第一节 对弧长的曲线积分.ppt

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1、第十一章积分学 定积分二重积分三重积分积分域 区 间 平面域 空间域 曲线积分曲线积分曲线弧曲线弧曲面域曲面域曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分曲面积分曲线积分与曲面积分 目录 上页 下页 返回 结束 第一节一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法对弧长的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 AB一、对弧长的曲线积分的概念与性质一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在空间所占弧段为AB , 其线密度为),(zyx“大化小,

2、 常代变, 近似和, 求极限” kkkks),(可得nk 10limM为计算此构件的质量,ks1kMkM),(kkk1.1.引例引例: 曲线形构件的质量采用目录 上页 下页 返回 结束 设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数, kkkksf),(都存在,),(zyxf 上对弧长的曲线积分,记作szyxfd),(若通过对 的任意分割局部的任意取点, 2. .定义定义是定),(zyxf下列“乘积和式极限”则称此极限为函数在曲线或第一类曲线积分.),(zyxf称为被积函数， 称为积分弧段 .曲线形构件的质量szyxMd),(nk 10limks1kMkM),(kkk和对目录 上页

3、下页 返回 结束 如果 L 是 xOy 面上的曲线弧,kknkksf),(lim10Lsyxfd),(如果 L 是闭曲线 , 则记为.d),(Lsyxf则定义对弧长的曲线积分为思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, ?d 表示什么问Ls(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中dx 可能为负.目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质szyxfd),() 1 ( （, 为常数)szyxfd),()2( 由 组成) 21,则上设在),(),()3(zyxgzyxf( l 为曲线弧 的长度),(zyxgszyxfd),(sz

4、yxgd),(l21d),(d),(szyxfszyxfszyxgszyxfd),(d),(sd)4(目录 上页 下页 返回 结束 tttttfsyxfLd)()()(, )(d),(22二、对弧长的曲线积分的计算法二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路基本思路:计算定积分转 化定理定理:),(yxf设且)()(tty上的连续函数,证证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分),(:txL,d),(存在Lsyxf求曲线积分根据定义 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(目录 上页 下页 返回 结束 kknkksf),(lim10Lsyxfd),(, ,1kkktt点),(kktttskkttkd

5、)()(122,)()(22kkktnk 10limLsyxfd),(kkkt)()(22 )(, )(kkf连续注意)()(22tt设各分点对应参数为), 1 ,0(nktk对应参数为 则,1kkkttnk 10limkkkt)()(22 )(, )(kkf目录 上页 下页 返回 结束 xyOxdydsdLsyxfd),(tttttfd)()()(),(22说明说明:, 0, 0) 1 (kkts因此积分限必须满足!(2) 注意到 22)(d)(ddyxstttd)()(22x因此上述计算公式相当于“换元法”. 因此目录 上页 下页 返回 结束 如果曲线 L 的方程为),()(bxaxy则有

6、Lsyxfd),(如果方程为极坐标形式:),()(: rrL则syxfLd),()sin)(,cos)(rrf推广推广: 设空间曲线弧的参数方程为)()(, )(),(:ttztytx则szyxfd),(ttttd)()()(222xx d)(12d)()(22rrbaxxf) )(,()(),(, )(tttf目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLsy其中 L 是抛物线2xy 与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解解:)10(:2xxyLLsyd10 xxxd)2(12xxxd4110210232)41 (121x)155(121上点 O (0,0)O1Lxy2xy ) 1

7、, 1 (B目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解解: 建立坐标系如图,R xyOLsyILd2d)cos()sin(sin2222RRRdsin23 R0342sin22 R)cossin(3 R则 )(sincos:RyRxL目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dsxIL其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx解解: 在极坐标系下它在第一象限部分为)40(2cos:1arL利用对称性 , 得sxILd414022d)()(cos4rrr402dcos4a222a,2cos

8、:22arLOyx44目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算曲线积分 ,d)(222szyx其中 为螺旋的一段弧.解解: szyxd)(22220222)()sin()cos(t ktatattkakad202222202322223tktaka)43(3222222kakatktatad)cos()sin(222)20(,sin,costtkztaytax线目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 计算,d2sx其中 为球面 2222azyx被平面 所截的圆周. 0zyx解解: 由对称性可知sx d2szyxsxd)(31d2222sa d312aa2312332asy d2sz d2目

9、录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 例5中 改为0)1()1(2222zyxazyx计算?d2sx解解: 令 11zZyYxX0 :2222ZYXaZYX, 则sx d2sXd) 1(2sXd2332a)131(22aasX d2sda2圆 的形心在原点, 故0XaX22, 如何利用形心公式目录 上页 下页 返回 结束 d d s例例6. 计算,d)(222szyxI其中 为球面解解: , 11)(:24122121zxyx:202)sin2(2)cos2(2)sin2(18d22920Id2cos221z. 1的交线与平面 zx29222zyx化为参数方程 21cos2x sin2y则目

10、录 上页 下页 返回 结束 例例7. 有一半圆弧cosRx ),0(其线密度 ,2解解:cosdd2RskFxdcos2Rksindd2RskFydsin2RkORRxy0dcos2RkFx0dsin2RkFy0cossin2RkRk40sincos2RkRk 2故所求引力为),(yx,sinRy 求它对原点处单位质量质点的引力. RkRkF2,4目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 定义定义kkknkksf),(lim10szyxfd),(2. 性质性质kknkksf),(lim10Lsyxfd),(szyxgzyxfd),(),() 1 (21d),(d),(),()2(sz

11、yxfszyxfszyxfd),(21组成由ls d)3( l 曲线弧 的长度)szyxfd),(),(为常数szyxgd),(目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算计算 对光滑曲线弧, )( , )(, )(:ttytxLLsyxfd),( 对光滑曲线弧, )()(:bxaxyLLsyxfd),(baxxf) )(,(),()(: rrLLsyxfd),()sin)(,cos)(rrf 对光滑曲线弧tttd)()(22xx d)(12d)()(22rr)(),(ttf目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 已知椭圆134:22yxL周长为a , 求syxxyLd)432(2

12、2提示提示:0d2sxyL原式 =syxLd)34(1222sLd12a12O22yx3利用对称性sxyLd2sxyLd2上sxyLd2下x2xyd1222)(2xxyd1222分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,sin,costaytax),20(tt kz(1) 求它关于 z 轴的转动惯量;zI(2) 求它的质心 .解解: 设其密度为 (常数).syxILzd)(22202atkad222222kaa(2) L的质量smLd222ka 而sxLd22kaa20dcostt0(1)目录 上页 下页 返回 结束 syLd22kaa20dsintt0szLd

13、22kak20dtt2222kak故重心坐标为),0,0(k作业作业P188 3 (3) , (4) , (6) , (7)5 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 设 C 是由极坐标系下曲线, ar 0及4所围区域的边界, 求sICyxde222e)24(aa提示提示: 分段积分xIaxde0de40aaxaxd2e202xyOa4xy 0yar ddas 目录 上页 下页 返回 结束 2. L为球面2222Rzyx标面的交线 , 求其形心坐标. 在第一卦限与三个坐解解: 如图所示 , 交线长度为ORzyxRR1L3L2LslLd31423R23 R由对称性 , 形心坐标为

14、321d1LLLsxlxyz321ddd1LLLsxsxsxl1d2Lsxl20dcos2RRl34R目录 上页 下页 返回 结束 第二节一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念 与性质与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 第十一章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xOy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移cosABFW “大化小” “常

15、代变”“近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxFABLxyO目录 上页 下页 返回 结束 1kMkMABxy1) “大化大化小小”.2) “常代变常代变”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有(,)(,)kkkkkPxQyk所做的功为,kWF 沿kkMM11(,)kkkkkWFMM),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykxO目录 上页 下页 返回 结束 3) “近似和近似和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP)

16、,(),(nkW10lim(,kkkkkkP ) xQ( ) y(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)1kMkMABxyL),(kkFkykxO目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义定义. 设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, ),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上

17、定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ目录 上页 下页 返回 结束 LxyxPd),(,),(lim10nkkkkxPLyyxQd),(,),(lim10nkkkkyQ若 为空间曲线弧 , 记称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxFzzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 类似地, 目录 上页 下页 返回 结束 3. 性质性质(1) 若

18、 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd

19、)(),(ttQ连续,证明证明: 下面先证LxyxPd),(tttPd )(),()(t存在, 且有目录 上页 下页 返回 结束 对应参数设分点根据定义ix,it),(ii点,i由于1iiixxx)()(1iittiit)(LxyxPd),(tttPd )(),(niiiP10)(, )(limiit)(niiiP10)(, )(limiit)()(tLxyxPd),(niiiixP10),(lim对应参数连续所以)(t因为L 为光滑弧 ,同理可证LyyxQd),(tttQd )(),()(t目录 上页 下页 返回 结束 特别是, 如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPbad

20、)(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yyxL

21、54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到Oyx)1 , 1(B)1, 1( A目录 上页 下页 返回 结束 yxO例例2. 计算其中 L 为,:, 0aaxyBAaa(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则目录 上页 下页 返回 结束 例例3.

22、 计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22 01)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210dy11yxO目录 上页 下页 返回 结束 BAyxzO例例4. 设在力场作用下, 质点由沿 移动到),2,0,(kRB)0, 0,(RA.)2(AB解解: (1)zzyxxydddttkR2022d)(2) 的参数方程为

23、kttzyRx20:,0,ABzzyxxydddktt20d试求力场对质点所作的功.;,sin,cos) 1(tkztRytRx)(222Rk222k其中 为 ),(zxyFsFWdsFWd目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,21:22zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2zyxO目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线

24、积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为)0()(, )(lssyysxx已知L切向量的方向余弦为sysxddcos,ddcos则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(ssysysxQsxsysxPlddd)(),(dd)(),(0ssysxQsysxPldcos)(),(cos)(),(0LsyxQyxPdcos),(cos),(目录 上页 下页 返回 结束 类似地, 在空间曲线 上的两类曲线积分的联系是zRyQxPdddsRQPdcoscoscos令tAsAtd, ),(RQPA )d,d,(ddzyxs )cos,cos,(c

25、ostsA dsA dstAd记 A 在 t 上的投影为目录 上页 下页 返回 结束 二者夹角为 例例6. 设,max22QPM曲线段 L 的长度为s, 证明),(, ),(yxQyxP续,sMyQxPLdd证证:LyQxPddsQPLdcoscos设sMsQPLdcoscos说明说明: 上述证法可推广到三维的第二类曲线积分.在L上连 )cos,(cos, ),(tQPAstALdsALdcos目录 上页 下页 返回 结束 例例7. .将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：OyxB,22xxyxxxxyd21d2s

26、dxyd12xxxd212sxddcos,22xx syddcosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx )1(x其中L 沿上半圆周目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义kkkknkyQxP),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结

27、目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPbad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(目录 上页 下页 返回 结束 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd

28、 对空间有向光滑弧 :目录 上页 下页 返回 结束 F原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1. 设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到, ),0(bBO),(yxMxy)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t(解见 P196 例5), ),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk 思考思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 目录 上页 下页 返回 结束 O)0 , 0 , 1

29、(A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Cxyz2. 已知为折线 ABCOA(如图), 计算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P198 3 (2), (4), (6), (7) ; 4 ; 5 ; 7 ; 8第三节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1.解解:OzxyABzkLzyxzzzyyxxk222ddd:L22 tx22 ty1 tz) 10:(t101d3ttk2ln3k)1 ,2,2(A线移动到, )2,4,4(B向

30、坐标原点, 其大小与作用点到 xOy 面的距离成反比.沿直sFWLdF)(0r) 1 , 2 , 2(ABr求 F 所作的功 W. 已知 F 的方向指一质点在力场F 作用下由点222zyxkzjyixzk目录 上页 下页 返回 结束 2. 设曲线C为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0, 0(的交线az从 O x 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分.ddd222zxyzxyC解解: (1)22222)()(aayx222yxaztxaacos22tyasin22sintaz 20:t目录 上页 下页 返回 结束 (2) 原式 =ta38si

31、n3tttadcos)cos1 (2283令tu 20uuuaacoscossin2223833uuuadsin)cos1 (2283利用“偶倍奇零”0232auuudcos2cos134attacossin2223目录 上页 下页 返回 结束 第三节一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件格林公式及其应用 第十一章 *三、全微分方程三、全微分方程目录 上页 下页 返回 结束 LD区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )域 D 边界L 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左定理定理1. 设区域

32、 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成,则有, ),(yxP),(yxQLDyQxPyxyPxQdddd( 格林公式格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,LDyxyQxPyxQPdddd或一、一、 格林公式格林公式目录 上页 下页 返回 结束 证明证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcydOdcyxECBAbaD定理1 目录

33、 上页 下页 返回 结束 即yxxQDddLyyxQd),(同理可证yxyPDddLxyxPd),(、两式相加得:LDyQxPyxyPxQdddd定理1 目录 上页 下页 返回 结束 L2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割1DnD2DnkDyxyPxQk1ddyxyPxQDddnkDkyQxP1ddLyQxPdd为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示kkDD证毕yxO定理1 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式LDyQxPyxyPxQdddd例如例如, 椭圆)20(sincos:byaxL

34、所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab定理1 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明0dd22yxxyxL证证: 令,22xQyxP则yPxQ利用格林公式 , 得yxxyxLdd22022xxDyxdd00目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,dde2Dyyx其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则2e, 0yxQPyPxQ利用格林公式 , 有Dyyxdde2Dyyxde2yxOAyde2yyyde102)e1(2112eyxy yx) 1 , 1 (

35、A) 1 , 0(BDO目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L 所围区域为D,)0 , 0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxLO目录 上页 下页 返回 结束 dsincos2022222rrr2,)0 , 0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D, 对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL

36、1Dl记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得yxO目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域 ,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 沿D 中

37、任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分LyQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP21ddLLyQxP02L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线, 则(根据条件(1)BAyQxPddAByQxPddAB1L定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(dL

38、yQxPdd与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数的全微分,即 证明证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B( x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 在 D 内每一点都有.xQyP(3)yQxPdd ),(yxuy

39、QxPyxudd),(d在 D 内是某一函数的全微分,即 xyuyxu22所以证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD (如图) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕 (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0ddLyQxP(4) 在 D 内每一点都有.xQyP定

40、理2 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 根据定理2 , 若在某区域D内,xQyP则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(0则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;yx0y0 xOxy定理2 目录 上页 下页 返回 结束 4) 若已知 d u

41、 = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲BAyyxQxyxPd),(d),(ABu定理2 )()(AuBu线 AB ,有yyxQxyxPABd),(d),(注注: 此式称为曲线积分的基本公式曲线积分的基本公式(P211定理4). babaxFxxf)(dd)(DAB 它类似于微积分基本公式: BAud)()(xfxF其中)()()(aFbFxFab目录 上页 下页 返回 结束 yA xL例例4. 计算,d)(d)3(22yxyxyxL其中L 为上半24xxy从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,AOD它与L 所围原式yxyxyxAO

42、Ld)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D , 则O6483目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu)0 ,(x 0yyxyd02yyxyd022221yx)0 , 0(),(yx目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令2

43、222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxu 0)0(arctanxxyxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxO目录 上页 下页 返回 结束 xy)0 ,(x)0 , 1(),(yxO),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 设质点在力场作用下沿曲线 L :xycos2由)2,

44、0(A移动到, )0,2(B求力场所作的功W解解:)dd(2Lyxxyrk令,22rxkQrykP则有)0()(22422yxryxkyPxQ可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关. )(22yxr其中),(2xyrkFsFWLdLBAyxO目录 上页 下页 返回 结束 :AB)dd(2yxxyrkWABd)cos(sin2022k)02:(sin2,cos2yxk2思考思考: 积分路径是否可以取?OBAO取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !LBAyxO内容小结 转内容小结目录 上页 下页 返回 结束 判别判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏

45、导数,xQyPDyx),(为全微分方程 则求解步骤求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .*三、全微分方程三、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程.目录 上页 下页 返回 结束 ),(yxyxO例例8. 求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解: 因为yP236yyx ,xQ故这是全微分方程. , 0, 000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)3

46、3(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0 ,(x法法1目录 上页 下页 返回 结束 0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx求解法法2 此全微分方程的通解为 yu,)(2yy Cyxu),(xu, 则有)(d)35(),(324yxyyxxyxu待定，)()(233225yyyxyxx两边对 y 求导得yu由得与比较得331)(yy 取因此方程的通解为Cyyxyxx33225312332435yyxx22233yyxyx)(3322yyxyx目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求解0d1d)(2yxxxyx解解:21xy

47、P 这是一个全微分方程 .用凑微分法求通解. 将方程改写为0ddd2xxyyxxx即, 0d21d2xyx故原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何解方程?0dd)(3yxxyx这不是一个全微分方程 ,12x就化成例9 的方程 .,0),(yx使0d),(),(d),(),(yyxQyxxyxPyx为全微分方程,),(yx则称在简单情况下, 可凭观察和经验根据微分倒推式得到为原方程的积分因子.但若在方程两边同乘注注:若存在连续可微函数 积分因子.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 格林公式LyQxPdd2. 等价条件在

48、D 内与路径无关.yPxQ在 D 内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对 D 内任意闭曲线 L 有0ddLyQxP在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有为全微分方程0ddyQxP目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设,4:, 1:222412yxlyxL且都取正向, 问下列计算是否正确 ?Lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Dd5415Lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示提示:时022 yxyPxQ) 1(yPxQ)2(LO2y1x2lD目录 上页

49、 下页 返回 结束 2. 设, )56,4(),(42234yyxxyxyxugradgrad).,(yxu求提示提示:),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422),(yxuOyx),(yx)0 ,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy 5xxyxd)4(34yyyxd)56(422),()0 , 0(yxC作业作业P212 2 (1) ; 3 ; 4 (3) ; 5 (1) , (4) ； 6 (2) ,(5) ; *8 (2), (4), (7) ; 9第四节 目录 上页 下页 返回 结束 CCCDOyxaaC 备用题备用题 1. 设 C 为沿

50、yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点), 0(a依逆时针), 0(a的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =321aaayayd)ln2(D222xaya222xayyxddC到点目录 上页 下页 返回 结束 D2. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到Dyxdd2点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知 故所求功为AByxxyddABBAABxxxd) 1(3122 锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为AB)dd(yxxy) 1(21334xyAB的方程F求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990