平面向量基本定理公开课用ppt课件.ppt

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1、必修系列必修系列数学数学4 f fGP1ABADAC ABBCAC （1 1）小明从）小明从A A到到B B，再从，再从B B到到C C，则他两次的位移之和是：，则他两次的位移之和是：ABCD三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则首尾相接，由首至尾首尾相接，由首至尾共起点共起点 连对角连对角2复习复习: :共线向量基本定理：共线向量基本定理： 向量向量 与向量与向量 共线共线当且仅当有唯一一个实数当且仅当有唯一一个实数 使得使得(0)a a bab3(2)证明三点共线的问题证明三点共线的问题:定理的应用定理的应用:(1)有关向量共线问题有关向量共线问题: / CDABCDABCDAB

2、CDAB直线直线不在同一直线上与(3)证明两直线平行的问题证明两直线平行的问题: )0(三点共线、CBABCBCAB42011年11月3日1时43分，神舟八号与天宫一号第一次交会对接圆满成功，中国成为世界第三个独立掌握无人和载人空间对接技术的国家。承担“神舟八号”飞船和“天宫一号”目标飞行器发射任务的是“长征二号长征二号F”运载火箭运载火箭 。 vv1v2v21vvv5依照速度的分解，平面内任一向量依照速度的分解，平面内任一向量a可可作怎样的分解呢？作怎样的分解呢？平行四边形法则平行四边形法则给定平面内两个不共线的向量给定平面内两个不共线的向量e1, , e2, ,可可表示平面内任一向量表示平

3、面内任一向量a吗？吗？1e2ea21eea1e2ea61e2e OCABMN OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe a1e2e a给定平面内两个不共线的向量给定平面内两个不共线的向量e1, , e2, ,可表示该平面内任一向量可表示该平面内任一向量a吗？吗？71e2e OCABMNa OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 1e2e a给定平面内两个不共线的向量给定平面内两个不共线的向量e1, , e2, ,可表示该平面内任一向量可表示该平面内任一向量a吗？吗？8？来表示呢任意一个向量

4、都可以用后，是否平面内，确定一对不共线向量 221121eeee想一想想一想1e2e1e2e12 . aee 当 与 或 共线时aa1220aee 1 120aee 9？怎怎样样构构造造平平行行四四边边形形况况时时，的的位位置置如如下下图图两两种种情情改改变变 aa1e2eAOCBNMO Oa1e2eCABNM1 12212(0,0)aee 1 12212(0,0)aee 10（3 3）1e2eaAOBNMC C1 12212(0,0)aee 再改变成如下情况，怎样构造平行四边形？再改变成如下情况，怎样构造平行四边形？11取取,021使使22110ee1e若若a与与 共线，则共线，则02使使2

5、211eea若若, 0a)(2e),0(11e2e aa重要结论若若02211ee则则,02112（）（）平面向量基本定理平面向量基本定理存在性存在性唯一性唯一性存在存在如果如果是同一平面内两个是同一平面内两个不共线不共线向量，向量，那么对于这一平面的任意向量那么对于这一平面的任意向量一对实数，一对实数，使使,1e,2e, a,2,12211eea有且只有有且只有思考：思考：上述表达式中的上述表达式中的2,1是否唯一是否唯一？（ 2 ）基底：基底：把把不共线不共线的向量的向量叫做这一平面内叫做这一平面内,1e2e所有向量的所有向量的一组一组基底基底一个平面向量用一组基底一个平面向量用一组基底

6、( 3 )正交分解：正交分解：,1e,2e表示成：表示成：2211eea称它为向量的分解称它为向量的分解当当互相垂直时，称为向量的互相垂直时，称为向量的正交分解正交分解,1e,2e13一维直线一维直线平面向量基本定理1 122a =eea =e二维平面二维平面思想有多远，就能走多远！思想有多远，就能走多远！重要结论若若02211ee则则,021142、基底不唯一，关键是基底不唯一，关键是不共线不共线.4、基底给定时，分解形式唯一基底给定时，分解形式唯一.说明：说明：1、把、把不共线不共线的的非零向量非零向量 叫做表示叫做表示这一平面内所有向量的一组这一平面内所有向量的一组基底基底.12,e e

7、 3、由定理可将任一向量由定理可将任一向量 在给出基底在给出基底 的条件下进行分解的条件下进行分解.12,e e a15练习：下列说法是否正确？练习：下列说法是否正确？1.在平面内只有一对基底在平面内只有一对基底.2.在平面内有无数对基底在平面内有无数对基底.3.零向量不可作为基底零向量不可作为基底.4.平面内不共线的任意一平面内不共线的任意一 对向量对向量,都可作为基底都可作为基底.16（1 1）一个平面内，可作为基底的向量有）一个平面内，可作为基底的向量有 对。对。无数无数(1)(3)17MABCDMDMBMAMCbabADaABBDACABCD和、表示、，试用基底，相交于点和的对角线、如

8、图，平行四边形例 ,M1baADABAC解：因为平行四边形的对角线互相平分因为平行四边形的对角线互相平分baACMC212121baMCMA2121baADABDBMB2121)(2121abMBMD2121ab 例例118 2 22 22 22 2例例3 3. .设设 ，是是平平面面内内的的一一组组基基底底，如如果果A AB B= =3 3 - -2 2 , ,B BC C= =4 4 + +, ,C CD D= =8 8 - -9 9 , ,求求证证：A A, ,B B, ,D D三三点点共共线线。CDBCABAD证明：)98()4()23(212121eeeeee211015ee )23

9、(521ee AB5.共线与ABAD.,三点共线，所以有公共的起点与又DBAAABADABCD 例例219能作为基底的是则下面的四组向量中不的一组基底，是表示平面内所有向量，、若211ee；和；和；和；和212122112212121)4(33) 3(6423)2() 1 (eeeeeeeeeeeeeee(2)ADACABBCDABC表示向量的中点，则用是中，、已知,2ABCD20.,3PQbababDAaBCBDACABCDQP表示向量试用基底不是共线向量，并且的中点，与的对角线分别是四边形、设BQPDCAbaPQbaCBADPQBQCBPCPQDQADPAPQ21212解法一：21.,3P

10、QbababDAaBCBDACABCDQP表示向量试用基底不是共线向量，并且的中点，与的对角线分别是四边形、设BQPDCAE22练习练习请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底请大家在图中确一组基底，将其它向量用这组基底表示出来表示出来ANMCDB已知梯形已知梯形ABCD，AB/CD，且，且AB= 2DC，M、N分分别是别是DC，AB的中点的中点23ANMCDB解析：设解析：设AB=e1，AD=e2，则有：，则有：DC= AB = e11212BC=BD+DC=(AD- -AB)+DC=(e2- -e1)+ e1=- - e1+e21212MN=DN- -DM=(AN- -AD)- - D

11、C12= e1- -e2- - e1 1214= e1- -e2 1424二、向量的夹角二、向量的夹角:OABba两个非零向量两个非零向量 ， ab和和 的的夹角夹角ab夹角的范围：夹角的范围：180 OABab90 OAB ab注意注意:同起点同起点(0180 )AOB叫做向量叫做向量0 OABab25例例2:如图，等边三角形中，求如图，等边三角形中，求 (1)AB与与AC的夹角；的夹角； (2)AB与与BC的夹角。的夹角。ABC60C0120注意注意:同起点同起点26A AB B. 1 , nmOBnOAmOPABPBAO且且则则上上，在在直直线线若若点点三三点点不不共共线线，、已已知知O

12、 OP P. , ),R( , ,OPOBOAtABtAPOBOA表示表示用用且且不共线不共线、如图如图 . 3例例一个重要结论一个重要结论OBtOAtOP)1 ( 结论：结论：你发现了什么？你发现了什么？27三三、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示思考？思考？ 在平面里直角坐标系中，每在平面里直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（它一个点都可用一对有序实数（它的坐标）表示。对直角坐标平面的坐标）表示。对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？内的每一个向量，如何表示呢？282.2.32.2.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示. .向量的向量的正交分解正交分解物理

13、背景物理背景: :29三三、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示yOxai xjy +axiy j我们把我们把(x,y)叫做向量叫做向量 的的(直角直角)坐标，记作坐标，记作 a( , )ax y其中，其中，x叫做叫做 在在x轴上的坐标，轴上的坐标，y叫做叫做 在在y轴上的坐标，轴上的坐标，(x,y)叫做向量的坐标表示叫做向量的坐标表示.aa正交单位正交单位基底基底jii,ji,j为单位向量为单位向量30OxyAijaxy +axiy j +OAxiy j 当向量的起点在坐标原点时，当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标向量的坐标就是就是向量终点的坐标向量终点的坐标. .坐标坐标(x,y)一一对

14、应一一对应 两个向量相等，利用坐标如何表示？两个向量相等，利用坐标如何表示？2121yyxxba且向量向量a三三、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示31. , 并求出它们的坐标、分别表示向量，如图，用基底dcbajijiAAAAa3221解：解：(2,3)a)3 , 2(32jib)3, 2(32jic)3, 2(32jidjyxOicaA1AA2Bbd例：例：数量看投影数量看投影 符号看方向符号看方向322.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算1.已知已知a ，b ，求，求a+b，a-b，a),(11yx ),(22yx 解：解：a+b=( i +

15、 j ) + ( i + j )1x1y2x2y=（ + )i+（ + )j1x2x1y2y即即),(2121yyxx a + b同理可得同理可得a - b),(2121yyxx 两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差332.3.3平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算2已知已知 求求),(),(2211yxByxA，AB),(11yxA),(22yxBxyO解：解：OAOBAB ),(),(2211yxyx ),(1212yyxx 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点

16、的坐标终点的坐标减去始点的坐标 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相应坐标向量的相应坐标),(yx a则若),(yxa 34思思 考考1. 两个向量共线的条件是什么两个向量共线的条件是什么?2. 如何用坐标表示两个共线向量如何用坐标表示两个共线向量?35.),(),(2211abyxbyxa 其其中中设设推导过程：推导过程：36.),(),(2211abyxbyxa 其其中中设设推导过程：推导过程：),(),( 2211yxyxba 得得：由由37.),(),(2211abyxbyxa 其其中中设设推导过程：推导过程：,2121 yyxx )

17、,(),( 2211yxyxba 得得：由由38.),(),(2211abyxbyxa 其其中中设设推导过程：推导过程：,2121 yyxx ),(),( 2211yxyxba 得得：由由. 01221 yxyx：消消去去 39.),(),(2211abyxbyxa 其其中中设设0 )0( /1221yxyxbba的的充充要要条条件件是是：推导过程：推导过程：,2121 yyxx ),(),( 2211yxyxba 得得：由由. 01221 yxyx：消消去去 40探究：探究：? . 1时能不能两式相除时能不能两式相除消去消去 ?. 22211xyxy 能不能写成能不能写成? . 3 向量共线

18、有哪两种形式向量共线有哪两种形式41探究：探究：? . 1时能不能两式相除时能不能两式相除消去消去 ?. 22211xyxy 能不能写成能不能写成? . 3 向量共线有哪两种形式向量共线有哪两种形式. 0, 0 0, 2221中至少有一个不为中至少有一个不为，有可能为有可能为不能两式相除，不能两式相除，yxbyy 42探究：探究：? . 1时能不能两式相除时能不能两式相除消去消去 ?. 22211xyxy 能不能写成能不能写成? . 3 向量共线有哪两种形式向量共线有哪两种形式. 0 , ,21有可能为有可能为不能不能xx. 0, 0 0, 2221中至少有一个不为中至少有一个不为，有可能为有

19、可能为不能两式相除，不能两式相除，yxbyy 43探究：探究：? . 1时能不能两式相除时能不能两式相除消去消去 ?. 22211xyxy 能不能写成能不能写成? . 3 向量共线有哪两种形式向量共线有哪两种形式)0(/ bba ba . 0 , ,21有可能为有可能为不能不能xx. 0, 0 0, 2221中至少有一个不为中至少有一个不为，有可能为有可能为不能两式相除，不能两式相除，yxbyy 44探究：探究：? . 1时能不能两式相除时能不能两式相除消去消去 ?. 22211xyxy 能不能写成能不能写成? . 3 向量共线有哪两种形式向量共线有哪两种形式)0(/ bba ba . 012

20、21 yxyx. 0 , ,21有可能为有可能为不能不能xx. 0, 0 0, 2221中至少有一个不为中至少有一个不为，有可能为有可能为不能两式相除，不能两式相除，yxbyy 45讲解范例讲解范例.,/), 6(),2, 4( ybayba求求且且已知已知 . 1例例46例例2. 已知已知A( 1, 1)，B(1, 3)，C(2, 5)，试判断试判断A，B，C三点之间的位置关系三点之间的位置关系.讲解范例讲解范例472.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例2已知已知a=（2，1），），b=（-3，4），），求求a+b，a-b，3a+4b的坐标的坐标解：解：a+b=（2，1）+（

21、-3，4）=（-1，5）；）；a-b=（2，1）-（-3，4）=（5，-3）；）；3a+4b=3（2，1）+4（-3，4） =（6，3）+（-12，16） =（-6，19）482.3.3 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 例例3已知平行四边形已知平行四边形ABCD的三个顶点的三个顶点A、B、C的的坐标分别为（坐标分别为（2，1）、（）、（ 1，3）、（）、（3，4），求），求顶点顶点D的坐标的坐标解：设顶点解：设顶点D的坐标为（的坐标为（x，y），（），（211321( AB)4 ,3(yxDC ，得得由由DCAB )4,3()2,1(yx yx4231 22yx），的坐标为（的坐标为（顶点顶点22D49小结小结1.1.平面向量基本定理平面向量基本定理: :2.2.向量的夹角向量的夹角: :3.3.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示: :4.4.一个重要结论一个重要结论: :2211eea(0180 ) +axiy j, 1., ,OPmOAnOBmnA B P 若且则三点共线.5.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算5051