空间几何体的表面积和体积考点讲解及经典例题解析.docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积习题讲解习题讲解一课标要求：一课标要求：了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式） 。二命题走向二命题走向近些年来在高考中不仅有直接求多面体、 旋转体的面积和体积问题， 也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。 即使考查空间线面的位置关系问题， 也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想， 会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题， 会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补

2、法”等求解。考查形式：考查形式：（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；三要点精讲三要点精讲1多面体的面积和体积公式名称侧面积(侧S)全面积(全S)体 积(V)棱柱棱柱直截面周长l底侧SS2hShS截面积底直棱柱chhS底棱棱锥各侧面积之和底侧SShS底31精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业锥正棱锥hc 21棱台棱台各侧面面积之和下底上底侧SSS)(31下底上底下底上底SSSSh正棱台hcc)(21表中 S 表示面积，c、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表

3、示侧棱长。2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球侧Srl2rl)(21rr 全S)1 (2rr)1 (rr)()(222121rrlrr24 rVhr2hr231)(31222121rrrrh334r表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，1r、2r分别表示圆台 上、下底面半径，R表示半径。四典例解析四典例解析题型 1：柱体的体积和表面积例 1一个长方体全面积是 20cm2，所有棱长的和是 24cm，求长方体的对角线长.解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm依题意得：24)(420)(2zyxzxyzxy)2() 1 (由（2）2得：x2

4、+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36（3）精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由（3）（1）得 x2+y2+z2=16即 l2=16所以 l=4(cm)。点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。例 2如图 1 所示，在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，已知 AB=5，AD=4，AA1=3，ABAD，A1AB=A1AD=3。（1）求证：顶点 A1在底面 ABCD 上的射影 O 在BAD 的平分线上；（2）求这个平行六面体的体积。图 1图 2解析：

5、（1）如图 2，连结 A1O，则 A1O底面 ABCD。作 OMAB 交 AB 于 M，作 ONAD 交 AD 于 N，连结 A1M，A1N。由三垂线定得得 A1MAB，A1NAD。A1AM=A1AN，RtA1NARtA1MA,A1M=A1N，从而 OM=ON。点 O 在BAD 的平分线上。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（2）AM=AA1cos3=321=23AO=4cosAM=223。又在 RtAOA1中，A1O2=AA12 AO2=929=29，A1O=223，平行六面体的体积为22345V230。题型 2：柱体的表面积、体积综合问题例 3一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是

6、6, 3,2，这个长方体对角线的长是（）A23B32C6D6解析：设长方体共一顶点的三边长分别为 a=1，b2，c3，则对角线 l 的长为l=6222cba；答案 D。点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素棱长。例 4如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，若 E、F 分别为 AB、AC 的中点，平面 EB1C1将三棱柱分成体积为 V1、V2的两部分，那么 V1V2= _。解：设三棱柱的高为 h，上下底的面积为 S，体积为 V，则V=V1+V2Sh。E、F 分别为 AB、AC 的中点，SAEF=41S,V1=31h(S+41S+41S)=127Sh精选优质文档-倾情为你奉上

7、专心-专注-专业V2=Sh-V1=125Sh，V1V2=75。点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。题型 3：锥体的体积和表面积例 5（2008 山东卷 6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 D(A)9（B）10(C)11(D)12（2008 江西卷 10）连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为 4 的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2 7、4 3，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：弦AB、CD可能相交于点M弦AB、CD可能相交于点NMN的最大

8、值为 5MN的最小值为 1其中真命题的个数为 CA1 个B2 个C3 个D4 个（2008 湖北卷 3）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 BA.38B.328C.28D.332精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业点评：本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想象能力。例 6 （2008 北京，19） （本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD 平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知28BDAD，24 5ABDC（）设M是PC上的一点，证明：平面MBD 平面PAD；（）求四棱锥PABCD

9、的体积（）证明：在ABD中，由于4AD ，8BD ，4 5AB ，所以222ADBDAB故ADBD又平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD 平面ABCD，所以BD 平面PAD，又BD 平面MBD，故平面MBD 平面PAD精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业（）解：过P作POAD交AD于O，由于平面PAD 平面ABCD，所以PO 平面ABCD因此PO为四棱锥PABCD的高，又PAD是边长为 4 的等边三角形因此342 32PO 在底面四边形ABCD中，ABDC，2ABDC，所以四边形ABCD是梯形，在RtADB中，斜边AB边上的高为4 88 554 5，此即为梯形ABC

10、D的高，所以四边形ABCD的面积为2 54 58 52425S故124 2 316 33P ABCDV点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。题型 4：锥体体积、表面积综合问题例 7ABCD 是边长为 4 的正方形，E、F 分别是 AB、AD 的中点，GB 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且 GC2，求点 B 到平面 EFC 的距离？解：如图，取 EF 的中点 O，连接 GB、GO、CD、FB 构造三棱锥 BEFG。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业设点 B 到平面 EFG 的距离为 h，BD4 2，EF 2 2，CO

11、344 23 2。GOCOGC22223 2218422()。而 GC平面 ABCD，且 GC2。由VVB EFGG EFB，得16EFGOh 13SEFB点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B为顶点，EFG 为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。例 8 （2007 江西理，12）如图， 在四面体 ABCD 中， 截面 AEF 经过四面体的内切球 （与四个面都相切的球）球心 O，且与 BC，DC 分别截于 E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥 ABEFD 与三棱锥 AEFC

12、的表面积分别是 S1， S2， 则必有 （）AS1S2BS1S2CS1=S2DS1，S2的大小关系不能确定解：连 OA、OB、OC、OD，则 VABEFDVOABDVOABEVOBEFDVAEFCVOADCVOAECVOEFC又 VABEFDVAEFC，而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，故 SABDSABESBEFDSADCSAEC精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业SEFC又面 AEF 公共，故选 C点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。题型 5：棱台的体积、面积及其综合问题例

13、9 （2008 四川理，19）（本小题满分 12 分）如图， 面 ABEF面 ABCD， 四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形， BAD=FAB=90，BC12AD，BE12AF，G、H 分别是 FA、FD 的中点。()证明：四边形 BCHG 是平行四边形；()C、D、E、F 四点是否共面？为什么？()设 AB=BE，证明：平面 ADE平面 CDE.精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业)解法一：()由题设知，FG=GA,FH=HD.所以GH12AD，又BC12AD,故GHBC.所以四边形BCHG是平行四边形.()C、D、F、E四点共面.理由如下：由BE12AF,G是FA的中

14、点知，BEGF，所以EFBG.由()知BGGH，故FH共面.又点D在直线FH上.所以C、D、F、E四点共面.()连结EG，由AB=BE，BEAG及BAG=90知ABEG是正方形.故BGEA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD平面FABE，因此EA是ED在平面FABE内的射影，根据三垂线定理，BGED.又EDEAE，所以BG平面ADE.由()知，CHBG，所以CH平面ADE.由()知F平面CDE.故CH平面CDE，得平面ADE平面CDE.解法二：由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直.如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正方向建立直角坐标系A-xyz.()设AB=a,BC=b,BE=c，

15、则由题设得A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,b,0),D(0,2b,0),E(a,0,c),G(0,0,c),H(0,b,c).精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业所以，(0, ,0),(0, ,0).GHbBCb 于是.GHBC 又点G不在直线BC上.所以四边形BCHG是平行四边形.()C、D、F、E四点共面.理由如下：由题设知，F(0,0,2c)，所以(,0, ),(,0, ),EFac CHac EFCH .CEFHFDCDFE又，故 、 、 、 四点共面()由AB=BE，得c=a，所以(,0, ),( ,0, ).CHaaAEaa 又(0,2 ,0), 0,0.ADbC

16、H AECH AD 因此即CHAE,CHAD,又ADAE=A,所以CH平面ADE,故由CH平面CDFE，得平面ADE平面CDE.点评：该题背景较新颖，把求二面角的大小与证明线、面平行这一常规运算置于非规则几何体（拟柱体）中，能考查考生的应变能力和适应能力，而第三步研究拟柱体的近似计算公式与可精确计算体积的辛普生公式之间计算误差的问题， 是极具实际意义的问题。 考查了考生继续学习的潜能。例 10 （1） （2008 四川理，8）设,M N是球心O的半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过,N M O作垂线于精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业OP的面截球得三个圆，则这三个圆的面积之比为：(

17、 D )（）3,5,6（）3,6,8（）5,7,9（）5,8,9【解】 ：设分别过,N M O作垂线于OP的面截球得三个圆的半径为123,r r r，球半径为R，则：22222222222212325182,39393rRRRrRRRrRRR222123:5:8:9rrr这三个圆的面积之比为：5,8,9故选 D【点评】 ：此题重点考察球中截面圆半径，球半径之间的关系；【突破】 ：画图数形结合，提高空间想象能力，利用勾股定理；例 11 （2008 四川文，12）若三棱柱的一个侧面是边长为 2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为060的菱形，则该棱柱的体积等于( B )（）2（）2 2（）3

18、2（）4 2【解】 ：如图在三棱柱111ABCABC中，设0111160AA BAAC ，由条件有011160C AB，作111AOABC 面于点O，则0111011coscos6013coscoscos3033AA BAAOB AO16sin3AAO112 6sin3AOAAAAO1 111 1 1012 62 2 sin602 223AOABC A BCA B CVSAO 故选 B精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业【点评】 ： 此题重点考察立体几何中的最小角定理和柱体体积公式， 同时考察空间想象能力；【突破】 ：具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理

19、并能准确应用是解决此题的关键；例 12如图 99，一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高 r，则rR=。解析：水面高度升高 r，则圆柱体积增加R2r。恰好是半径为 r 的实心铁球的体积，因此有34r3=R2r。故332rR。答案为332。点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。题型 7：圆锥的体积、表面积及综合问题例 13已知过球面上, ,A B C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2ABBCCA，求球的表面积。解：设截面圆心为O，连结O A，设球半径为R，则232 32323O A ，在Rt O O

20、A中，222OAO AO O，精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业2222 31()34RR，43R ，26449SR。点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。例 14如图所示，球面上有四个点 P、A、B、C，如果 PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。解析：如图，设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r，圆心为 O，球心到该圆面的距离为 d。在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两互相垂直，且 PA=PB=PC=a,AB=BC=CA=2a,且 P 在ABC 内的射影即是ABC 的中心 O。由正弦定理，得60sin2

21、a=2r,r=36a。又根据球的截面的性质，有 OO平面 ABC，而 PO平面 ABC，P、 O、 O共线， 球的半径 R=22dr 。 又 PO=22rPA =2232aa =33a，OO=R 33a=d=22rR ,(R33a)2=R2 (36a)2，解得 R=23a,S球=4R2=3a2。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业点评：本题也可用补形法求解。将 PABC 补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径 R=23a,下略。题型 9：球的面积、体积综合问题例 15 （1）表面积为324的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面

22、积。（2）正四面体 ABCD 的棱长为 a，球 O 是内切球，球 O1是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球，求球 O1的体积。解： （1）设球半径为R，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，14AA ，2ACa，又24324R，9R ，228 2ACACCC，8a ，64 232 14576S 表（2） 如图， 设球 O 半径为 R， 球 O1的半径为 r， E 为 CD 中点， 球 O 与平面 ACD、 BCD切于点 F、G，球 O1与平面 ACD 切于点 H精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业由题设aGEAEAG3622AOFAEGaRaaR233663，得aR126AO1

23、HAOFRrRarRa36236，得ar2463331728624634341aarVO球点评：正四面体的内切球与各面的切点是面的中心，球心到各面的距离相等。题型 10：球的经纬度、球面距离问题例 19 （1）我国首都靠近北纬40纬线，求北纬40纬线的长度等于多少km？（地球精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业半径大约为6370km）（2）在半径为13cm的球面上有, ,A B C三点，12ABBCACcm，求球心到经过这三点的截面的距离。解： （1）如图，A是北纬40上一点，AK是它的半径，OKAK，设C是北纬40的纬线长，40AOBOAK ，22cos2cos40CAKOAOAKOA

24、42 3.14 6370 0.76603.066 10 ()km答：北纬40纬线长约等于43.066 10 km（2）解：设经过, ,A B C三点的截面为O，设球心为O，连结OO，则OO 平面ABC，32124 323AO ，2211OOOAOA，所以，球心到截面距离为11cm例 16 在北纬45圈上有,A B两点， 设该纬度圈上,A B两点的劣弧长为24R（R为地球半径） ，求,A B两点间的球面距离。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业解： 设北纬45圈的半径为r， 则24rR， 设O为北纬45圈的圆心，BAO，24rR，2224RR，2，2ABrR，ABC中，3AOB，所以，,A

25、 B两点的球面距离等于3R点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。（2008 广东文 18）（本小题满分 14 分）如图 5 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD是圆的直径，60 ,45 ,ABDBDCADPBAD。（1）求线段 PD 的长；（2）若11PCR，求三棱锥 P-ABC 的体积。【解析】 （1）BD 是圆的直径90BAD又ADPBAD,ADDPBAAD,22234sin60431sin3022RBDADDPRBABDR;(2 ) 在Rt BCD中，cos452CDBDR2

26、222229211PDCDRRRPC PDCD又90PDA精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业 PD 底面 ABCD211321231sin 6045222222 24ABCSAB BCRRR三棱锥PABC的体积为2311313133344P ABCABCVSPDRRR.五思维总结五思维总结1正四面体的性质设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的(1)全面积：23aS全；(2)体积：3122aV ；(3)对棱中点连线段的长：ad22；(4)内切球半径：r=ar126；(5)外接球半径：aR46；(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。2 直角四面体的性质有一个

27、三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质：如图，在直角四面体 AOCB 中，AOB=BOC=COA=90，OA=a,OB=b,OC=c。则：不含直角的底面 ABC 是锐角三角形；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业直角顶点 O 在底面上的射影 H 是ABC 的垂心；体积V=61abc；底面ABC=21222222accbba；S2ABC=SBHCSABC；S2BOC=S2AOB+S2AOC=S2ABC21OH=21a+21b+21c;外切球半径R=21222cba；内切球半径r=cbaABCBOCAOBS-SS3圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.如图，圆锥的

28、顶角为，母线与下底面所成角为，母线为 l，高为 h，底面半径为r，则lrlh2sincos9022cossin圆台如图，圆台母线与下底面所成角为，母线为 l，高为 h，上、下底面半径分别为 r 、r，则 h=lsin，r-r=lcos。球的截面用一个平面去截一个球，截面是圆面.(1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业(2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；(3)球心和截面距离 d,球半径 R，截面半径 r 有关系：r=22d-R.4经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆；纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业5. 两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离， 就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度， 我们把这个弧长叫做两点的球面距离两点的球面距离公式： （其中 R 为球半径，为 A,B 所对应的球心角的弧度数）