§4 线性规划方法 课件.ppt
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1、第二节 地统计分析方法,一、地统计方法的基本原理 (一)区域化变量 (二)协方差函数 (三)变异函数 (四)克立格插值方法 二、应用实例,地统计学是以区域化变量理论为基础,以变异函数为主要工具,研究那些在空间分布上既有随机性又有结构性,或空间相关和依赖性的自然现象的科学。 协方差函数和变异函数是以区域化变量理论为基础建立起来的地统计学的两个最基本的函数。地统计学的主要方法之一,克立格法就是建立在变异函数理论和结构分析基础之上的。,当一个变量呈现为空间分布时,就称之为区域化变量(Regionalized Variable)。这种变量常常反映某种空间现象的特征,用区域化变量来描述的现象称之为区域化
2、现象。区域化变量,亦称区域化随机变量,G. Matheron(1963)将它定义为以空间点x的三个直角坐标为自变量的随机场 。 区域化变量具有两个最显著,而且也是最重要的特征,即随机性和结构性,一、地统计方法的基本原理,(一)区域化变量,(二)协方差函数,1.协方差函数的概念 区域化随机变量之间的差异,可以用空间协方差来表示。区域化变量 在空间点x和x+h处的两个随机变量和的二阶混合中心矩定义为Z(x)的自协方差函数,即,协方差函数的计算公式为:式中:h为两样本点空间分隔距离或距离滞后, 为 在空间位置 处的实测值, 是 在 处距离偏离h的实测值i=1,2, , 是分隔距离为h时的样本点对(P
3、aris)总数, 和 分别为 和 的样本平均数。,2.协方差函数的计算公式,若 = =m(常数),则上式可以改写为:式中:m为样本平均数,可由一般算术平均数公式求得,即:,(三)变异函数,1.变异函数的概念 变异函数(Variograms),又称变差函数、变异矩,是地统计分析所特有的基本工具。在一维条件下变异函数定义为,当空间点x在一维x轴上变化时,区域化变量Z(x)在点x和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的一半为区域化变量Z(x)在x轴方向上的变异函数,记为(h),即,在二阶平稳假设条件下,对任意的h有因此,公式可以改写为 从上式可知,变异函数依赖于两个自变量x和h,当变异函数 仅
4、仅依赖于距离h而与位置x无关时, 可改写成 ,即:,2.变异函数的性质设Z(x)是区域化变量,在满足二阶平稳假设条件下,变异函数式具有如下性质:(1) =0,即在h=0处,变异函数为0;(2) = ,即 关于直线h=0是对称的,它是一个偶函数;(3) 0,即 只能大于或等于0;,(4)|h|时, c(0),或 =c(0),即当空间距离增大时,变异函数接近先验方差 (5)- 必须是一个条件非负定函数,由- 构成的变异函数矩阵在条件 时,为非负定的。,3.变异函数的计算公式,设 是系统某属性Z在空间位置x处的值, 为一区域化随机变量,并满足二阶平稳假设,h为两样本点空间分隔距离, 和 分别是区域化
5、变量 在空间位置 和 处的实测值i=1,2,N(h),那么,变异函数 的离散计算公式为,这样对不同的空间分隔距离h,计算出相应的 和 值。如果分别以h为横坐标, 或 为纵坐标,画出协方差函数和变异函数曲线图,就可以直接展示区域化变量Z(x)的空间变异特点。可见,变异函数能同时描述区域化变量的随机性和结构性,从而在数学上对区域化变量进行严格分析,是空间变异规律分析和空间结构分析的有效工具。,例如,假设某地区降水量Z(x)(单位:mm)是二维区域化随机变量,满足二阶平稳假设,其观测值的空间正方形网格数据如图4.2.1所示(点与点之间的距离为h=1km)。试计算其南北方向及西北和东南方向的变异函数。
6、,图4.2.1 空间正方形网格数据(点间距h=1km),从图4.2.1可以看出,空间上有些点,由于某种原因没有采集到。如果没有缺失值,可直接对正方形网格数据结构计算变异函数;在有缺失值的情况下,也可以计算变异函数。只要“跳过”缺失点位置即可(见图4.2.2)。,首先计算南北方向上的变异函数值,由变异函数的计算公式可得: =385/72=5.35,图4.2.2 缺失值情况下样本数对的组成和计算过程,为缺失值,同样计算出最后,得到南北方向和西北东南上的变异函数计算结果见下表。同样可以计算东西方向上的变异函数。,4.变异函数的参数,变异函数有四个非常重要的参数,即基台值(Sill)、变程(Range
7、)或称空间依赖范围(Range of Spatial Dependence)、块金值(Nugget)或称区域不连续性值(Localized Discontinuity)和分维数(Fractal Dimension)。 前3个参数可以直接从变异函数图中得到。它们决定变异函数的形状与结构。变异函数的形状反映自然现象空间分布结构或空间相关的类型,同时还能给出这种空间相关的范围。,当变异函数随着间隔距离h的增大,从非零值达到一个相对稳定的常数时,该常数称为基台值C0+C,当间隔距离h=0时,(0)= C0,该值称为块金值或块金方差(Nugget Variance)。基台值是系统或系统属性中最大的变异,
8、变异函数达到基台值时的间隔距离a称为变程。变程表示在ha以后,区域化变量Z(x)空间相关性消失。块金值表示区域化变量在小于抽样尺度时非连续变异,由区域化变量的属性或测量误差决定。,C0,C0+C2,(h),上述三个参数可从变异函数曲线图直接得到,或通过估计曲线回归参数得到。第4个参数,即分维数用于表示变异函数的特性,由变异函数 和间隔距离h之间的关系确定: 分维数D为双对数直线回归方程中的斜率,它是一个无量纲数。分维数D的大小,表示变异函数曲线的曲率,可以作为随机变异的量度。但该随机分维数D与形状分维数有本质的不同。,5.变异函数的理论模型,地统计学将变异函数理论模型分为三大类:第一类是有基台
9、值模型,包括球状模型、指数模型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金效应模型;第二类是无基台值模型,包括幂函数模型、线性无基台值模型、抛物线模型;第三类是孔穴效应模型。下面有代表性地介绍几种常见的变异函数理论模型。,(1)纯块金效应模型。其一般公式为:式中:c00,为先验方差。该模型相当于区域化变量为随机分布,样本点间的协方差函数对于所有距离h均等于0,变量的空间相关不存在。,(2)球状模型。其一般公式为: 式中:c0为块金(效应)常数,c为拱高,c0+c为基台值,a为变程。当c0=0,c=1时,称为标准球状模型。球状模型是地统计分析中应用最广泛的理论模型,许多区域化变量的理论模型都可以用该模型
10、去拟合。,(3)指数模型。其一般公式为:式中:c0和c意义与前相同,但a不是变程。当h=3a时, ,即 ,从而指数模型的变程 约为 。当c0=0,c=1时,称为标准指数模型。,(4)高斯模型。其一般公式为:式中:c0和c意义与前相同,a也不是变程。当 时, ,即 ,因此高斯模型的变程 约为 。当 时,称为标准高斯函数模型。,(5)幂函数模型。其一般公式为: 式中:为幂指数。当变化时,这种模型可以反映在原点附近的各种性状。但是必须小于2,若 ,则函数 就不再是一个条件非负定函数了,也就是说它已经不能成为变异函数了。,(6)对数模型。其一般公式为: 显然,当 ,这与变异函数的性质不符。因此,对数模
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