数学建模与数学应用.ppt

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1、 第一课第一课 数学建模与数学应用数学建模与数学应用 数学建模的含意o 数学模型：由实际问题归结为的数学问题o 数学建模：对实际问题加以简化、抽象，提出假设，归结为数学问题，解决，并加以检验的全过程数学建模的一般步骤o 准备o 假设o 建模o 解模o 验证和讨论o 应用数学建模是不同层次数学教学的重要内容 o 大学普遍开设数学建模课程o 中国大学生数模竞赛和美国大学生数模竞赛o 上海市的中学生数学知识应用竞赛o 高中数学课程标准：数学学习的一种新的方式 n 自主学习n 体验知识的联系，增强数学应用意识n 培养学习数学的兴趣n 提高应用、创新能力、综合能力、团队精神数学建模与解应用题的不同处o

2、假设是数学建模的一部分o 由实际检验数学建模的结论o 数学建模教学的功能更多n 综合性应用知识n 创新意识的培养n 团队精神的培养数学建模的简单例子o 冲洗蔬菜上残留农药的方法o 太阳系行星位置的数学模型冲洗蔬菜上残留农药的方法o 刚从田里采摘下来的蔬菜上有残留的农药，需要用水清洗o 现在有4公斤的水，要冲洗一袋蔬菜o 有两种冲洗方案：一种是将4公斤的水一次冲洗；另一种是分两次冲洗，每次冲洗用水2公斤o 已知1公斤的水冲洗一次，可使蔬菜上残留农药为原来的1/2o 问哪种冲洗方案可使蔬菜上残留农药量比较少？问哪种冲洗方案可使蔬菜上残留农药量比较少？ 分析o 用于冲洗的水越多，洗掉的农药也越多，但

3、总还有残留农药在蔬菜上o 冲洗次数越多，洗掉的农药也越多 o 关键所在：残留农药与冲洗用水量之间的函数关系 残留农药y与冲洗用水量x的关系 p y是冲洗前后农药残留量之比 p y随x增大而减小p y（1）=0.5， y（0）=1p 已知的信息还不足以确定残留农药与冲洗用水量之间的函数关系 p 可以假设某些函数关系加以讨论取两种函数形式讨论o 函数形式不同o 满足函数要求o 结轮相同讨论o 函数相同，自变量范围不同可能结轮不同o 不排除其他形式的函数可能有不同的结轮o 要通过实践检验太阳系行星位置的数学模型行星行星水星水星金星金星地球地球火星火星木星木星土星土星距离距离3.97.210.015.

4、252.095.3分析上述数据，你会得到什么结论？分析上述数据，你会得到什么结论？动画动画假设假设o 在太阳系中尚有未发现的行星在太阳系中尚有未发现的行星o 太阳系的行星离太阳的距离可以用简单的太阳系的行星离太阳的距离可以用简单的数列表示数列表示, 2 .15 ,10 , 2 . 7 , 9 . 34321BBBB3 .95 , 0 .52mlBB3 .95 , , 0 .52 , , 2 .15 ,10 , 2 . 7 , 9 . 3kB博德公式（1766年）4232nnB理论公式和实际对比行星行星n理论距离理论距离实际距离实际距离水星水星例外例外43.9金星金星277.2地球地球31010

5、.0火星火星41615.2小行星小行星52827.6木星木星65252.0土星土星710095.3天王星天王星8192192海王星海王星9388301冥王星冥王星107723961782年1801年1846年1903年太阳系八大行星太阳系八大行星曾经作为太阳系第九大行星冥王星，曾经作为太阳系第九大行星冥王星，在在2006年年8月月24日于布拉格举行的日于布拉格举行的第第26 届国际天文联会中通过的第届国际天文联会中通过的第 5 号决议中被划为矮行星，并命名为小号决议中被划为矮行星，并命名为小行星行星134340号，号， 从太阳系九大行从太阳系九大行星中被除名。现在太阳系只有八大行星中被除名。现

6、在太阳系只有八大行星。所有涉及星。所有涉及“九大行星九大行星”的内容应的内容应改为改为“八大行星八大行星”。第二课第二课 足球最佳射门位置足球最佳射门位置问题的提出张角的概念张角公式的推导xbtanarcxaarctan达到最大值使求 arctanarctan , xaxbx ， 。 求射门的最佳位置o 的表达式含有反三角函数，直接求最值有困难o tan 是 的增函数o 求tan 的最大值xaxbarctanarctan求tan 的最大值xabxabtantan1tantan)tan(tan的最小值求 xabx的最小值求 xabx时等号成立当且仅当 , 2 xabxabxabx讨论讨论1o 当

7、球员在沿平行于边线且离边线距离为 d 的直线上向对方球门进攻时，他最佳的射门位置在何处?。)( , , dbdaxbdbada代替代替只要用讨论讨论2o 如果足球运动员是沿一条和球门中心连线成某一个角度的斜线进攻，他在何处射门最有利?xckxackxbxab)()(tanxcacbkbacxk)()2()1 ( 2分母可改写成maxtan 1)( 2时当kcacbx第三课 家具进屋问题例1. 商店一辆送货推车, 长2.2米, 宽1米,能否拐进居民大楼1.5米宽的直角走廊?问题例2. 一条直角走廊宽1.3米, 一件水平截面如右图所示的直角家具ABCDE, 是否能拐进这条直角走廊?家具移动问题的假

8、设o 家具可以连续移动：平行移动、旋转；o 家具不能折卸、翻转，即不能改变家具的外形推车问题分析（动画）关键点是：在推车转弯过程中点关键点是：在推车转弯过程中点M到直线到直线AB的距离的距离是否始终大于推车的宽度是否始终大于推车的宽度1m？写出M点到直线AB的距离公式04501sincos lylxAB的方程：直线|cossincossin|laadABM的距离点到直线求M点到直线AB的距离的极值2/2)45(450)( 00lagg|cossincossin|laadABM的距离点到直线cossincossin)(laag令直角家具问题分析（动画）关键点是：在家具转弯过程中点关键点是：在家具

9、转弯过程中点M到直线到直线BE的距离的距离是否始终大于线段是否始终大于线段CG的长度？的长度？写出点M到直线BE的距离|coscossincos|laadBEM的距离为点到000045,450coscossincos ：的方程：直线lxyBE家具问题小结o 家具连续移动，尽可能地化为比较简单的移动；o 表示这样的移动可以引进参数；o 要找出移动中的关键位置；o 能否顺利移动到指定的位置，往往取决于某些点到家具特定边的距离的大小；o 在实际问题中借助于数值计算，也可以得到正确的结论。思考题第四课第四课 喷灌头的间距喷灌头的间距问题背景o 喷洒灌溉系统和喷漆设备：被喷洒的物体面要求受液均匀o 假设

10、单个喷头喷洒均匀，范围是一个圆域 o 要求确定喷头间距，使地块各点受水最均匀要求确定喷头间距，使地块各点受水最均匀假设o 喷头圆内洒水均匀o 没有一个点同时受到三个或三个以上喷头的喷洒RdRdR2, 有两喷头的间距为设喷洒圆的半径为怎样刻画地块点的受水量？ o 设想地块平移，喷水管不动的情况o 原先在(x,y)处的一点只有当该点移动到喷头的喷洒圆内时受到喷灌o 该点受水量与过该点且平行于y轴的直线与喷洒圆所交的弦长成正比o 在这条直线上的各点受水量相同怎样刻画地块的受水量的均匀性？ o 一点受水量可用弦长表示，该函数只是变量x的函数C(x)o 求C(x)的最值o 用最大值与最小值之差表示受水不

11、均匀度，该指标与两个喷头的间距d有关，记为f(d)o 选择d使f(d)达到最小受水量C(x)的表达式o 视 d 为常数o 由对称性，只考虑x的范围在0到d/2之间o C(x)是一个以d-R为界的分段函数C(x)的最值o 先求C(x)在两个小区间最值o 比较大小后可得C(x)在0,d/2上的最值在0,d-R上C(x)的最值o 是 x 的减函数：弦长单调减小在d-R，d/2上C(x)的最值o 是 x 的增函数：二条弦长之和，增多减少在整个区间上0，d/2上C(x)的最值o 比较两个小区间上最值大小o 最值与 d 有关，此时d为变量M(d)的讨论o M(d)的值是AD(2R)的长度与2|ST|长度中

12、大者o 先看|ST|R的情况o 此时AD2STo 由此位置两圆圆心相离时(即d增大),AD2STo 由此位置两圆圆心相近时(即d 减小),AD2STo M(d) 是一个分段函数M(d)和f(d)的表达式求f(d)在R,2R内的最小值结论Rd33第五课 降低成本的装箱方法降低成本的装箱方法 学生应用数学论文问题提出o 问题实际背景o 装箱方法引起疑问：看来装满，为什么实际数目不多？研究的问题o 不同的装箱方法怎样影响草莓总数？o 有没有节约装箱成本的方法已知信息和假设o 纸箱的长、宽、高的规格有下列三种36cmX36cmX36cm、54cmX24cmX36cm、72cmX18cmX36cm o

13、假设草莓为球形，大小一样，平均3cm观察果农装箱方法o层与层之间：层与层之间：“迭装迭装”和和“错装错装”o每层草莓数：类型每层草莓数：类型1和类型和类型2装两层草莓的高度o “迭装”方法：2do “错装”方法：d)221( 两种类型每层的草莓总数o 将纸箱的尺寸表示为：adXbdXcdo 纸箱的底面为矩形：adXbdo 一层类型1草莓的总数为aXb个o 一层类型2草莓的总数为（a-1）X（b-1）个计算草莓总数o 调整相对位置，使得若干层类型1的装法集中在底层，以后往上类型1和类型2交错出现。这样调整后草莓层数不变，总数不变草莓总数计算o 1n层为类型1装法o 往上类型1和类型2装法交错出现

14、。o 从类型2开始出现（含）以上设总有m层装满箱时草莓总数和箱高cd的关系计算草莓总数公式计算草莓总数步骤o 取n为不大于c的整数o 求满足不等式的最大整数mo 按公式计算草莓总数具体计算结果解释对装箱数目的疑惑对纸箱尺寸的建议o 在相同的周长条件下，底越接近正方形，可装的草莓越多第六课 那契印地安人婚配制度用数学模型研究历史事实的案例探索那契印第安人婚配制度崩溃原因探索那契印第安人婚配制度崩溃原因o 数学模型帮助探索历史o 假设是数学模型成功与否的关键o 假设要合理、繁简恰当，与建立模型相呼应那契印第安人婚配制度那契印第安人婚配制度 父父 亲亲 太阳太阳 贵族贵族 高官高官 下等人 太阳太阳

15、 - - - 太阳太阳 贵族贵族 - - - 贵族贵族 高官高官 - - - 高官高官 母母 亲亲 下等人 贵族贵族 高官高官 下等人下等人 下等人下等人 这种婚配制度为什么会崩溃？这种婚配制度为什么会崩溃？能否用数学模型方法来解释？能否用数学模型方法来解释？对问题的思考o 等级人数发生问题o 定性不能解决的疑惑假设假设o 男女人数相等（全族、各等级）男女人数相等（全族、各等级）o 一对夫妻育有一对子女，男女各一一对夫妻育有一对子女，男女各一o 只和同代人结婚，一夫一妻制、只结婚一次只和同代人结婚，一夫一妻制、只结婚一次代男人数等级的第表示第以kikxi )( 代女人数等级的第也表示第kikx

16、i )()() 1(11kxkx)()() 1(212kxkxkx)()() 1(323kxkxkx)()()() 1(2144kxkxkxkx)() 1(11kxkx)()() 1(212kxkxkx)()() 1(323kxkxkx)()()() 1(2144kxkxkxkx问题归结为差分方程组)() 1(11kxkx)()() 1(212kxkxkx)()() 1(323kxkxkx)()()() 1(2144kxkxkxkxconst)()()()(4321kxkxkxkx)() 1(11kxkxcbaddxcxbxax ) 0(,) 0(,) 0(,) 0(4321假设：akx)(1

17、)()() 1(212kxkxkxkabkx)(2bkaxkakxaakxakx ) 0()2() 1()(2222 akx)(1)()() 1(323kxkxkxkabkx)(2ckbakkxkbakkkxakbkabkxkabkx 2) 1() 0( 1) 1()2() 1()() 1()()(3333 ckbakkkx2) 1()(3结论o 总人数不变，上等人的人数随世代更替而无限增加，必然因下等人数不能符合婚配制度的要求导致这种婚配制度的崩溃第七课第七课 概率和数学期望的应用概率和数学期望的应用一、这为什么是骗局？一、这为什么是骗局？o 有人在街角设赌：20枚签（其中10枚标有5分分值

18、、10枚标有10分分值）让过路人从中抽出10枚，以10枚签的分值总和为奖、罚依据。o 具体奖罚金额见下表：分值分值奖罚金额奖罚金额50 ,100奖100元55,95奖10元60,65,85,90不奖不罚70,75,80罚1元用概率分析o 输赢值是随机的o 记一次奖罚额为Xo X取值：100，10，0，1o X为离散的随机变量o 求X的分布列计算X的分布列o这是古典概型，基本事件是从20枚签中取出10枚o基本事件总数：从20个事物取10个的组合数1847561020C“X1”的概率o X=-1时对应的分值：时对应的分值：70，75，80o 包含的基本事件：包含的基本事件：6X5分和分和4X10分

19、，分， 5X5分和分和5X10分，分， 4X5分和分和6X10分分o 基本事件数：基本事件数：o 绝大多数被罚绝大多数被罚82110. 0184756151704115170411610410510510410610nkXPkCCCCCC）（“X100”的概率o X=100时包含的基本事件：全时包含的基本事件：全10或全或全5o 基本事件数：基本事件数：2o 比一年全国自行车遇车祸的概率还小比一年全国自行车遇车祸的概率还小(1/5000) 52100825. 11847562100nkXP）（“X10”的概率o X=10时对应的分值：时对应的分值：55，95o 包含的基本事件：包含的基本事件：

20、9X5分和分和1X10分，分， 9X5分和分和1X10分分o 基本事件数：基本事件数：o 平均平均1000人只有一个人得人只有一个人得10元元%10825. 01847562001020033110910110910nkXPkCCCC）（“X0”的概率o X=0时对应的分值：时对应的分值：60，65，85，90o 包含的基本事件：包含的基本事件：8X5分和分和2X10分，分， 7X5分和分和3X10分，分， 3X5分和分和7X10分，分，2X5分和分和8X10分分o 基本事件数：基本事件数：o 平均约平均约1/5的无奖罚的无奖罚%781.1718475628800028800224471031

21、0210810nkXPkCCCC）（X的分布列计算X的数学期望o 按公式计算o 结果为0.81元o 这种赌博不公正o 用数学期望的含义解释结果：平均每个参赌的人要付给设赌局者0.81元，参赌的人越多，结论越准确二、如何减少验血次数？二、如何减少验血次数？o 1500名同学参加验血o 分组检验法：按k个人一组进行分组，对k个人的血混合在一起进行检验。n 如果混合血液呈阴性，可得k个人的血都呈阴性n 若呈阳性，则再对这k个人的血分别进行化验o 是否可以减少总检验次数？是否可以减少总检验次数？o k等于多少时，可以使检验次数最少？等于多少时，可以使检验次数最少？ 建立模型确立随机变量o 以X表示一个

22、学生平均验血的次数o 不分组X1 :常数o 分组：X=1/k或x=1+1/k n X是随机变量n 计算X的分布列：取两种值的概率n 计算X的期望值EX，若EX1，说明分组验血有成效分组时X的分布列o 设检出血液阳性率为pkkpkXpkX)1 (1:/11)1 ( :/1的概率的概率 X的概率分布列X的数学期望EXo EX1的条件o 取 p=0.1, 对k取不同数值计算计算结果和结论（p=0.1）第八课 风险决策的数学模型风险决策的数学模型 面对不确定性的决策方法风险决策的应用o 面对不确定性的情况o 例子n 渔船是否要出海n 是否要投资房地产n 学生如何填报高考志愿几个概念o 决策：先于行动前

23、的选择o 风险决策：面对不确定性的决策风险决策解决问题的思路o 最优：在均值的意义下追求最优o 基础：随机变量的数学期望o 步骤：n 选择目标函数n 确定随机变量、随机空间、概率等n 确定目标依赖于随机因素的表达式n 计算在各种决策下目标函数的数学期望n 选择达到最大期望值的那个决策例子o 面包房进货量的问题o 填报志愿的问题面包房进货量的问题o 每只面包的进货价为2.50元，售价为4元。o 当天下午6：00以后开始打折，以每只2元的价格处理完剩下的面包o 面包房每天面包在下午6：00以前售出100、150、200、250、300只的概率分别为0.2、0.25、0.3、0.15和0.1o 生产

24、厂家每天供货数必须是50的倍数o 问面包房每天应该进多少货问面包房每天应该进多少货？引进变量o 以X表示在下午6:00以前卖出的面包数：这是一个随机变量o 以L表示利润：目标函数o 以y表示进货量：这是决策变量o L依赖于X和y计算的步骤o 写出L依赖于X和y的表达式o 计算y取不同数值时的期望值o 选择利润达到最大期望值的进货数yL的表达式 有关信息o X取值：100，150，200，250，300o 分别列如下表所示o 只考虑 y取值：100，150，200，250，300 y=100时L的期望值o 全部面包都能以正常价格出售 y=150时L的期望值 y=200时L的期望值 y=250时L

25、的期望值 y=300时L的期望值决策o 当y=200或250时L的期望值最大，每天可以进200只或250只面包o 平均利润为每天235元学生填报志愿的问题o 填报的志愿不能重复o 希望喜好程度的期望值最大分析o 对个人来说填报的效果有偶然性o 对一群学生来说，按风险决策的方法可以求得最佳的决策：使学生的喜好得分期望值最高o 先不考虑学校不能重复的限制，如结果有重复，再作调整；否则就是最佳先考虑第三志愿o 第三志愿应该选Do 学生进入第三志愿的喜好程度得分期望值为4.2先考虑第二志愿o第二志愿应该选Co学生进入第二志愿的喜好程度得分期望值为6.1最后考虑第一志愿最终决策o 依次选B、C、Do 喜

26、好程度得分期望值为7.26第九课第九课 指派问题指派问题合理利用资源、人力的方法合理利用资源、人力的方法典型问题o 有有 n 件工作要完成件工作要完成o 有有 n 个人可以调用个人可以调用o 每件工作可以指派任何人做，但效率不同；每件工作可以指派任何人做，但效率不同；效率用效率表表示效率用效率表表示o 一件工作只能由一个人做一件工作只能由一个人做o 一个人只能做一件工作一个人只能做一件工作o如何指派可使效率最高（和最小）如何指派可使效率最高（和最小）指派的要求-通过表格表示o 每行取一个数且只取一个数每行取一个数且只取一个数（一个（一个人做一件工作且只做一件工作）人做一件工作且只做一件工作）o

27、 每列取一个数且只取一个数每列取一个数且只取一个数（每件（每件工作必须有人做且只由一个人）工作必须有人做且只由一个人）o 在表中共取出五个数，分别在不同在表中共取出五个数，分别在不同行不同列上行不同列上（指派工作的一种方案）（指派工作的一种方案）o 这五个数的和表示该方案的效率这五个数的和表示该方案的效率在所有的方案中找到和为最在所有的方案中找到和为最小（效率最好）的方案小（效率最好）的方案一切可能方案的总数n!54321TTTTT总时间EDCBATTTTT 工作工作人员人员123A457B135C265如果某件工作由任何人完成都要增加（或减少）相如果某件工作由任何人完成都要增加（或减少）相同

28、的时间，则最优方案不变同的时间，则最优方案不变321TTT总时间 工作工作人员人员123A457B135C265如果某个人完成任何工作都要增加（或减少）相同如果某个人完成任何工作都要增加（或减少）相同的时间，则最优方案不变的时间，则最优方案不变CBATTT总时间 123A457B135C265 123A013B024C043 123A000B011C030 123A000B011C030A 做第做第 2 件工作，件工作，B 做第做第 1 件工作，件工作，C 做第做第 3 件工作件工作在不同行、不同列上有三个零，总和为零，在不同行、不同列上有三个零，总和为零，对应最佳方案对应最佳方案 工作人员人

29、员123A265B356C934203102010203102010 工作人员人员123A314B657C232203102010102001020 123A000B011C030203102010如何判别效率表中在不同的行、不同的列有三个零更复杂的情况 工作工作人员人员12345A45736B13584C26572D35636E934344573613584265723563693434124030247304350023036010112303023730425002203600011230302373042500220360001表中每行、每列都有零表中每行、每列都有零但是没有不在同一行

30、、同但是没有不在同一行、同一列的五个零一列的五个零12303023730425002203600011230302373042500020362001要划去表中所有的零，至要划去表中所有的零，至少要五条直线段（横线或少要五条直线段（横线或竖线）竖线）1230302373042500220360001表中有五个在不同行、不表中有五个在不同行、不同列的零同列的零划去所有零的最少线段数：划去所有零的最少线段数：412303023730425002203600011010100171242700000180021未划去的数减去未划去的数减去2在交叉点上的数加上在交叉点上的数加上2划去的数但不在交叉点上

31、的数不划去的数但不在交叉点上的数不变变把方法应用到更多的问题中去o 人数和工作数不相等人数和工作数不相等o 求最大值（不是求最小值）求最大值（不是求最小值）人数和工作数不相等 待卸车待卸车装卸组装卸组12345A45736B13584C26572D35636人数和工作数不相等 工作工作人员人员12345A45736B13584C26572D35636E00000求最大值（招聘翻译、文书、项目经理、广告策划） 成绩成绩人员人员外语外语计算机计算机 管理学管理学 传媒学传媒学A84817783B83828585C78767577D86858786 成绩成绩人员人员外语外语计算计算机机管理管理学学传

32、媒传媒学学A16192317B17181515C22242523D14151314 成绩成绩人员人员外语外语计算计算机机管理管理学学传媒传媒学学A84817783B83828585C78767577D86858786 成绩成绩人员人员外语外语计算计算机机管理管理学学传媒传媒学学A16192317B17181515C22242523D14151314 成绩成绩人员人员外语外语计算计算机机管理管理学学传媒传媒学学A0171B2100C0031D1001第十课 最短路模型 问题提出 最短路算法（狄克斯特拉算法） 在设备更新问题中的应用问题提出：最短路：问题提出：最短路： 求下图从求下图从 1 到到

33、8 的最短路的最短路方法：方法： 1.枚举法枚举法 2.Dijkstra 方法方法 枚举法的局限性枚举法的局限性 适合于编程计算的一般算法适合于编程计算的一般算法以例子介绍狄克斯特拉算法以例子介绍狄克斯特拉算法最短路最短路1最短路最短路2 最短路最短路3最短路最短路4最短路最短路5最短路最短路6最短路最短路7最短路最短路8最短路应用o 设备更新计划设备更新年初费用年初买新设备，用到第表示第边： jivvji1v问题归结为最短路问题o 每一条从都表示一种相应的设备更新方案；o 每条路的长度都表示该方案的费用；o 问题变为在图中求一条从V1到V6的最短路；o 该问题可以用 Dijkstra 方法求解。方法求解。