曲线积分 习题课.ppt

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1、曲线积分曲线积分 习题课习题课一、主要内容一、主要内容曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定义定义性质性质计算公式计算公式两者关系两者关系曲线积分曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分定义实质 分、粗、和、精 分、粗、和、精背景 曲线形构件的质量 变力沿曲线作功性质 线性、可加、无方向 可加、有方向计算 一代、二换、三定限 一代、二换、三定限联系iiiniLsfdsyxf ),(),(10lim ),(),(10limiiiiiniiLyQxPdyQPdx LLdsQPdyQPdx)coscos( 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条

2、条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数, ,则则以以下下四四个个命命题题成成立立. . LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1( CDCQdyPdx闭曲线闭曲线, 0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系曲线积分曲线积分定积分定积分计算计算重积分重积分Green公式计算计算曲面积分曲面积分Guass公式公式计算计算Stokes公式公式积分概念的联系积分概念的联系点函数点函数)(,)(lim)(10MfM

3、fdMfnii 定积分定积分.)()(,1 badxxfdMfbaR 时时上区间上区间当当二重积分二重积分.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上区域上区域当当理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系 baaFbFdxxf)()()(牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系dyQPdxdyPxQLD )(格林公式格林公式关于第二类曲线积分的计算关于第二类曲线积分的计算若曲线封闭，首先考虑使用若曲线封闭，首先考虑使用Green公式公式若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封闭，若曲线不封闭，可考虑添加辅助曲线使之封

4、闭，然后再使用然后再使用Green公式公式此时应注意两点：辅助线上的积分应容易此时应注意两点：辅助线上的积分应容易计算，辅助线的方向与曲线的方向相容，计算，辅助线的方向与曲线的方向相容，化成第一类曲线积分计算化成第一类曲线积分计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算按第二类曲线积分的计算公式直接计算例例 2 2 计算计算 LdyyxdxxyxI)()2(422, , 其中其中L为由点为由点) 0 , 0 (O到点到点) 1 , 1 (A的曲线的曲线xy2sin . . 二、二、典型例题典型例题解解 dyyxdxxyxI)()2(422由由xxyxyyP2)2(2 知知xyo11AxyxxxQ2)

5、(42 104102)1(dyydxx故原式故原式.1523 xQyP 例例 3 3 计算计算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, , 其中其中L为由点为由点)0 ,(a到点到点)0 , 0(的上半圆周的上半圆周0,22 yaxyx. . 解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xQyP ( (如下图如下图) )xyo)0 ,(aAM AMOAAOAOAOLIdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(00 medxxaAO, 0 AMOAAOI082 am.82am Lyxdyyxdxyx22)()(其中其中L

6、为为不包围也不通过原点的任意闭曲线不包围也不通过原点的任意闭曲线以原点为中心的正向单位圆周以原点为中心的正向单位圆周包围原点的任意正向闭曲线包围原点的任意正向闭曲线解解 22yxyxP 22yxxyQ 22222)(2yxxyyxyPxQ 若若D )0 , 0(则由则由Green公式公式 LQdyPdx0例例4 计算计算若若D )0 , 0(则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周则以原点为心，作一半径充分小的正向圆周0 记记L和和 所为成的区域为所为成的区域为D1 ，由，由Green公式公式0 dxdyyPxQQdyPdxQdyPdxLD)(01 LQdyPdxQdyPdx0 dttrtrtr

7、trtrtrtrtr 2022)sin()cos()cos)(cossin()sin)(sincos( 2 L122 yx,sin,costytx 20 tdtttttttttI 2022sincos)(coscos(sin)sin)(sin(cos 2 xQyP 在原点不连续，在原点不连续，记记L和和 所为成的区域为所为成的区域为D1 ，由，由Green公式公式 以原点为心，作一半径充分小的正向圆周以原点为心，作一半径充分小的正向圆周 LQdyPdxQdyPdx 2 由于由于 L 所围区域包含原点所围区域包含原点解解)()(22212222 yxyxyyxyP )(2)(211223222 yxxyxxyxQ令令xQyP 得得0)(12(22 yx 由由210 y 0 y使得在不经过使得在不经过的值的值dyyyxxdxyyxxIL 222222)()( 的区域上的区域上与路径无关与路径无关并求当并求当L为从为从A （1，1）到）到B（0，2）时的值。）时的值。例例5 确定参数确定参数 A(1,1)B(0,2)ACB如选路径如选路径C(1,2)则则 ACCByxydyxxydxI2222 01222224211dxxxdyyy积分结果不易求出积分结果不易求出DB但如选路径但如选路径A D(0,1)则则 01212120)1(dydxxxI0112x 21