2021版新高考数学一轮复习高考大题专项一导数的综合应用课件新人教A版.pptx

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1、高考大题专项高考大题专项( (一一) )导数导数的综合应用的综合应用考情分析必备知识从近五年的高考试题来看,对导数在函数中的应用的考查常常是一大一小两个题目,其中解答题的命题特点是:以三次函数、对数函数、指数函数及分式函数为命题载体,以切线问题、单调性问题、极值最值问题、恒成立问题、存在性问题、函数零点问题为设置条件,与参数的范围、不等式的证明,方程根的分布综合成题,重点考查学生应用分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想及转换与化归思想来分析问题、解决问题的能力.考情分析必备知识1.常见恒成立不等式(1)ln xx-1;(2)exx+1.2.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f

2、(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值;(2)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值;(3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值;考情分析必备知识(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值;(5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域的交集非空;(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g

3、(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域;(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.-6-突破1导数与函数的单调性 题型一求函数的单调区间例1(2019山东菏泽一模,21)已知函数h(x)=ln x-ax(aR).(1)设f(x)=h(x)+ +(a+1)x,求函数f(x)的单调区间;(2)略.-7-8-解题心得利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时,解不等式f(x)0或f(x)0,求出单调区间.(2)当方程f(x)=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分成若干个区间,确定各区间f(x)的符

4、号,从而确定单调区间.(3)若导函数的方程、不等式都不可解,将f(x)中正负不定的部分设为g(x),对g(x)再进行一次或二次求导,由g(x)的正负及g(x)的零点判断出g(x)的正负,进而得出f(x)的正负.-9-对点训练1(2019安徽合肥一模,21)已知函数f(x)=ex-ln(x+1)(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)略.当x(-1,0)时,h(x)=f(x)0,f(x)=ex-ln(x+1)单调递增.函数f(x)的单调递减区间是(-1,0),单调递增区间是(0,+).-10-题型二讨论函数的单调性例2(2019湖北八校联考一,21)已知函数f(x)=x3+

5、 x2-4ax+1(aR).(1)略;(2)若函数h(x)=a(a-1)ln x-x3+3x+f(x),讨论函数h(x)的单调性. -11-12-解题心得在判断函数f(x)的单调性时,若f(x)中含有参数不容易判断其正负时,需要对参数进行分类讨论,分类的标准:(1)按导函数是否有零点分大类;(2)在大类中按导函数零点的大小分小类;(3)在小类中按零点是否在定义域中分类.-13-对点训练2(2019全国3,理20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)略.-14-题型三根据函数的单调性证明函数不等式例3(2018全国3,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2

6、)ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1x0时,f(x)0时,f(x)0;(2)略. 当-1x0时,g(x)0时,g(x)0.故当x-1时,g(x)g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f(x)0,且仅当x=0时,f(x)=0.所以f(x)在(-1,+)单调递增.又f(0)=0,故当-1x0时,f(x)0时,f(x)0.-15-解题心得通过对函数f(x)一次求导或两次求导的方法得到f(x)的单调性,由函数f(x)的单调性证出关于f(x)的函数不等式.-16-对点训练3(2019天津,20)设函数f(x)=excos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区

7、间;(3)略.-17-18-突破2利用导数研究函数的极值、最值题型一讨论函数极值点的个数例1设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中aR.讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.-19-20-则f(x)0,f(x)单调递增,当x(x1,x2)时,g(x)0,则f(x)0,则f(x)0,f(x)单调递增,-21-当a0,函数g(x)的图象如右:由g(-1)=10,可得x10,则f(x)0,f(x)单调递增,x(x2,+)时,g(x)0,则f(x)0,f(x)单调递减,因此,当a0时,函数有一个极值点.综上所述,当a0时,函数有一个极值点;-22-解题心得利用导数求含参数的原函数的单

8、调区间极值最值恒成立问题的步骤:1.求函数定义域;2.求导通分或因式分解或二次求导(目的:把导函数“弄熟悉”);3.对参数分类,分类的层次:(1)按导函数的类型分大类;(2)按导函数是否有零点分小类;(3)在小类中再按导函数零点的大小分小类;(4)在小类的小类中再按零点是否在定义域中分小类.-23-对点训练1(2019河南许昌、洛阳三模,21)已知函数f(x)=(x-1)2+a(ln x-x+1)(a0得x1,由f(x)0得0 x1,f(x)在(1,+)上单调递增,在(0,1)上单调递减,f(x)在x=1处取得极小值,无极大值;-25-题型二求函数的极值、最值例2(2019四川成都七中一模,2

9、1)已知函数f(x)=xsin x+2cos x+ax+2,其中a为常数.(1)略;(2)求函数f(x)在0,上的最小值.-26-解:(2)对x0,f(x)=xcos x-sin x+a,令g(x)=xcos x-sin x+a,g(x)=-xsin x0,所以f(x)在区间0,上单调递减.当a0时,f(x)f(0)=a0,f(x)在区间0,上单调递减,故fmin(x)=f()=a.当a时,f(x)f()=a-0,f(x)在区间0,上单调递增,故fmin(x)=f(0)=4.当0a0,f()=a-0,且f(x)在区间0,上单调递减,结合零点存在定理可知,存在唯一x0(0,),使得f(x0)=0

10、,且f(x)在0,x0上单调递增,在x0,上单调递减.故f(x)的最小值等于f(0)=4和f()=a中较小的一个值.-27-28-解题心得1.由导函数图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f(x)的图象可以看出y=f(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.2.求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值.-29-对点训练2(2019北京海淀4月模拟,18)已知函数f(x)=xln(x+1)-ax2.(1)略;(2)当a-1且

11、a0在(-1,+)上恒成立,所以f(x)在(-1,+)上单调递增.所以x,f(x),f(x)在区间(-1,+)的变化情况如下表:所以当x=0时,f(x)取得极小值,问题得证.-30-所以x,f(x),f(x)在区间(-1,+)的变化情况如下表:所以x=0时,函数f(x)取得极小值,问题得证.-31-题型三已知函数的极(最)值求参数的取值范围例3(2018北京,理18)设函数f(x)=ax2-(4a+1)x+4a+3ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.-32-解:(1)因为f(x)=ax2-(4a+1)x

12、+4a+3ex,所以f(x)=2ax-(4a+1)ex+ax2-(4a+1)x+4a+3ex=ax2-(2a+1)x+2ex.f(1)=(1-a)e.由题设知f(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e0,所以a的值为1.-33-解题心得已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意:(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程(组)求解;(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以求解后必须检验.-34-对点训练3(2019江西重点中学联考一,21)已知函数f(x)= (1-aln x),aR.(1)若f(x)在(0,1上存在极大值点,求实数a的取值范围;(

13、2)略. -35-36-突破3导数在不等式中的应用题型一求函数不等式的参数范围(多考向)类型(一)求单变量函数不等式的参数范围例1(2019河北唐山一模,21)已知函数f(x)=ax- ,aR.(1)若f(x)0,求a的取值范围;(2)略.-37-解题心得首先分离出函数不等式中的参数,然后对不等式另一端的函数求最值,从而得出参数的范围.-38-对点训练1已知函数f(x)=ln x-mx2,g(x)= mx2+x,mR,令F(x)=f(x)+g(x).若关于x的不等式F(x)mx-1恒成立,求整数m的最小值.-39-40-41-例2(2019河北衡水中学质检三,21)已知函数f(x)=ln x-

14、a(x+1),aR在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1)略;-42-解:(2)函数f(x)的定义域为(0,+).h(x)h(1)=1-k,若k1,则h(x)0,g(x)0,g(x)在(1,x0)上单调递减,g(x)g(1)=0,不合题意.-43-若-1k0,必存在x0,使得当x(1,x0)时,g(x)0,g(x)在(1,x0)上单调递增,g(x)g(1)=0恒成立,符合题意.当 1,即kh(1)=1-k0,g(x)0,g(x)在(1,x0)上单调递增,g(x)g(1)=0恒成立,符合题意.综上,k的取值范围是(-,1).-44-解题心得1.在f(x)0的情况下,求a的取值范围求f(x)的

15、导函数确定f(x)的单调区间求f(x)取最小值解不等式f(x)min0得a的范围.2.若f(x)0恒成立,求a的取值范围,即研究a取什么范围能使f(x)0,如果参数a不易分离,通常对a分类讨论,找到使f(x)0的a的取值范围.-45-对点训练2(2019四川成都二模,21)已知函数(1)若f(x)0,求实数a取值的集合;(2)略.-46-当a0时,f(x)0,函数f(x)在(0,+)上单调递增,又f(1)=0.因此0 x1时,f(x)0时,可得f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+)上单调递增,故当x=a时,函数f(x)取得最小值,则f(a)=ln a+1-a.而g(1)=0.因此只有当a

16、=1时,才能满足f(a)=ln a+1-a0.故a=1.故实数a取值的集合是1.-47-类型(二)求双变量不等式的参数范围例3(2019山东潍坊三模,21)已知函数f(x)=x2+aln x-2x(aR).(1)略;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),且f(x1)-mx20恒成立,求实数m的取值范围.-48-49-解题心得对于含有两个变量的不等式恒成立求参数问题,一般要找到两个变量的关系,转化为一个变量,从而得到一个函数;也可以从含有两个变量的不等式中抽象出一个函数是单调函数.对于求参数的范围,可以分离出变量,得到一个不等式,通过函数的最值得参数的范围;如果变量不易分离,可

17、以对参数进行讨论,看参数在什么范围使不等式成立,从而求出参数范围.-50-对点训练3(2019河南郑州一月质检,21)已知函数f(x)=x2-8x+aln x(aR).(1)略; (2)当函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2),且x11时,总有-51-52-53-题型二证明不等式(多考向)类型(一)单变量不等式的证明(1)略;(2)当a=b=1时,证明:xf(x)+20时,ln x-(x-1)+(x+1)-ex0,即xf(x)+2g(x)(xI,I是区间),只需证明f(x)ming(x)max或证明f(x)ming(x)max且两个最值点不相等.-56-对点训练4(2019山西吕梁一模

18、,21)已知函数f(x)=ex-ln x+1.(1)略;(2)证明:f(x)3.-57-58-59-(2)由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,所以x1x2=1,不妨设x11.-60-解题心得证明双变量不等式的基本思路:首先进行变量的转化,即由已知条件入手,寻找双变量所满足的关系式,通过关系式将其中一个变量用另一个变量表示,代入要证明的不等式,化为一个变量的不等式;然后对转化得到的不等式,根据其组成的特点构造函数,再借助导数,判断函数的单调性,从而求其最值,并把最值应用到所证不等式,即可证得不等式.-61-对点训练5(2019

19、河南洛阳三模,21)已知函数f(x)=ln x-kx,其中kR为常数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个相异零点x1,x2(x12-ln x1.-62-(2)证明:因为x1,x2是f(x)的两个零点,所以ln x2-kx2=0,ln x1-kx1=0,所以ln x2-ln x1=k(x2-x1),ln x1+ln x2=k(x1+x2).要证ln x22-ln x1,只要证ln x1+ln x22,即证k(x1+x2)2,-63-64-突破4导数与函数的零点题型一判断、证明或讨论函数零点个数-65-66-解题心得利用导数确定函数零点或方程的根的个数的常用方法(1)构建函数g

20、(x)(要求g(x)易求,g(x)=0可解),转化为确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在性定理,先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.-67-对点训练1(2019安徽合肥一中质检)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)0的解集为x|-1x3,xR.(1)求函数f(x)的解析式;解:(1)f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)0的解集

21、为x|-1x3,xR,设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a0.f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.-68-又因为g(x)在(3,+)上单调递增,因而g(x)在(3,+)上只有1个零点,故g(x)仅有1个零点.-69-例2(2019河南开封一模,21)设函数f(x)=(x-1)ex- x2(其中kR).(1)略;(2)当k0时,讨论函数f(x)的零点个数. -70-解:(2)函数f(x)的定义域为R,f(x)=ex+(x-1)ex-kx=xex-kx=x(ex-k),由f(x)=0,得x=0或x=ln k,当

22、ln k0时,得00时,得k1.当00,解得x0.f(x)在(-,ln k)和(0,+)上单调递增,在(ln k,0)上单调递减.当x(-,0)时,f(x)f(x)max当x(0,+)时,f(2)=e2-2ke2-20.又f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)在(0,+)上有唯一的零点,函数f(x)在定义域上有唯一的零点.-71-当k1时,令f(x)0,解得xln k.所以f(x)在(-,0)和(ln k,+)上单调递增,在(0,ln k)上单调递减.当x(-,ln k)时,f(x)fmax(x)=f(0)=-10,此时f(x)无零点.当x(ln k,+)时,f(ln k)f(0)=-12,

23、则g(t)=et-t,g(t)=et-1,t2,g(t)0,g(t)在(2,+)上单调递增,g(t)g(2)=e2-20,g(t)在(2,+)上单调递增,得g(t)g(2)=e2-20,即f(k+1)0.f(x)在(ln k,+)上有唯一的零点,故函数f(x)在定义域上有唯一的零点.综合知,当k0时,函数f(x)在定义域上有且只有一个零点.-72-解题心得讨论函数零点个数的基本思想是数形结合思想,利用导数研究函数的单调性和极值,根据极值和一些函数值的正负结合函数的单调性模拟函数的图象,根据函数图象与x轴的交点确定零点的个数.-73-74-75-76-题型二已知函数零点个数求参数范围例3已知函数

24、f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 解:(1)f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).若a0,则f(x)0,则由f(x)=0得x=-ln a.当x(-,-ln a)时,f(x)0,所以f(x)在(-,-ln a)上单调递减,在(-ln a,+)上单调递增.-77-78-令h(x)=1-x-ex,h(x)=-1-ex0;当x(0,+)时,g(x)0,求a的取值范围.-83-原函数草图-84-题型三与函数零点有关的证明例4(2019全国1,理20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f(x)为f(x)的导数.证明:(2)f(x)有且仅有2个零点.-85-86-(2)f(x)的定义域为(-1,+).当x(-1,0时,由(1)知,f(x)在区间(-1,0)内单调递增,而f(0)=0,所以当x(-1,0)时,f(x)0,故f(x)在区间(-1,0)内单调递减.又f(0)=0,从而x=0是f(x)在区间(-1,0上的唯一零点.-87-88-(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.-89-