单方程计量经济学模型理论与方法.ppt
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1、第二章 经典线性回归模型:双变量线性回归模型,回归分析概述 双变量线性回归模型的参数估计 双变量线性回归模型的假设检验双变量线性回归模型的预测实例,2.1 回归分析概述,一、变量间的关系及回归分析的基本概念二、总体回归函数(PRF)三、随机扰动项四、样本回归函数(SRF),一、变量间的关系及回归分析的基本概念,1. 变量间的关系(1)确定性关系或函数关系:研究的是确定现象非随机变量间的关系。,(2)统计依赖或相关关系:研究的是非确定现象随机变量间的关系。,2. 回归分析的基本概念回归分析(regression analysis)是研究一个变量关于另一个(些)变量的具体依赖关系的计算方法和理论。
2、其目的在于通过后者的已知或设定值,去估计和(或)预测前者的(总体)均值。被解释变量(Explained Variable)或应变量(Dependent Variable)。解释变量(Explanatory Variable)或自变量(Independent Variable)。,二、总体回归函数,回归分析关心的是根据解释变量的已知或给定值,考察被解释变量的总体均值,即当解释变量取某个确定值时,与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。,例2.1:一个假想的社区有100户家庭组成,要研究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收入X的关系。 即如果知道了家庭的月收入,能否预测该社区家
3、庭的平均月消费支出水平。 为达到此目的,将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组,以分析每一收入组的家庭消费支出。,由于不确定因素的影响,对同一收入水平X,不同家庭的消费支出不完全相同;但由于调查的完备性,给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的,即以X的给定值为条件的Y的条件分布(Conditional distribution)是已知的,例如:P(Y=561|X=800)=1/4。,因此,给定收入X的值Xi,可得消费支出Y的条件均值(conditional mean)或条件期望(conditional expectation):E(Y|X=Xi)。该例中:E(Y | X=800)=60
4、5描出散点图发现:随着收入的增加,消费“平均地说”也在增加,且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。,在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期望轨迹称为总体回归线(population regression line),或更一般地称为总体回归曲线(population regression curve)。,称为(双变量)总体回归函数(population regression function, PRF)。,相应的函数:,含义:回归函数(PRF)说明被解释变量Y的平均状态(总体条件期望)随解释变量X变化的规律。,函数形式:可以是线性或非线性的。,例2.1中,将居民消费
5、支出看成是其可支配收入的线性函数时:,为一线性函数。其中,0,1是未知参数,称为回归系数(regression coefficients)。,三、随机扰动项,总体回归函数说明在给定的收入水平Xi下,该社区家庭平均的消费支出水平。但对某一个别的家庭,其消费支出可能与该平均水平有偏差。称为观察值围绕它的期望值的离差(deviation),是一个不可观测的随机变量,又称为随机干扰项(stochastic disturbance)或随机误差项(stochastic error)。,例2.1中,给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和:(1)该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi),
6、称为系统性(systematic)或确定性(deterministic)部分;(2)其他随机或非确定性(nonsystematic)部分i。,称为总体回归函数(PRF)的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外,还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项,成为计量经济学模型,因此也称为总体回归模型。,随机误差项主要包括下列因素:在解释变量中被忽略的因素的影响;变量观测值的观测误差的影响;模型关系的设定误差的影响;其他随机因素的影响。产生并设计随机误差项的主要原因:理论的含糊性;数据的欠缺;节省原则。,四、样本回归函数(SRF),问题:能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗?
7、如果可以,如何从抽样中获得总体的近似信息?例2.2:在例2.1的总体中有如下一个样本,能否从该样本估计总体回归函数PRF?,回答:能,该样本的散点图(scatter diagram):,画一条直线以尽好地拟合该散点图,由于样本取自总体,可以该直线近似地代表总体回归线。该直线称为样本回归线(sample regression lines)。,记样本回归线的函数形式为:,称为样本回归函数(sample regression function,SRF)。,注意:这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代,则,样本回归函数的随机形式/样本回归模型:,同样地,样本回归函数也有如下的随机形式:,由于方程中引
8、入了随机项,成为计量经济模型,因此也称为样本回归模型(sample regression model)。,回归分析的主要目的:根据样本回归函数SRF,估计总体回归函数PRF。,即,根据,估计,注意:这里PRF可能永远无法知道。,2.2 双变量线性回归模型的参数估计,一、双变量线性回归模型的基本假设 二、参数的普通最小二乘估计(OLS) 三、最小二乘估计量的性质 四、参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计,回归分析的主要目的是要通过样本回归函数(模型)SRF尽可能准确地估计总体回归函数(模型)PRF。估计方法有多种,其中最广泛使用的是普通最小二乘法(ordinary least squar
9、es, OLS)。为保证参数估计量具有良好的性质,通常对模型提出若干基本假设。实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。,一、线性回归模型的基本假设-P99-100-105,假设1. 解释变量X是确定性变量,不是随机变量; 假设2. 随机误差项具有零均值、同方差和无自相关: E(i)=0 i=1,2, ,n Var (i)=2 i=1,2, ,n Cov(i, j)=0 ij i,j= 1,2, ,n,异方差,序列自相关,X,假设3. 随机误差项与解释变量X之间不相关: Cov(Xi, i)=0 i=1,2, ,n 假设4. 服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 iN(0, 2 ) i=1,2
10、, ,n,如果假设1、2满足,则假设3也满足; 如果假设4满足,则假设2也满足。,注意:,以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯(Gauss)假设,满足该假设的线性回归模型,也称为经典线性回归模型(Classical Linear Regression Model, CLRM)。,二、参数的普通最小二乘估计(OLS),给定一组样本观测值(Xi, Yi)(i=1,2,n)要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值. 普通最小二乘法(Ordinary least squares, OLS)给出的判断标准是:二者之差的平方和,最小。,最小二乘法的思路,为了精确地描述Y与X之间的关系,必须使用这两个变量
11、的每一对观察值(n组观察值),才不至于以点概面(做到全面)。Y与X之间是否是直线关系(用协方差或相关系数判断)?若是,可用一条直线描述它们之间的关系。在Y与X的散点图上画出直线的方法很多。找出一条能够最好地描述Y与X(代表所有点)之间的直线。问题是:怎样算“最好”?最好指的是找一条直线使得所有这些点到该直线的纵向距离的和(平方和)最小。,最小二乘法的思路,最小二乘法的思路,纵向距离是Y的实际值与拟合值之差,差异大拟合不好,差异小拟合好,所以称为残差、拟合误差或剩余。将所有纵向距离平方后相加,即得误差平方和,“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。拟合直线在总体上最接近实际观测点。于是可以运用求
12、极值的原理,将求最好拟合直线问题转换为求误差平方和最小的问题。,数学形式,最小二乘法的数学原理,纵向距离是Y的实际值与拟合值之差,差异大拟合不好,差异小拟合好,所以又称为拟合误差或残差。将所有纵向距离平方后相加,即得误差平方和,“最好”直线就是使误差平方和最小的直线。于是可以运用求极值的原理,将求最好拟合直线问题转换为求误差平方和最小。,得到的参数估计量可以写成:,称为OLS估计量的离差形式(deviation form)。 由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的,故称为普通最小二乘估计量(ordinary least squares estimators)。,例2.2.1:在上述家庭可支
13、配收入-消费支出例中,对于所抽出的一组样本数,参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。,计量经济学与电脑,必须指出,模型的建立和实际使用,离开了电脑几乎是不可能的。目前,已有很多计量经济学软件包,可以完成计量经济学模型的参数估计、模型检验、预测等基本运算。几种常见计量软件SAS,SPSS,ET,ESP,GAUSS,MATLAB,MICROTSP,STATA, MINITAB,SYSTAT,SHAZAM,EViews,DATA-FIT。本课程采用国家教委推荐的EViews进行案例教学。要求同学们掌握EViews,比较熟练地使用它,并掌握EViews与其它Windows软件共享信息。,学习计量
14、软件的要求,鼯鼠五能,不如乌贼一技!,因此,由该样本估计的回归方程为:,四、最小二乘估计量的性质,当模型参数估计出后,需考虑参数估计值的精度,即是否能代表总体参数的真值,或者说需考察参数估计量的统计性质。,一个用于考察总体的估计量,可从如下几个方面考察其优劣性: (1)线性,即它是否是另一随机变量的线性函数;,(2)无偏性,即它的均值或期望值是否等于总体的真实值;(3)有效性,即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。 这三个准则也称作估计量的小样本性质。 拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量(best liner unbiased estimator, BLUE)。,(4)渐近无偏性
15、,即样本容量趋于无穷大时,是否它的均值序列趋于总体真值;(5)一致性,即样本容量趋于无穷大时,它是否依概率收敛于总体的真值;(6)渐近有效性,即样本容量趋于无穷大时,是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。,当不满足小样本性质时,需进一步考察估计量的大样本或渐近性质:,OLS参数估计量的有效性指的是:在一切线性、无偏估计量中,OLS参数估计量的方差最小。,高斯马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem) 在给定经典线性回归的假定下,最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。,五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计,2. 随机误差项的方差2的估计,2又称为总体方差。
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