2020版高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率课件北师大版选修2_2.ppt

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1、第二章变化率与导数1变化的快慢与变化率 1.1.函数函数y=f(x)y=f(x)从从x x1 1到到x x2 2的平均变化率的平均变化率(1)(1)自变量的改变量为自变量的改变量为x x2 2-x-x1 1，记作，记作x.x.(2)(2)函数值的改变量为函数值的改变量为f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )，记作，记作y.y.(3)(3)平均变化率表示为平均变化率表示为 _._.yx2121f(x )f(x )xx(4)(4)平均变化率的意义：刻画函数值在区间平均变化率的意义：刻画函数值在区间xx1 1，x x2 2 上上变化的快慢变化的快慢. .【思考思考】(1)(1)在平均变化

2、率的定义中，自变量在平均变化率的定义中，自变量x x在在x x0 0处的改变量处的改变量xx是否可以为任意实数，是否可以为任意实数，yy呢？呢？提示：提示：在平均变化率的定义中，改变量在平均变化率的定义中，改变量x x可正、可负，可正、可负，但不能等于但不能等于0 0；而；而y y可以为任意实数可以为任意实数. .(2)(2)若两个函数在区间若两个函数在区间xx1 1，x x2 2 上的平均变化率都是正上的平均变化率都是正数，平均变化率的大小对函数的变化有什么影响？数，平均变化率的大小对函数的变化有什么影响？提示：提示：函数在区间函数在区间xx1 1，x x2 2 上的平均变化率刻画函数上的平

3、均变化率刻画函数在区间上变化的快慢，变化率越大变化越快在区间上变化的快慢，变化率越大变化越快. .2.2.瞬时变化率瞬时变化率对于函数对于函数y=f(x)y=f(x)，在自变量，在自变量x x从从x x0 0变到变到x x1 1的过程中的过程中(1)(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为函数值的改变量与自变量的改变量的比值为平均变平均变化率化率记作：记作：_._.100010f(x )f(x )f(xx)f(x )yxxxx(2)(2)在在x x0 0点的瞬时变化率：当点的瞬时变化率：当xx趋于趋于0 0时，平均变化率时，平均变化率趋于函数在趋于函数在x x0 0点的点的瞬时变化率瞬时变

4、化率. .【思考思考】(1)(1)瞬时速度与平均速度有怎样的区别与联系？瞬时速度与平均速度有怎样的区别与联系？提示：提示：平均速度平均速度 与路程和时间都有关系，它反映的与路程和时间都有关系，它反映的是物体在一段时间内的平均运动状态；瞬时速度是物是物体在一段时间内的平均运动状态；瞬时速度是物体在某一时刻的速度，是在这一时刻附近时间差体在某一时刻的速度，是在这一时刻附近时间差t t趋近于趋近于0 0时平均速度的极限值时平均速度的极限值. .st(2)(2)设设A(xA(x1 1，y y1 1) )，B(xB(x2 2，y y2 2) )是曲线是曲线y=f(x)y=f(x)上任意不同上任意不同的两

5、点，函数的两点，函数y=f(x)y=f(x)的平均变化率的平均变化率的几何意义？的几何意义？yx2121f xf xxx提示：提示：如图所示，表示割线如图所示，表示割线ABAB的斜率的斜率. .【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)对于函数对于函数y=f(x)y=f(x)，当，当x x从从x x1 1变为变为x x2 2时，函数值从时，函数值从f(xf(x1 1) )变变为为f(xf(x2 2) )，若记，若记x=xx=x2 2-x-x1 1，y=f(xy=f(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )，则，则(1)x(1)x可正，可负，

6、可为零可正，可负，可为零. . ( () )(2)(2)函数函数y=f(x)y=f(x)的平均变化率为的平均变化率为 ( () )(3)(3)函数函数y=f(x)y=f(x)的平均变化率为的平均变化率为 ( () ) 211121yfxfxfxxfx.xxxx（） （ ）（） （ ）122212yfxfxfxxfx.xxxx（ ） （）（） （）(4)(4)当当xx趋于趋于0 0时，时， 就趋于函数在就趋于函数在x x1 1处处的瞬时变化率的瞬时变化率( () )yx提示：提示：(1)(1). .x x不能为零不能为零. .(2).(2).由平均变化率的定义可知其正确由平均变化率的定义可知其正

7、确. .(3).(3).由平均变化率的定义可知其正确由平均变化率的定义可知其正确. .(4).(4).因为因为 ，所以当，所以当x x趋于趋于0 0时，时， 就趋于函数在就趋于函数在x x1 1处的瞬时变化率处的瞬时变化率. .11yfxxfxxx（） （ ）yx2.2.如果质点如果质点M M按规律按规律s=-ts=-t2 2运动，则在时间段运动，则在时间段00，0.10.1中相应的平均速度是中相应的平均速度是( () )A.0.1A.0.1B.-0.1B.-0.1C.0.01C.0.01D.-0.01D.-0.01【解析解析】选选B. =-0.1.B. =-0.1.220.10v0.13.3

8、.若质点若质点A A按照规律按照规律s=3ts=3t2 2运动，则在运动，则在t=3t=3时的瞬时速度时的瞬时速度为为( () )A.6A.6B.18B.18C.54C.54D.81D.81【解析解析】选选B.B.因为因为 =18+3=18+3t t，所以当所以当t t趋于趋于0 0时，时， 趋于趋于18.18.222s3(3t)3 318 t3( t)ttt st类型一求函数的平均化率类型一求函数的平均化率【典例典例】求函数求函数y=2xy=2x2 2+3+3当自变量当自变量x x从从x x0 0变到变到x x0 0+x+x的平的平均变化率，并求当均变化率，并求当x x0 0=2=2，x=

9、x= 时该函数的平均变化时该函数的平均变化率率. .12【思维思维引引】先求先求f(xf(x0 0+x)-f(x+x)-f(x0 0) )，然后利用平均变，然后利用平均变化率的定义求解化率的定义求解. .【解析解析】当自变量当自变量x x从从x x0 0变到变到x x0 0+ +x x时，函数的平均变时，函数的平均变化率化率= =4x= =4x0 0+2+2x.x.当当x x0 0=2=2，x= x= 时，平均变化率为时，平均变化率为4 42+22+2 =9. =9.220000fxxfx2xx32x3yxxx（） （） （） （）204xx2xx （）1212【内化内化悟悟】如何理解函数的平

10、均变化率？如何理解函数的平均变化率？提示：提示：(1)(1)在在x=xx=x2 2-x-x1 1中，中，x x2 2=x=x1 1+ +x x，此处，此处x x是自变是自变量量x x1 1的一个增量，的一个增量，x x可以为正也可以为负，但不能等可以为正也可以为负，但不能等于于0.0.(2)(2)在在 中，注意中，注意y y与与x x应对应一应对应一致，且致，且x x1 1xx2 2. .2121yfxfxxxx（） （ ）(3)(3)函数的平均变化率可正可负，变化快慢是由平均变函数的平均变化率可正可负，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得化率的绝对值决定的，且绝对

11、值越大，函数值变化得越快越快. .(4)(4)函数的平均变化率刻画函数函数的平均变化率刻画函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间xx1 1，x x2 2 上变化的快慢上变化的快慢. .【类题类题通通】求平均变化率的注意点求平均变化率的注意点(1)(1)要注意要注意xx，yy的值可正，可负，但的值可正，可负，但x0 x0，yy可为零，若函数可为零，若函数f(x)f(x)为常值函数，则为常值函数，则y=0.y=0.(2)(2)求点求点x x0 0附近的平均变化率可用附近的平均变化率可用 来表示来表示. .00f(xx)f xx【习练习练破破】求函数求函数f(x)=3xf(x)=3x2 2+2+2

12、在区间在区间xx0 0，x x0 0+x+x上的平均变化率，上的平均变化率，并求当并求当x x0 0=2=2，x=0.1x=0.1时平均变化率的值时平均变化率的值. .【解析解析】函数函数f(x)=3xf(x)=3x2 2+2+2在区间在区间xx0 0，x x0 0+ +xx上的平均上的平均变化率为变化率为= =6x= =6x0 0+3+3x.x.当当x x0 0=2=2，x=0.1x=0.1时，函数时，函数y=3xy=3x2 2+2+2在区间在区间22，2.12.1上上的平均变化率为的平均变化率为6 62+32+30.1=12.3.0.1=12.3.22000000fxxfx3xx23x2x

13、xxx（） （） （） （）（）206xx3xx （）【加练加练固固】过曲线过曲线y=f(x)=xy=f(x)=x2 2-x-x上的两点上的两点P(1P(1，0)0)和和Q(1+xQ(1+x，y)y)作曲线的割线，已知割线作曲线的割线，已知割线PQPQ的斜率为的斜率为2 2，求，求xx的值的值. .【解析解析】割线割线PQPQ的斜率即为函数的斜率即为函数f(x)f(x)从从1 1到到1+1+x x的平的平均变化率均变化率 . .因为因为y=f(1+y=f(1+x)-f(1)x)-f(1)=(1+=(1+x)x)2 2-(1+-(1+x)-(1x)-(12 2-1)-1)= =x+(x+(x)x

14、)2 2，yx所以割线所以割线PQPQ的斜率的斜率k= =1+k= =1+x.x.又因为割线又因为割线PQPQ的斜率为的斜率为2 2，所以，所以1+1+x=2x=2，所以，所以x=1.x=1.yx类型二求函数的瞬时变化率类型二求函数的瞬时变化率 【典例典例】以初速度以初速度v v0 0(v(v0 00)0)竖直上抛的物体，竖直上抛的物体，t t秒时的秒时的高度高度s s与与t t的函数关系为的函数关系为s=vs=v0 0t- gtt- gt2 2，求物体在时刻，求物体在时刻t t0 0处的瞬时速度处的瞬时速度. .12【思维思维引引】先计算先计算ss，求出平均变化率，求出平均变化率 ，求出，求

15、出当当t0t0时的值即瞬时速度时的值即瞬时速度. .st【解析解析】因为因为s=vs=v0 0(t(t0 0+ +t)- g(tt)- g(t0 0+ +t)t)2 2- - =(v=(v0 0-gt-gt0 0) )t- g(t- g(t)t)2 2，所以所以 =v=v0 0-gt-gt0 0- g- gt.t.当当t t趋于趋于0 0时，时， 趋于趋于v v0 0-gt-gt0 0，故物体在时刻，故物体在时刻t t0 0处的处的瞬时速度为瞬时速度为v v0 0-gt-gt0 0. .1220 001(v tgt )212st12st【素养素养探探】在求函数的瞬时变化率时，通常用的数学核心素

16、养是在求函数的瞬时变化率时，通常用的数学核心素养是数学运算，一般是先计算函数的平均变化率，然后令数学运算，一般是先计算函数的平均变化率，然后令xx趋于趋于0 0，即可得到函数的瞬时变化率，即可得到函数的瞬时变化率. .1.1.求物体在时刻求物体在时刻t t0 0到到t t0 0+t+t间的平均速度间的平均速度. .【解析解析】因为因为s=vs=v0 0(t(t0 0+ +t)- g(tt)- g(t0 0+ +t)t)2 2- - =(v=(v0 0-gt-gt0 0) )t- g(t- g(t)t)2 2，所以所以 =v=v0 0-gt-gt0 0- g- gt.t.1220 001(v t

17、gt )212svt122.2.若将条件中的若将条件中的“v v0 0”改为改为“v v0 0=30 m/s”=30 m/s”，求物体在，求物体在t=4 st=4 s时的瞬时速度时的瞬时速度. .【解析解析】因为因为s=30(4+s=30(4+t)- g(4+t)- g(4+t)t)2 2- - =(30-4g)=(30-4g)t- g(t- g(t)t)2 2，所以，所以 =30-4g- g=30-4g- gt.t.当当t t趋于趋于0 0时，时， 趋于趋于30-4g30-4g，故物体在时刻，故物体在时刻t=4 st=4 s时的瞬时速度为时的瞬时速度为30-4g.30-4g.1221(30

18、4g4 )212st12st【类题类题通通】1.1.求瞬时速度的步骤求瞬时速度的步骤(1)(1)求位移改变量求位移改变量s=s(ts=s(t0 0+t)-s(t+t)-s(t0 0).).(2)(2)求平均速度求平均速度v= .v= .(3)(3)当当tt趋于趋于0 0时，平均速度时，平均速度 趋于瞬时速度趋于瞬时速度. .stst2.2.求当求当xx无限趋近于无限趋近于0 0时时 的值的技巧的值的技巧(1)(1)在表达式中，可把在表达式中，可把xx作为一个数来参与运算作为一个数来参与运算. .(2)(2)求出求出 的表达式后，的表达式后，xx无限趋近于无限趋近于0 0就是令就是令x=0 x=

19、0，求出结果即可，求出结果即可. .yxyx【习练习练破破】一辆汽车按规律一辆汽车按规律s=2ts=2t2 2+3+3做直线运动，求这辆汽车在做直线运动，求这辆汽车在t=2t=2时的瞬时速度时的瞬时速度.(.(时间单位：时间单位：s s，位移单位：，位移单位：m)m)【解析解析】设这辆汽车在设这辆汽车在t=2t=2附近的时间改变量为附近的时间改变量为t t，则位移的改变量则位移的改变量s=2(2+s=2(2+t)t)2 2+3-(2+3-(22 22 2+3)+3)=8=8t+2(t+2(t)t)2 2，则则 =8+2=8+2t.t.当当t t趋于趋于0 0时，平均变化率时，平均变化率 趋于趋

20、于8.8.所以，这辆汽车在所以，这辆汽车在t=2t=2时的瞬时速度为时的瞬时速度为8 m/s.8 m/s.stst【拓展延伸拓展延伸】瞬时速度的意义与计算方法瞬时速度的意义与计算方法(1)(1)瞬时速度就是路程函数相对于时间的瞬时变化率瞬时速度就是路程函数相对于时间的瞬时变化率. .(2)(2)要计算物体在某时刻的瞬时速度，只要给时间一个要计算物体在某时刻的瞬时速度，只要给时间一个改变量改变量tt，求出相应的路程的改变量，求出相应的路程的改变量ss，再求出平，再求出平均速度均速度 ，最后计算当，最后计算当tt趋近于趋近于0 0时，就是时，就是物体在该时刻的瞬时速度物体在该时刻的瞬时速度. .sVt