§13 极限四则运算法则 函数的连续性.ppt

《&amp#167;13 极限四则运算法则 函数的连续性.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《&amp#167;13 极限四则运算法则 函数的连续性.ppt（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、,1.1 函数,1.2 极限的概念,1.3 极限的四则运算法则 与函数的连续性,1.4 复利与贴现,学习目标,教学建议,第一章 函数与极限,一. 极限的四则运算法则,二. 函数连续的定义,1.3 极限的四则运算法则 与函数的连续性,一. 极限的四则运算法则,设 , , 则,.,(1)代数和的极限 存在, 且,(2)乘积的极限 存在, 且,.,.,特别地, 有(i) 常数因子 可提到极限符号的前面, 即,(ii) 若 是正整数, 有,.,设 , , 则,(3) 若 ,商的极限 存在, 且,.,要注意极限的四则运算 法则使用的前提条件！,和的极限 =极限的和,解 由极限的四则运算法则,原式,常数因

2、子可提到极限符号之前,.,由该题计算结果知，对多项式,有,不能直接用极限的四则运算法则,解 显然, 分子与分母的极限都是0.,原式,应将分子分母分解因式,约去极限为0的公因子,商的极限 =极限的商,解 由幂的运算性质,于是,幂的极限 =极限的幂,1.4中计算复利及贴现时要用到求该类极限.,解 由幂的运算性质,于是,原式,积的极限 =极限的积,对函数 ,若自变量由 改变到 ,自变量实际改变了 ,这时,函数值相应地由 改变到 ,若记 为函数相应的改变量,则,二. 函数连续的定义,某人爬山. 在图中的蓝色山体部分, 该人沿山体向前挪动一小步,他在水平方向前进了 ,在垂直方向上升了 ,显然当 时,有

3、这时, 我们说该蓝色山体是连续的.,而在 点,该人若在水平方向前进很微小的一点,垂直方向就要上升很多,即当 时,不会有这时, 我们说该山体在 处不连续.,由图可看出, 在 处, 当 很微小时, 也很微小.,特别当 时, 也有 .这就是函数 在点 处连续的实质.,在 处,曲线断开,作为曲线上的点的横坐标 从 左侧近旁变到右侧近旁时,曲线上的点的纵坐标 呈现跳跃,即在 处,当自变量有微小改变时,相应的函数值 有显著改变.,设函数 在点 及其左右邻近有定义,若,则称函数 在点 处连续, 称 为该函数的连续点.,于是上式等价于,(1)函数 在点 及其左右邻近有定义；,(2)极限 存在；,(3)极限 的

4、值等于该点的函数值,函数在一点连 续的三个条件:,函数在一点连 续的三个条件:,(1)函数 在点 及其左右邻近有定义；,(2)极限 存在；,(3)极限 的值等于该点的函数值,上述三个条件之一不满足,函数 在点 处就不连续,称 是函数 的不连续点,即间断点.,练习5 求函数 的间断点.,解 对 ,由于在 和 均没有定义,而在 和 的左右邻近有定义,即上述三个条件中的条件(1)不满足,故 和 是函数的间断点.,由函数 在点 左极限与右极限的定义,可以得到函数 在点 左连续与右连续的定义:,若 ,则称函数 在点 处左连续.,若 ,则称函数 在点 处右连续.,函数 在点 处连续的,即,是:函数 在点

5、处,既左连续又右连续.,练习6 设函数 讨论 在 处的连续性.,解 这是分段函数, 是其分段点.因 ,又,所以函数在 处右连续, 但不左连续, 从而它在 不连续,函数在区 间上连续:,若函数 在区间 上每一点都连续,则称函数 在 上连续, 或称 为 上的连续函数.,初等函数在其有定义的区间内都是连续的,函数在闭区 间上连续:,函数 在闭区间 上连续是指, 函数 在开区间 上连续; 且在端点 处右连续, 在端点 处左连续, 即有:,初等函数在其有定义的区间内都是连续的,根据这一结论, 求初等函数在其定义区间内某点 的极限时,只要求出该点的函数值即可.,例如,求,初等函数,在 处有定义,由初等函数的连续性,