2020版高中数学第三章导数应用3.1.2函数的极值课件北师大版选修2_2.ppt

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1、1.2函数的极值1.1.函数的极值函数的极值(1)(1)极大值：在包含极大值：在包含x x0 0的一个区间的一个区间(a(a，b)b)内，函数内，函数y=f(x)y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于在任何一点的函数值都小于或等于x x0 0点的函数点的函数值，则称点值，则称点x x0 0为函数为函数y=f(x)y=f(x)的的极大值点极大值点，其函数值，其函数值f(xf(x0 0) )为函数的极大值为函数的极大值. .(2)(2)极小值：在包含极小值：在包含x x0 0的一个区间的一个区间(a(a，b)b)内，函数内，函数y=f(x)y=f(x)在任何一点的函数值都在任何一点的函数值都大

2、于或等于大于或等于x x0 0点的函数点的函数值，则称点值，则称点x x0 0为函数为函数y=f(x)y=f(x)的极小值点，其函数值的极小值点，其函数值f(xf(x0 0) )为函数的极小值为函数的极小值. .(3)(3)极大值与极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值，极大值点与极小值点统称为统称为极值点极值点. .【思考思考】(1)“(1)“函数在某个区间的极值只有一个函数在某个区间的极值只有一个”，对吗？，对吗？提示：提示：一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个极小值可以不止一个. .如函数如函数y=sin

3、 xy=sin x在区间在区间-2-2，2 2 上有两个极大值，两个极小值上有两个极大值，两个极小值. .(2)(2)函数的极大值一定大于函数的极小值吗？函数的极大值一定大于函数的极小值吗？提示：提示：函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值即一个函数的极大值未必大于极小值. .如图所示，函数如图所示，函数f(x)f(x)的极小值的极小值f(xf(x4 4) )，极大值，极大值f(xf(x1 1) )，且，且f(xf(x4 4)f(xf(x1 1).).2.2.求函数求函数y=f(x)y=f(x)的极值的步骤的极值的步

4、骤(1)(1)求出导数求出导数f(x).f(x).(2)(2)解方程解方程f(x)=0.f(x)=0.(3)(3)对于方程对于方程f(x)=0f(x)=0的每一个解的每一个解x x0 0，分析，分析f(x)f(x)在在x x0 0左、右两侧的符号左、右两侧的符号( (即即f(x)f(x)的单调性的单调性) )，确定极值点：，确定极值点：若若f(x)f(x)在在x x0 0两侧的符号为两侧的符号为“左正右负左正右负”，则，则x x0 0为为极大值点；极大值点；若若f(x)f(x)在在x x0 0两侧的符号为两侧的符号为“左负右正左负右正”，则，则x x0 0为为极小值点；极小值点；若若f(x)f

5、(x)在在x x0 0两侧的符号相同，则两侧的符号相同，则x x0 0不是极值点不是极值点. .【思考思考】导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗？的点一定是函数的极值点吗？提示：提示：导数值为导数值为0 0的点不一定是函数的极值点，还要看的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况在这一点附近导数的正负情况. . 【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析( (对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)”)(1)(1)在可导函数的极值点处，切线与在可导函数的极值点处，切线与x x轴平行轴平行. .( () )(2)(2)函数函数f(x)= f(x)= 无极值无极值.

6、.( () )(3)(3)定义在定义在aa，bb上的连续函数上的连续函数f(x)f(x)若有极值若有极值f(xf(x0 0) )，则则x x0 0(a(a，b).b).( () )1x【解析解析】(1)(1). .切线也可能与切线也可能与x x轴重合轴重合. .(2).(2).由于由于f(x)= f(x)= 在在(-(-，0)0)，(0(0，+ +) )上单调递上单调递减，所以函数没有极值减，所以函数没有极值. .1x(3).(3).由于函数的极值点一定是其导函数的变号零点，由于函数的极值点一定是其导函数的变号零点，所以定义在所以定义在aa，bb上的连续函数上的连续函数f(x)f(x)若有极值

7、若有极值f(xf(x0 0) )，则则x x0 0(a(a，b)b)，极值点不可能在区间的端点处取到，极值点不可能在区间的端点处取到. .2.2.下列结论中正确的是下列结论中正确的是 ( () )A.A.导数为零的点一定是极值点导数为零的点一定是极值点B.B.如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧f (x)0f (x)0，右侧，右侧f (x)0f (x)0f (x)0，右侧，右侧f (x)0f (x)0，那么那么f(xf(x0 0) )是极小值是极小值D.D.如果在如果在x x0 0附近的左侧附近的左侧f (x)0f (x)0f (x)0，那么那么f(xf(x0 0) )是极大值是极大值

8、【解析解析】选选B.B.点点x x0 0为为f(x)f(x)的极值点必须满足两个条件：的极值点必须满足两个条件：一是一是f(xf(x0 0)=0)=0，二是两侧的正负相异；，二是两侧的正负相异；f(x)f(x)在在(a(a，b)b)上有唯一的极值点上有唯一的极值点x x0 0，对函数来讲两侧的单调性相异，对函数来讲两侧的单调性相异，故故A A不正确；不正确；C C项中，项中，f(x)f(x)先增后减是极大值；先增后减是极大值；D D项中，项中，f(x)f(x)先减后增是极小值，故先减后增是极小值，故B B正确正确. .3.3.下列说法正确的是下列说法正确的是( () )A.A.函数在闭区间上的

9、极大值一定比极小值大函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C.C.函数函数f(x)=xf(x)=x2 2只有一个极小值只有一个极小值D.D.函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a(a，b)b)上一定存在极值上一定存在极值【解析解析】选选C.CC.C项中，由函数项中，由函数f(x)=xf(x)=x2 2的图像结合极值的图像结合极值的定义，知的定义，知f(x)=xf(x)=x2 2只有一个极小值只有一个极小值. .类型一求函数的极值类型一求函数的极值【典例典例】求下列函数的极值求下列函数的极值. .(1)f(x

10、)=2x(1)f(x)=2x3 3+3x+3x2 2-12x+1.(2)f(x)=x-12x+1.(2)f(x)=x2 2-2ln x.-2ln x.【思维思维引引】首先确定函数的定义域，然后求其单调首先确定函数的定义域，然后求其单调区间，根据极值的定义求解区间，根据极值的定义求解. .【解析解析】(1)(1)函数函数f(x)=2xf(x)=2x3 3+3x+3x2 2-12x+1-12x+1的定义域为的定义域为R R，f f(x)=6x(x)=6x2 2+6x-12=6(x+2)(x-1)+6x-12=6(x+2)(x-1)，解方程解方程6(x+2)(x-1)=06(x+2)(x-1)=0，

11、得，得x x1 1=-2=-2，x x2 2=1.=1.当当x x变化时，变化时，f f(x)(x)与与f(x)f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：x x(-(-，-2)-2)-2-2(-2(-2，1)1)1 1(1(1，+)+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)极大值极大值2121极小值极小值-6-6所以当所以当x=-2x=-2时，时，f(x)f(x)取极大值取极大值2121；当当x=1x=1时，时，f(x)f(x)取极小值取极小值-6.-6.(2)(2)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2-2ln x-2ln x的定义域为的定义域为(0(0，+ +)

12、)，f f(x)=2x-(x)=2x-解方程解方程 =0=0， 22(x1)(x1)xx，2(x1)(x1)x得得x x1 1=1=1，x x2 2=-1(=-1(舍去舍去).).当当x x变化时，变化时，f f(x)(x)与与f(x)f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：因此当因此当x=1x=1时，时，f(x)f(x)有极小值有极小值1 1，无极大值，无极大值. .x x(0(0，1)1)1 1(1(1，+)+)f(x)f(x)- -0 0+ +f(x)f(x)极小值极小值1 1【内化内化悟悟】求函数的极值的切入点是什么？求函数的极值的切入点是什么？( (结合与导数的关系说结合与导数的

13、关系说明明) )提示：提示：函数可导，其极值的求解应结合其导数的性质函数可导，其极值的求解应结合其导数的性质及极值的概念进行求解及极值的概念进行求解. .【类题类题通通】求可导函数求可导函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤(1)(1)定义域：确定函数定义域：确定函数f(x)f(x)的定义域的定义域. .(2)(2)求导：求求导：求f (x).f (x).(3)(3)解方程：求方程解方程：求方程f (x)=0f (x)=0的全部实根的全部实根. .(4)(4)列表：当列表：当f (xf (x0 0)=0)=0时，判断时，判断f (x)f (x)在在x x0 0附近的附近的符号，若在符号，

14、若在x x0 0附近的左侧附近的左侧f (x)0f (x)0，右侧，右侧f (x)f (x)0 0，那么，那么f(xf(x0 0) )是极大值；若在是极大值；若在x x0 0附近的左侧附近的左侧f (x)f (x)0f (x)0，则，则f(xf(x0 0) )是极小值是极小值. .提醒：可导函数的极值点必须是导数为提醒：可导函数的极值点必须是导数为0 0的点，但导数的点，但导数为为0 0的点不一定是极值点的点不一定是极值点. .【习练习练破破】1.1.求函数求函数f(x)= f(x)= 的极值的极值. .22x2x1【解析解析】函数的定义域为函数的定义域为R.R.f f(x)= (x)= 令令

15、f f(x)=0(x)=0，得，得x=-1x=-1，或，或x=1.x=1.当当x x变化时，变化时，f f(x)(x)，f(x)f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：2222222(x1)4x2(x1)(x1).(x1)(x1) x x(-(-，-1)-1)-1-1(-1(-1，1)1)1 1(1(1，+)+)f(x)f(x)- -0 0+ +0 0- -f(x)f(x)-3-3-1-1由上表可以看出：当由上表可以看出：当x=-1x=-1时，函数有极小值，且极小时，函数有极小值，且极小值为值为f(-1)=-3f(-1)=-3；当；当x=1x=1时，函数有极大值，且极大值为时，函数有极大值

16、，且极大值为f(1)=-1.f(1)=-1.2.2.判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由值；如果无极值，请说明理由. .(1)f(x)= x(1)f(x)= x3 3+4.(2)f(x)= x+4.(2)f(x)= x3 3+x+x2 2+4x.+4x.1313【解析解析】(1)f(1)f(x)=x(x)=x2 2. .令令f f(x)=0(x)=0，解得，解得x=0.x=0.根据根据x x值列表，分析值列表，分析f f(x)(x)的符号，的符号，f(x)f(x)的单调性和极的单调性和极值值. .x x(-(-，0)0)

17、0 0(0(0，+)+)f(x)f(x)+ +0 0+ +f(x)f(x)无极值无极值由上表可知，该函数无极值由上表可知，该函数无极值. .(2)(2)因为因为f f(x)=x(x)=x2 2+2x+4=(x+1)+2x+4=(x+1)2 2+30+30，所以函数所以函数f(x)f(x)在在R R上为增函数，无极值上为增函数，无极值. .类型二已知函数极值求参数的值类型二已知函数极值求参数的值( (范围范围) )【典例典例】已知已知f(x)=xf(x)=x3 3+3ax+3ax2 2+bx+a+bx+a2 2在在x=-1x=-1时有极值时有极值0 0，求常数求常数a a，b b的值的值. .【

18、思维思维引引】根据极值点为根据极值点为-1-1和极值为和极值为0 0，构建方程组求出，构建方程组求出a a，b b的值，的值，然后利用单调性验证然后利用单调性验证. .【解析解析】因为因为f(x)f(x)在在x=-1x=-1时有极值时有极值0 0，且，且f f(x)=3x(x)=3x2 2+6ax+b+6ax+b，所以所以 即即 解得解得 或或 f ( 1)0,f( 1)0, 236ab0,1 3aba0. a1,b3a2,b9.当当a=1a=1，b=3b=3时，时，f f(x)=3x(x)=3x2 2+6x+3=3(x+1)+6x+3=3(x+1)2 200，所以所以f(x)f(x)在在R

19、R上是增函数，无极值，故舍去上是增函数，无极值，故舍去. .当当a=2a=2，b=9b=9时，时，f f(x)=3x(x)=3x2 2+12x+9=3(x+1)(x+3).+12x+9=3(x+1)(x+3).因为当因为当x(-3x(-3，-1)-1)时，时，f(x)f(x)是减少的；当是减少的；当x(-1x(-1，+ +) )时，时，f(x)f(x)是增加的，是增加的，所以所以f(x)f(x)在在x=-1x=-1时取得极小值，因此时取得极小值，因此a=2a=2，b=9.b=9.【素养素养探探】根据函数的极值求参数的值或范围时，一般是利用根据函数的极值求参数的值或范围时，一般是利用f(x)=0

20、f(x)=0和极值构建方程组，易出现的失误为忘掉利和极值构建方程组，易出现的失误为忘掉利用函数的单调性验证参数的值是否符合题意用函数的单调性验证参数的值是否符合题意. .应用的数应用的数学核心素养是数学运算和逻辑推理学核心素养是数学运算和逻辑推理. .1.1.本例的其他条件不变，如果直线本例的其他条件不变，如果直线y=ky=k与函数图像有三与函数图像有三个交点，求个交点，求k k的取值范围的取值范围. .【解析解析】由典例的解析可知由典例的解析可知f(x)=xf(x)=x3 3+6x+6x2 2+9x+4+9x+4，f f(x)=3x(x)=3x2 2+12x+9=3(x+1)(x+3)+12

21、x+9=3(x+1)(x+3)，令令f f(x)=0(x)=0，得，得x x1 1=-3=-3，x x2 2=-1.=-1.根据根据x x1 1，x x2 2列表，分析列表，分析f f(x)(x)的符号，的符号，f(x)f(x)的单调性的单调性和极值点和极值点. .x x(-(-，-3)-3)-3-3(-3(-3，-1)-1)-1-1(-1(-1，+)+)f(x)f(x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)极大值极大值极小极小值值所以所以f(x)f(x)的极大值是的极大值是f(-3)=4f(-3)=4，极小值是，极小值是f(-1)=0.f(-1)=0.函数图像大致如图所示：函数图像大

22、致如图所示：要使直线要使直线y=ky=k与函数图像有三个交点，则与函数图像有三个交点，则0k4.0k4.2.2.本例的条件改为本例的条件改为“x=-3x=-3，x=-1x=-1是是f(x)=xf(x)=x3 3+3ax+3ax2 2+bx+a+bx+a2 2的两个极值点的两个极值点”，求常数，求常数a a，b b的值的值. .【解析解析】因为因为f f(x)=3x(x)=3x2 2+6ax+b+6ax+b，由极值点的必要条，由极值点的必要条件可知件可知 即即 解得解得 所以所以a=2a=2，b=9.b=9.223 ( 3)6a( 3)b03 ( 1)6a( 1)b0 ，18ab2706ab30

23、，a2b9，【类题类题通通】由函数的极值由函数的极值( (点点) )求参数的要领求参数的要领(1)(1)列式：根据极值点处导数为列式：根据极值点处导数为0 0和极值两个条件列方和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解程组，利用待定系数法求解. .(2)(2)验证：因为验证：因为“导数值等于零导数值等于零”不是不是“此点为极值点此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性根的合理性. .【习练习练破破】设设x=1x=1与与x=2x=2是函数是函数f(x)=aln x+bxf(x)=aln x+bx2 2+x+x的两个极值点

24、的两个极值点. .(1)(1)试确定常数试确定常数a a和和b b的值的值. .(2)(2)判断判断x=1x=1，x=2x=2是函数是函数f(x)f(x)的极大值点还是极小值点，的极大值点还是极小值点，并说明理由并说明理由. .【解析解析】(1)(1)因为因为f(x)=aln x+bxf(x)=aln x+bx2 2+x+x，所以，所以f f(x)=(x)= +2bx+1. +2bx+1.由题意可知由题意可知f f(1)=f(1)=f(2)=0(2)=0，所以，所以 axa2b 10a4b 10.2 ，解方程组得解方程组得a= a= ，b= b= ，经验证，当，经验证，当a= a= ，b=b=

25、时，时，x=1x=1与与x=2x=2是函数是函数f(x)f(x)的两个极值点的两个极值点. .所以所以f(x)=f(x)=23162316221ln xxx.36(2)x=1(2)x=1，x=2x=2分别是函数分别是函数f(x)f(x)的极小值点，极大值点的极小值点，极大值点. .理由如下：理由如下：f f(x)=(x)=又因为又因为f(x)f(x)的定义域为的定义域为(0(0，+ +) )，221x3x2(x1)(x2)x1.3x33x3x 121xx133所以当所以当x(0 x(0，1)1)时，时，f f(x)0(x)0(x)0；当当x(2x(2，+ +) )时，时，f f(x)0(x)0

26、c0且且 00时，存在时，存在x x1 1(-(-，-2)-2)，x x2 2 ，x x3 3 ，使得使得f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2)=f(x)=f(x3 3)=0.)=0.由由f(x)f(x)的单调性知，当且仅的单调性知，当且仅当当c c 时，函数时，函数f(x)=xf(x)=x3 3+4x+4x2 2+4x+c+4x+c有三个不同零点有三个不同零点. .32c272(2,)3 2()3 ,32(0)27，【内化内化悟悟】函数的极值的应用涉及哪些方面？函数的极值的应用涉及哪些方面？提示：提示：涉及函数的零点求解、函数极值的求解等涉及函数的零点求解、函数极值的求解等. .【类

27、题类题通通】利用导数确定函数的零点利用导数确定函数的零点利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上况，并能在此基础上画出函数的大致图像，从直观上判断函数图像与判断函数图像与x x轴的交点或两个函数图像的交点的个轴的交点或两个函数图像的交点的个数，从而为研究函数的零点或方程根的个数问题提供数，从而为研究函数的零点或方程根的个数问题提供了方便了方便. .【习练习练破破】已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3-6x-6x2 2+9x+3+9x+3，若函数，若函数y=f(x)y=f(x)的图像与的图

28、像与y= f(x)+5x+my= f(x)+5x+m的图像有三个不同的交点，求实数的图像有三个不同的交点，求实数m m的取值范围的取值范围. .13【解析解析】由由f(x)=xf(x)=x3 3-6x-6x2 2+9x+3+9x+3，可得，可得f f(x)=3x(x)=3x2 2-12x+9-12x+9，所以所以 f f(x)+5x+m= (3x(x)+5x+m= (3x2 2-12x+9)+5x+m=x-12x+9)+5x+m=x2 2+x+3+m+x+3+m，则由题意可得则由题意可得x x3 3-6x-6x2 2+9x+3=x+9x+3=x2 2+x+3+m+x+3+m有三个不相等的实有三

29、个不相等的实根，即根，即g(x)=xg(x)=x3 3-7x-7x2 2+8x-m+8x-m的图像与的图像与x x轴有三个不同的交轴有三个不同的交点点. .1313因为因为g(x)=3xg(x)=3x2 2-14x+8=(3x-2)(x-4)-14x+8=(3x-2)(x-4)，所以令所以令g(x)=0g(x)=0，得，得x= x= 或或x=4.x=4.当当x x变化时，变化时，g(x)g(x)，g(x)g(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：23x x 4 4(4(4，+)+)g(x)g(x)+ +0 0- -0 0+ +g(x)g(x) -m -m-16-m-16-m2()3，232(

30、4)3，6827则函数则函数g(x)g(x)的极大值为的极大值为 -m-m，极小值为，极小值为g(4)=g(4)=-16-m.-16-m.所以由所以由y=f(x)y=f(x)的图像与的图像与y= fy= f(x)+5x+m(x)+5x+m的图像有三的图像有三个不同的交点，个不同的交点，268g( )32713得得 解得解得-16m -16m ，所以所以m m的取值范围为的取值范围为 268g( )m0327g(4)16m0 ，682768( 16).27，【加练加练固固】设设a a为实数，函数为实数，函数f(x)=-xf(x)=-x3 3+3x+a.+3x+a.(1)(1)求求f(x)f(x)

31、的极值的极值. .(2)(2)是否存在实数是否存在实数a a，使得方程，使得方程f(x)=0f(x)=0恰好有两个实数恰好有两个实数根？若存在，求出实数根？若存在，求出实数a a的值；若不存在，请说明理由的值；若不存在，请说明理由. .【解析解析】(1)f(1)f(x)=-3x(x)=-3x2 2+3+3，令，令f f(x)=0(x)=0，得，得x=-1x=-1或或x=1.x=1.因为当因为当x(-x(-，-1)-1)时，时，f f(x)0(x)0(x)0，当，当x(1x(1，+ +) )时，时，f f(x)0(x)a-2a+2a-2，即函数的极，即函数的极大值大于极小值，所以当极大值等于大值

32、大于极小值，所以当极大值等于0 0时，极小值小于时，极小值小于0 0，此时曲线，此时曲线f(x)f(x)与与x x轴恰有两个交点，即方程轴恰有两个交点，即方程f(x)=0f(x)=0恰好有两个实数根，所以恰好有两个实数根，所以a+2=0a+2=0，a=-2a=-2，如图，如图1 1所示所示. .当当极小值等于极小值等于0 0时，极大值大于时，极大值大于0 0，此时曲线，此时曲线f(x)f(x)与与x x轴恰轴恰有两个交点，即方程有两个交点，即方程f(x)=0f(x)=0恰好有两个实数根，所以恰好有两个实数根，所以a-2=0a-2=0，a=2a=2，如图，如图2 2所示所示. .综上所述，当综上所述，当a=2a=2或或a=-2a=-2时，方程时，方程f(x)=0f(x)=0恰有两个实数恰有两个实数根根. .