§37 傅立叶变换的基本性质.ppt

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1、1,根据傅里叶变换的概念，一个非周期信号可以表述为指数函数的积分， 即,3.6 Properties of Fourier Transform,2,线性 Linearity奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry对称性 Duality尺度变换特性 Time Scaling时移特性和频移特性 Time and Frequency Shifting微分和积分特性 Differentiation and Integration卷积定理 Convolution PropertyPaseval定理 Pasevals Relation,3.6 傅里叶变换的性质,3,

2、1、线性 Linearity,若则,若,且设a1, a2为常数，则有,说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。,4,5,2、 奇偶虚实性 Conjugation and Conjugate Symmetry,无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均成立,时域反摺频域也反摺,时域共轭频域共轭并且反摺,6,(一)、f(t)是实函数,实函数的傅立叶变换的实部为偶函数，而虚部为奇函数,7,f(-t)的频谱,实部为偶函数，虚部为奇函数,8,实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数，而相位谱为奇函数,9,若 是实偶函数，则 是t的奇函数， ，因此频谱函数 是 的实偶函数。若 是实奇函数，则 是t的偶函

3、数， ，因此频谱函数 是 的虚奇函数。,10,(二)、f(t) = jg(t)是虚函数,11,Ex：实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数,12,例：实奇函数的傅立叶变换为虚奇函数,13,3、对称性 Duality,若已知则,证明：,14,若f(t)为偶函数，则直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子,15,例3-6：,16,4、尺度变换特性 Time Scaling,若则,17,证明：根据定义，有令 ,则 ，当 时当 时,18,19,5、时移特性 Time Shifting,若 则证明：,20,21,带有尺度变换的时移特性,若a 0,则有绝对值,22,Ex: Find the Fourier Tran

4、sform of (tt0) 。,23,Ex：Find the spectrum of 3 impulses.,单脉冲 的频谱为则有如下三脉冲信号其频谱为,24,25,6、频移特性 Frequency Shifting,若则证明同理,26,Ex: Find the Fourier Transform of 。,以上结果表明，信号频谱沿 轴，向左，右平移 ，相当于信号在时域分别乘以因子 ， 。,27,Ex：Determine and sketch the spectrum of Sin and Cos.根据欧拉公式有 再由傅立叶变换的频移特性,28,调幅信号（AM）的频谱（载波技术）,求：,的频

5、谱？,调制：Modulation carrier,29,载波频率,30,频移特性,31,调幅信号都可看成乘积信号,矩形调幅,频移特性产生频谱的搬移，也称为调制特性。幅度调 制是将信号 乘以一高频的正弦或者余弦信号，该过程在时域中表现为信号 改变了正弦或余弦信号的幅度，在频域中则使 的频谱产生搬移。在幅度调制中，将携带信息的信号 称为调制信号，高频的正弦或余弦信号称为载波，两者相乘的信号称为已调信号。,32,Ex：Determine the spectrum of Rect. AM signal .Sl: 已知矩形脉冲 的频谱 为由可知,33,34,调制与解调Modulate and Demod

6、ulate,调制：,相乘,35,解调：,相乘,低通,36,37,A+g(t),38,7、时域微分特性Differentiation in time-domain,若则,39,时域微分特性的证明,两边对t求导,40,例3-10：三角脉冲,41,三角脉冲 的频谱,方法一：代入定义计算（如前面所述）方法二：利用二阶导数的FT,FT,42,8、频域微分特性：,43,例3-12 ：求斜变信号t u(t)的傅立叶变换。,44,9、时域积分特性 Integration,若则其中，若 则：,45,时域积分特性的证明,46,求斜平信号 的频谱？,看成高 ，宽 的矩形脉冲 的积分,47,无时移FT,FT,FT,4

7、8,FT of unit step signal,49,9. 卷积定理 Convolution property,若则,时域 卷积定理,50,证明：所以,51,例：已知系统冲激响应h(t)及e(t)的波形，试用卷积定理求在e(t)作用下系统的零状态响应r(t).,解：系统对激励e(t)的零状态响应为 r(t)=e(t)*h(t),直接按时域卷积的方法可得,，为一三角脉冲设 ，应用时域卷积定理，有,52,卷,乘,53,频域 卷积定理,若则,54,Ex：Find the spectrum of cosine impulse。,55,56,利用卷积证明,57,求图中所示的三角调幅波信号的频谱,58,

8、59,10 Parsevals Relation,If f(t) and F(w) are a Fourier Transform pair, then,E=computing energy per unit time, integrating over all time = computing energy per unit freq., integrating over all freq.,-Energy- density spectrum,能量谱密度or 能量谱,反映了信号的能量在频域的分布情况,for aperiodic signal,60,Ex: For the given Fourier transforms, evaluate the time-domain expressions:,61,Problem: Determine the total energy of,evaluate from frequency-domain:,62,HW1: 6, 7(1)(2), 10(3), 13(4,5,6), 18 , HW2: 15(a)(b), 16(b), 17, 19, 22, 28, 29,