反之，若,注,(1)相关系数XY刻画了随机变量 Y 与X之间的“线性相关”程度: |XY| 的值越接近于1， Y 与X 的线性相关程度越高； |XY| 的值越接近于0， Y与X 的线性相关程度较弱.,(2) 当XY =0时,只说明Y 与X之间没有线性关系,并不能说明Y 与X之间没有其他函数关系,从而不能推出Y 与X独立.,例2 设(X,Y)均匀分布在以坐标原点为中心，R为半径的圆的内部，则随机变量X与Y不相关, 但X与Y也不相互独立.,解：由已知得,故,所以X与Y不相

16、关,又因为,所以,X与Y也不相互独立,例3 设 则X, Y相互独立 X, Y不相关,解,由上章3.4例1知，X, Y相互独立 = 0，即XY=0, 亦即X,Y不相关由此知二维正态随机变量X与Y相互独立与不相关是等价的,例4 已知 设 , 求,解,定义1 设X, Y为随机变量, k, l为正整数，称,4.5 矩 协方差矩阵,为X的k阶原点矩( k阶矩),为X的 k阶中心矩;,为X和Y的k+l 阶混合矩;,为X和Y的k+l 阶混合中心矩,注,(1)E(X)是X的一阶原点矩；,(2)D(X)是X的二阶中心矩；,(3)Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩.,定义2 设n维随机变量 的二阶混合中心矩都存在，称矩阵,其中,显然：,为n维随机变量 的协方差矩阵。,例4 设服从，上的均匀分布，且X=sin，Y=cos , 判断X与Y是否不相关？是否独立？,答： X与Y不相关；X2+Y2=1 不独立.,例 设 写出其协方差矩阵。,