2020_2021学年高中数学第三章直线与方程3.1.1倾斜角与斜率课件新人教A版必修2.ppt

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1、第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.1倾斜角与斜率1.1.直线的倾斜角直线的倾斜角(1)(1)定义定义: :当直线当直线l与与x x轴相交时轴相交时, ,我们取我们取x x轴作为基准轴作为基准, ,x x轴轴正向与直线正向与直线l向上方向之间所成的角向上方向之间所成的角. .(2)(2)特例特例: :直线直线l与与x x轴平行或重合时轴平行或重合时, ,倾斜角为倾斜角为0 0. .(3)(3)范围范围: :0 0180180. .【思考思考】(1)(1)如图如图: : 直线直线l的倾斜角是的倾斜角是3030吗吗? ?提示提示: :不是不是, ,直线直线l的倾斜角为的倾斜角为1501

2、50. . (2)(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同? ?提示提示: :倾斜角相等的直线的倾斜程度相同倾斜角相等的直线的倾斜程度相同. .2.2.斜率的概念斜率的概念(1)(1)定义定义: :一条直线的倾斜角一条直线的倾斜角的正切值的正切值. .(2)(2)特例特例: :倾斜角是倾斜角是9090的直线没有斜率的直线没有斜率. .(3)(3)记法记法:k=tan .:k=tan .【思考思考】为什么倾斜角为为什么倾斜角为9090时时, ,直线没有斜率直线没有斜率? ?提示提示: :当当=90=90时时,tan ,tan 不存在不存在, ,由斜率的定义由斜率

3、的定义, ,可知可知此时直线斜率不存在此时直线斜率不存在. .3.3.经过两个点的直线的斜率公式经过两个点的直线的斜率公式经过两个点经过两个点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1),P(x),P(x2 2,y,y2 2),x),x1 1xx2 2的直线的斜率的直线的斜率: : . .1212yykxx【思考思考】利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜利用过两点的直线的斜率公式能求任意一条直线的斜率吗率吗? ?提示提示: :不能不能, ,当直线与当直线与x x轴垂直时轴垂直时,k= ,k= 无意义无意义. .2121yyxx【素养小测素养小测】 1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对

4、的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)倾斜角为倾斜角为的直线只有一条的直线只有一条. .( () )(2)(2)一条直线一定有倾斜角一条直线一定有倾斜角, ,也一定有斜率也一定有斜率. .( () )(3)(3)直线的倾斜角越大直线的倾斜角越大, ,斜率越大斜率越大. .( () )提示提示: :(1)(1). .倾斜角相等的直线有无数条倾斜角相等的直线有无数条. .(2)(2). .直线一定有倾斜角直线一定有倾斜角, ,但是不一定有斜率但是不一定有斜率, ,如与如与x x轴轴垂直的直线垂直的直线. .(3)(3). .倾斜角是锐角时倾斜角是锐角时, ,斜率为正斜率为正, ,倾斜

5、角是钝角时倾斜角是钝角时, ,斜斜率为负率为负. .2.2.已知直线已知直线l垂直于垂直于y y轴轴, ,则则l的倾斜角为的倾斜角为_._.【解析解析】由直线倾斜角的定义可得由直线倾斜角的定义可得, ,垂直于垂直于y y轴的直线轴的直线l的倾斜角为的倾斜角为0 0. .答案答案: :0 03.3.已知直线已知直线l经过两点经过两点P(1,2),Q(-2,1),P(1,2),Q(-2,1),那么直线那么直线l的斜的斜率为率为_._.【解析解析】直线直线l的斜率的斜率k= k= 答案答案: : 2 11.123 13类型一直线倾斜角、斜率的概念类型一直线倾斜角、斜率的概念【典例典例】1.(2019

6、1.(2019高安高一检测高安高一检测) )下列叙述中不正确下列叙述中不正确的是的是 ( () )A.A.若直线的斜率存在若直线的斜率存在, ,则必有倾斜角与之对应则必有倾斜角与之对应B.B.每一条直线都对应唯一一个倾斜角每一条直线都对应唯一一个倾斜角C.C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0 0或或9090D.D.若直线的倾斜角为若直线的倾斜角为,则直线的斜率为则直线的斜率为tan tan 2.2.已知直线已知直线l1 1的倾斜角为的倾斜角为,则则l1 1关于关于y y轴对称的直线轴对称的直线l2 2的倾斜角用的倾斜角用表示为表示为_._.【思维思维引引】1.1.利用

7、倾斜角、斜率的概念判断利用倾斜角、斜率的概念判断. .2.2.作出图形作出图形, ,利用直线间的关系得出两直线倾斜角的关利用直线间的关系得出两直线倾斜角的关系系. .【解析解析】1.1.选选D.AD.A中若直线的斜率存在中若直线的斜率存在, ,则必有倾斜角则必有倾斜角与之对应与之对应, ,正确正确;B;B中每一条直线都对应唯一一个倾斜角中每一条直线都对应唯一一个倾斜角, ,正确正确.C.C中与坐标轴垂直的直线的倾斜角为中与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0 0或或9090, ,正确正确;D;D中若直线的倾斜角为中若直线的倾斜角为,=90,=90时时, ,则直线的斜则直线的斜率不存在率不存在, ,因此

8、不正确因此不正确. .2.2.由由l1 1与与l2 2关于关于y y轴对称轴对称, ,得得l1 1, ,l2 2的位置关系如图的位置关系如图, ,图图两种情况两种情况, ,分析得分析得l2 2的倾斜角为的倾斜角为180180-.-. 答案答案: :180180-【内化内化悟悟】若一条直线存在斜率若一条直线存在斜率, ,那么这条直线的倾斜角有什么特那么这条直线的倾斜角有什么特点点? ?提示提示: :如果一条直线存在斜率如果一条直线存在斜率, ,则倾斜角不等于则倾斜角不等于9090. .【类题类题通通】1.1.求直线倾斜角的方法及关注点求直线倾斜角的方法及关注点(1)(1)定义法定义法: :根据题

9、意画出图形根据题意画出图形, ,结合倾斜角的定义找倾结合倾斜角的定义找倾斜角斜角. .(2)(2)关注点关注点: :结合图形求角时结合图形求角时, ,应注意平面几何知识的应用应注意平面几何知识的应用, ,如三角如三角形内角和定理及其有关推论形内角和定理及其有关推论. .2.2.关于直线的斜率关于直线的斜率定义的前提是定义的前提是9090, ,即即=90=90时没有斜率时没有斜率, ,所以直所以直线的倾斜角与斜率之间不是一一对应的线的倾斜角与斜率之间不是一一对应的. .【习练习练破破】1.1.下列说法中正确的个数是下列说法中正确的个数是 ( () )若两直线的倾斜角相等若两直线的倾斜角相等, ,

10、则它们的斜率也一定相等则它们的斜率也一定相等; ;一条直线的倾斜角为一条直线的倾斜角为-30-30; ;倾斜角为倾斜角为0 0的直线只有一条的直线只有一条; ;直线的倾斜角直线的倾斜角的集合的集合|0|0180180 与直线与直线集合建立了一一对应关系集合建立了一一对应关系. .A.0A.0B.1B.1C.2C.2D.3D.3【解析解析】选选A.A.若两直线的倾斜角为若两直线的倾斜角为9090, ,则它们的斜率则它们的斜率不存在不存在, ,错错; ;直线倾斜角的取值范围是直线倾斜角的取值范围是0 0180180, ,错错; ;所有垂直于所有垂直于y y轴的直线倾斜角均轴的直线倾斜角均为为0 0

11、, ,错错; ;不同的直线可以有相同的倾斜角不同的直线可以有相同的倾斜角, ,错错. .2.2.如图如图, ,直线直线l1 1的倾斜角是的倾斜角是150150, ,l2 2l1 1, ,l2 2与与x x轴相交于轴相交于点点A,A,l2 2与与l1 1相交于点相交于点B,B,l1 1与与x x轴交于点轴交于点C,C,l3 3平分平分BAC,BAC,则则l3 3的倾斜角为的倾斜角为( () ) A.60A.60B.45B.45C.30C.30D.20D.20【解析解析】选选C.C.由题意知由题意知BAC+ABC=150BAC+ABC=150, ,即即BAC+90BAC+90=150=150, ,

12、则则BAC=60BAC=60, ,所以所以l3 3的倾斜角为的倾斜角为3030. .类型二直线倾斜角、斜率的计算类型二直线倾斜角、斜率的计算【典例典例】1.(20191.(2019海淀高一检测海淀高一检测) )若若A(1,0),B(-3,m),A(1,0),B(-3,m),若直线若直线ABAB的斜率为的斜率为- ,- ,则则m=m= ( () )A.-8A.-8B.-2B.-2C.2C.2D.8D.8122.(20192.(2019台州高一检测台州高一检测) )过过A(-1,2),B(3,-2)A(-1,2),B(3,-2)两点的直两点的直线的倾斜角为线的倾斜角为( () )A.135A.13

13、5B.120B.120C.60C.60D.45D.453.(20193.(2019杨浦高一检测杨浦高一检测) )已知点已知点M(0,b)M(0,b)与点与点N(- ,1)N(- ,1)连成直线的倾斜角为连成直线的倾斜角为120120, ,则则b=_.b=_.3【思维思维引引】1.1.代入斜率公式代入斜率公式, ,解出解出m.m.2.2.先计算斜率先计算斜率, ,再求倾斜角再求倾斜角. .3.3.先由倾斜角得出斜率先由倾斜角得出斜率, ,再利用公式求值再利用公式求值. .【解析解析】1.1.选选C.A(1,0),B(-3,m),C.A(1,0),B(-3,m),直线直线ABAB的斜率为的斜率为-

14、 ,- ,所以所以 解得解得:m=2.:m=2.2.2.选选A.A.设过设过A(-1,2),B(3,-2)A(-1,2),B(3,-2)两点的直线的倾斜角为两点的直线的倾斜角为,0,0180180, ,所以所以tan = tan = 可得可得=135=135. .121m023 1 ，221,31 3.k= =tan 1203.k= =tan 120, ,解得解得b=-2.b=-2.答案答案: :-2-2b 103【内化内化悟悟】利用斜率公式时需要注意什么利用斜率公式时需要注意什么? ?提示提示: :先要考查是否满足公式条件先要考查是否满足公式条件x x1 1xx2 2. .【类题类题通通】1

15、.1.熟记特殊角的正切值熟记特殊角的正切值2.2.利用斜率公式求直线的斜率应遵循的原则利用斜率公式求直线的斜率应遵循的原则(1)(1)运用公式的前提条件是运用公式的前提条件是“x x1 1xx2 2”,”,即直线不与即直线不与x x轴垂直轴垂直, ,因为当直线与因为当直线与x x轴垂直时轴垂直时, ,斜率的计算公式无斜率的计算公式无意义意义. .(2)(2)斜率公式与两点斜率公式与两点P P1 1,P,P2 2的先后顺序无关的先后顺序无关, ,也就是说也就是说公式中的公式中的x x1 1与与x x2 2,y,y1 1与与y y2 2可以同时交换位置可以同时交换位置. .【习练习练破破】过两点过

16、两点A(m,2),B(-m,- m-1)A(m,2),B(-m,- m-1)的直线的倾斜角是的直线的倾斜角是6060, ,则则m m的值为的值为 ( () )A.- A.- B. +1B. +1 C. -1 C. -1 D. D. 33333【解析解析】选选D.D.因为过两点因为过两点A(m,2),B(-m,- m-1)A(m,2),B(-m,- m-1)的直的直线的倾斜角是线的倾斜角是6060, ,所以所以k kABAB= =tan 60= =tan 60 = ,= ,解得解得:m= .:m= .33m 1 2mm 33【加练加练固固】若直线经过两点若直线经过两点A(m,2),B A(m,2

17、),B 且倾斜角为且倾斜角为4545, ,则则m m的值为的值为 ( () )A.2A.2 B.1B.1 C. C. D. D. 3(m 2m 1)2，3412【解析解析】选选A.A.经过两点经过两点A(m,2),B A(m,2),B 的直线的的直线的斜率为斜率为k= k= 又直线的倾斜角为又直线的倾斜角为4545, ,所以所以 =tan 45=tan 45=1,=1,即即m=2.m=2.3(m 2m 1)2，2m 1 23mm2 ，2m 1 23mm2 类型三斜率与倾斜角的应用类型三斜率与倾斜角的应用角度角度1 1求斜率的范围求斜率的范围【典例典例】(2019(2019包头高一检测包头高一检

18、测) )直线直线l过点过点P(1,0),P(1,0),且且与以与以A(2,1),B(0, )A(2,1),B(0, )为端点的线段总有公共点为端点的线段总有公共点, ,则直则直线线l斜率的取值范围是斜率的取值范围是( () )3A.- ,1 B.(-,- 1,+)A.- ,1 B.(-,- 1,+)C.(-,- D.1,+)C.(-,- D.1,+)333【思维思维引引】借助图形确定斜率的范围借助图形确定斜率的范围【解析解析】选选B.B.如图如图: :当直线当直线l过点过点B B时设直线时设直线l的斜率为的斜率为k k1 1, ,则则k k1 1= = 当直线当直线l过点过点A A时设直线时设

19、直线l的斜率为的斜率为k k2 2, ,则则k k2 2= =1,= =1,所所以要使直线以要使直线l与线段与线段ABAB有公共点有公共点, ,则直线则直线l的斜率的取值的斜率的取值范围是范围是(-,- 1,+).(-,- 1,+).3030 1 ，1 02 13【素养素养探探】在求斜率的范围时在求斜率的范围时, ,需要用到核心素养中的直观想象需要用到核心素养中的直观想象, ,利用直线位置的变化找出斜率的界点利用直线位置的变化找出斜率的界点, ,从而确定斜率的从而确定斜率的范围范围. .将本例中点将本例中点A,BA,B改为改为A(-3,4),B(3,2),A(-3,4),B(3,2),试求直线

20、试求直线l斜率的取值范围斜率的取值范围. .【解析解析】因为点因为点A(-3,4),B(3,2),A(-3,4),B(3,2),如图如图, ,过点过点P(1,0)P(1,0)的的直线直线l与线段与线段ABAB有公共点有公共点, ,所以直线所以直线l的斜率的斜率kkkkPBPB或或kkkkPAPA, ,因为因为PAPA的斜率为的斜率为 =-1,PB=-1,PB的斜率为的斜率为 =1,=1,所以直线所以直线l的斜率的斜率k1k1或或k-1.k-1.403 1 203 1角度角度2 2三点共线问题三点共线问题【典例典例】(2019(2019常熟高一检测常熟高一检测) )若若A(3,-2),B(-5,

21、2), A(3,-2),B(-5,2), C(x,0)C(x,0)三点共线三点共线, ,则实数则实数x x的值为的值为_._.【思维思维引引】利用直线利用直线AB,ACAB,AC的斜率关系求值的斜率关系求值. .【解析解析】因为因为A(3,-2),B(-5,2),C(x,0)A(3,-2),B(-5,2),C(x,0)三点共线三点共线, ,所以所以k kABAB=k=kACAC, ,即即 解得解得x=-1.x=-1.答案答案: :-1-12220353x ，【类题类题通通】1.1.用斜率公式解决三点共线的方法用斜率公式解决三点共线的方法2.2.求代数式求代数式 最值或范围的方法最值或范围的方法

22、由斜率公式由斜率公式k= k= 的形式的形式, ,可知代数式可知代数式 的几何的几何意义是过意义是过P(x,y)P(x,y)与与P(a,b)P(a,b)两点的直线的斜率两点的直线的斜率. .故可以故可以利用数形结合来求解利用数形结合来求解. .2121yyxxybxaybxa【习练习练破破】1.1.若三点若三点A(3,1),B(-2,b),C(8,11)A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同一直线上在同一直线上, ,则实则实数数b b等于等于( () )A.2A.2B.3B.3C.9C.9D.-9D.-9【解析解析】选选D.D.因为三点因为三点A(3,1),B(-2,b),C(8,1

23、1)A(3,1),B(-2,b),C(8,11)在同在同一直线上一直线上, ,所以所以k kACAC=k=kABAB, ,即即 解得解得b=-9.b=-9.11 1b 18323 ，2.2.已知点已知点P(-1,-1),P(-1,-1),另有两点另有两点A(1,0),B(0,1),A(1,0),B(0,1),若过点若过点P P的直线的直线l与线段与线段ABAB有交点有交点, ,则直线则直线l的斜率取值范围为的斜率取值范围为_._.【解析解析】因为因为A(1,0),B(0,1),A(1,0),B(0,1),又过点又过点P P的直线的直线l与线段与线段ABAB有交点有交点, ,所以直线所以直线l的

24、斜率的取值范围为的斜率的取值范围为 . .答案答案: : 1 ,221 ,22【加练加练固固】直线直线l过点过点P(-1,2)P(-1,2)且与以点且与以点M(-3,-2),N(4,0)M(-3,-2),N(4,0)为端点的为端点的线段恒相交线段恒相交, ,则则l的斜率取值范围是的斜率取值范围是( () )A.- ,5A.- ,5B.- ,0)(0,2B.- ,0)(0,22525C.(-,- 5,+)C.(-,- 5,+)D.(-,- 2,+)D.(-,- 2,+)2525【解析解析】选选D.D.如图如图, ,因为因为P(-1,2),M(-3,-2),N(4,0),P(-1,2),M(-3,-2),N(4,0),所以所以k kPMPM= = =2,k=2,kPNPN= = 由图可知由图可知, ,使直线使直线l与线段与线段MNMN相交相交的直线的直线l的斜率取值范围是的斜率取值范围是(-,- 2,+).(-,- 2,+).2231 022415 25