九年级数学下册第28章圆28.3圆中的计算问题1弧长和扇形的面积习题课件华东师大版20200326546.ppt

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1、28.3 圆中的计算问题1.弧长和扇形的面积1.1.了解扇形的概念了解扇形的概念. .（重点）（重点）2.2.掌握弧长和扇形面积公式，并能灵活应用公式解决问题掌握弧长和扇形面积公式，并能灵活应用公式解决问题. .（重点、难点）（重点、难点）1.1.半径为半径为R R的圆的周长是的圆的周长是2R2R，圆的周长可以看作，圆的周长可以看作360360圆心角圆心角所对的弧长所对的弧长. .【思考思考】 （1 1）那么）那么1 1的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角所对的弧长是多少？提示：提示：(2)n(2)n的圆心角所对的弧长是多少？的圆心角所对的弧长是多少？提示：提示：【总结总结】弧长公式：弧长公式：

2、l=_=_(n(n为圆心角的度数，为圆心角的度数，R R为圆的半为圆的半径）径）2 RR,.360180即n R.180n R1802.2.由组成圆心角的由组成圆心角的_和圆心角和圆心角_所围成的图形所围成的图形叫做扇形叫做扇形. .3.3.半径为半径为R R的圆的面积是的圆的面积是RR2 2，圆的面积可以看作是，圆的面积可以看作是360360的圆的圆心角所对的扇形的面积心角所对的扇形的面积. .【思考思考】（1 1）1 1的圆心角所对的扇形的面积是多少？的圆心角所对的扇形的面积是多少？n n的的圆心角所对的面积是多少？圆心角所对的面积是多少？提示：提示： n n的圆心角所对的面积是的圆心角所

3、对的面积是_._.两条半径两条半径所对的弧所对的弧2R,3602n R360（2 2）圆心角为）圆心角为n n的扇形面积的扇形面积S S和它的弧长和它的弧长l、半径、半径R R有怎样的有怎样的关系？关系？提示：提示：n n的圆心角所对的扇形的面积的圆心角所对的扇形的面积【总结总结】扇形的面积公式：扇形的面积公式：（1 1） （n n为扇形的圆心角的度数，为扇形的圆心角的度数，R R为扇形的半径）为扇形的半径）. .(2) (2) （l为扇形的弧长，为扇形的弧长，R R为扇形的半径）为扇形的半径）. .2n R1 n R1SRR.3602 1802lS_扇形S_扇形2n R3601R2l （打（

4、打“”或或“”）(1)(1)半径越大弧的长度越大半径越大弧的长度越大. .（ ）（2 2）扇形是圆中的弦与所对的弧所组成的图形）扇形是圆中的弦与所对的弧所组成的图形. .（ ）（3 3）1 1圆心角所对的弧是圆心角所对的弧是1 1弧弧. .（ ）（4 4）扇形的面积与弧长和半径有关）扇形的面积与弧长和半径有关. .（ ） 知识点知识点 1 1 弧长公式弧长公式【例例1 1】如图，正方形如图，正方形ABCDABCD的边长为的边长为1 1，其中弧，其中弧DEDE，弧，弧EFEF，弧，弧FGFG的圆心依次为点的圆心依次为点A A，B B，C C（1 1）求点）求点D D沿三条弧运动到点沿三条弧运动到

5、点G G所经过的路线长所经过的路线长. .（2 2）判断直线）判断直线GBGB与与DFDF的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由【思路点拨思路点拨】（1 1）根据弧长的计算公式，代入运算即可）根据弧长的计算公式，代入运算即可（2 2）先证明）先证明FCDFCDGCBGCB，得出，得出G=FG=F，从而利用等量代换，从而利用等量代换可得出可得出GHD=90GHD=90，即，即GBDFGBDF【自主解答自主解答】（1 1）根据弧长公式得所求路线长为：）根据弧长公式得所求路线长为：（2 2）GBDFGBDF理由如下：在理由如下：在FCDFCD和和GCBGCB中，中， FCDFCDGCBGCB（

6、S.A.S.S.A.S.），），G=FG=F，F+FDC=90F+FDC=90，G+FDC=90G+FDC=90，GHD=90GHD=90，GBDFGBDF9019029033180180180 CFCG,FCDGCB,CDCB, 【总结提升总结提升】求弧长求弧长“三步法三步法”1.1.求弧所对圆心角的度数求弧所对圆心角的度数. .2.2.求弧所在圆的半径求弧所在圆的半径. .3.3.依据弧长公式求出弧长依据弧长公式求出弧长. . 知识点知识点 2 2 扇形面积的计算扇形面积的计算【例例2 2】（20132013威海中考）如图，威海中考）如图，CDCD为为O O的直径，的直径，CDABCDAB

7、，垂足为点垂足为点F F，AOBCAOBC，垂足为点，垂足为点E E，AOAO1 1（1 1）求）求C C的大小的大小. .（2 2）求阴影部分的面积）求阴影部分的面积【思路点拨思路点拨】（1 1）根据垂径定理可得）根据垂径定理可得 然后在然后在RtRtCOECOE中求出中求出C C的度数的度数. .(2)(2)连结连结OBOB，根据（，根据（1 1）求出）求出AOBAOB，在，在RtRtAOFAOF中，求出中，求出AF,OF,AF,OF,然后根据然后根据S S阴影阴影=S=S扇形扇形OABOAB-S-SOABOAB求出结果求出结果. .ADBD，1CAOD2，【自主解答自主解答】（1 1）C

8、DCD是是O O的直径，的直径，CDABCDAB， AOBCAOBC，所以，所以C=30C=30. .（2 2）如图，连结）如图，连结OBOB，由（，由（1 1）知）知C=30C=30，AOD=60AOD=60，AOB=120AOB=120，在在RtRtAOFAOF中，中，AO=1AO=1，AOF=60AOF=60，1ADBDCAOD.2，1COEAODCCOE.2 ，31AFOFAB3.22，2AOBAOB1201113SSS13.3602234阴影扇形【总结提升总结提升】利用扇形面积公式的三点注意利用扇形面积公式的三点注意1.1.公式公式 中的中的n n与与360360不带单位不带单位.

9、.2.2.当已知半径和圆心角的度数求扇形面积时，选用公式当已知半径和圆心角的度数求扇形面积时，选用公式当已知半径和弧长求扇形的面积时，选用公式当已知半径和弧长求扇形的面积时，选用公式3.3.根据扇形的面积公式和弧长公式，已知根据扇形的面积公式和弧长公式，已知S S扇形扇形，l，n n，r r四个量四个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量中的任意两个量，都可以求出另外两个量. .2n rS3602n rS.3601Sr.2l题组一：题组一：弧长公式弧长公式1.1.一个扇形的圆心角为一个扇形的圆心角为6060，它所对的弧长为，它所对的弧长为2 cm2 cm，则这个，则这个扇形的半径为扇形的半径为

10、( )( )A.6 cmA.6 cm B.12 cmB.12 cm【解析解析】选选A.A.由扇形的圆心角为由扇形的圆心角为6060，它所对的弧长为，它所对的弧长为2cm,2cm,即即n=60n=60，l=2 cm=2 cm，根据弧长公式根据弧长公式 即即R=6 cm.R=6 cm.C.2 3 cmD. 6 cmn R60 R2,180180 ，得l2.2.如图，在边长为如图，在边长为1 1的正方形组成的网格中，的正方形组成的网格中，ABCABC的顶点都在的顶点都在格点上，将格点上，将ABCABC绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转6060，则顶点，则顶点A A所经过的路所经过的路径长为径长为(

11、)( )1010A.10B.C.D.33【解析解析】选选C.C.根据勾股定理得：根据勾股定理得：ABCABC绕点绕点C C顺时针旋转顺时针旋转6060，顶点顶点A A所经过的路径长为：所经过的路径长为：22AC3110,n r601010.1801803l3.3.（20132013南充中考）点南充中考）点A A，B B，C C是半径为是半径为15 cm15 cm的圆上三点，的圆上三点，BAC=36BAC=36, ,则则 的长为的长为_cm._cm.【解析解析】设圆心为设圆心为O O，则，则BOC=2BAC=72BOC=2BAC=72, , 的长为的长为答案：答案：66BC72156cm .18

12、0 BC4.4.扇形的半径是扇形的半径是9 cm9 cm，弧长是，弧长是3 cm3 cm，则此扇形的圆心角为，则此扇形的圆心角为_度度【解析解析】根据根据 解得：解得：n=60.n=60.答案：答案：6060n rn93180180 ，l5.5.（20132013丽水中考）如图，在丽水中考）如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，BAC=BAC=5454，以，以ABAB为直径的为直径的O O分别交分别交ACAC，BCBC于点于点D D，E E，过点，过点B B作作O O的切线，交的切线，交ACAC的延长线于点的延长线于点F.F.（1 1）求证：）求证：BE=CE.BE=CE.（2 2

13、）求）求CBFCBF的度数的度数. .（3 3）若）若AB=6AB=6，求，求 的长的长. .AD【解析解析】（1 1）连结）连结AE, ABAE, AB是是O O的直径，的直径，AEB=90AEB=90. .即即AEBC.AEBC.又又AB=ACAB=AC，BE=CE.BE=CE.(2) BAC=54(2) BAC=54，AB=AC,ABC=63AB=AC,ABC=63. .又又BFBF是是O O的切线，的切线，ABF=90ABF=90. .CBF=ABF-ABC=27CBF=ABF-ABC=27. .(3)(3)连结连结OD, OA=OD,BAC=54OD, OA=OD,BAC=54,AO

14、D=72,AOD=72. .又又AB=6AB=6，OA=3.OA=3. 的长为的长为AD7236 .1805题组二：题组二：扇形面积的计算扇形面积的计算1.1.（20132013资阳中考）钟面上的分针的长为资阳中考）钟面上的分针的长为1 1，从，从9 9点到点到9 9点点3030分，分针在钟面上扫过的面积是分，分针在钟面上扫过的面积是( )( )【解析解析】选选A.A.111A.B.C.D.24821801S1.36022.2.如图，直径如图，直径ABAB为为6 6的半圆，绕的半圆，绕A A点逆时针旋转点逆时针旋转6060，此时点，此时点B B到了点到了点BB，则图中阴影部分的面积是，则图中阴

15、影部分的面积是( )( )A.3 A.3 B.6B.6C.5 C.5 D.4 D.4【解析解析】选选B.B.由图可得，阴影部分的面积即为扇形由图可得，阴影部分的面积即为扇形BABBAB的面的面积，所以图中阴影部分的面积是积，所以图中阴影部分的面积是26066 .360 3.3.（20122012通辽中考）一个扇形的弧长是通辽中考）一个扇形的弧长是20 cm20 cm，面积是，面积是120 cm120 cm2 2，则这个扇形的半径是，则这个扇形的半径是_【解析解析】由由 知，知，答案：答案：12 cm12 cm1Sr2l2S240r12 cm .20（）l4.4.（20132013凉山州中考）如

16、图，在凉山州中考）如图，在RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=AC=8 8，BC=6BC=6，两等圆，两等圆A A，B B外切，那么图中两个扇形（即阴影外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为部分）的面积之和为_._.【解析解析】C=90C=90，AC=8AC=8，BC=6BC=6，AB=10AB=10，扇形的半径为扇形的半径为5 5，阴影部分的面积阴影部分的面积答案：答案：290525.36042545.5.如图，小正方形构成的网格中，半径为如图，小正方形构成的网格中，半径为1 1的的O O在格点上，则在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为图中阴影部分两个小扇

17、形的面积之和为_（结果保留（结果保留）. .【解析解析】ABCABC是直角三角形，是直角三角形，ABC+BAC=90ABC+BAC=90，两个阴影部分扇形的半径均为两个阴影部分扇形的半径均为1 1，答案：答案：2901S3604阴影146.6.（20132013乐山中考）如图，小方格都是边长为乐山中考）如图，小方格都是边长为1 1的正方形，的正方形，则以格点为圆心，半径为则以格点为圆心，半径为1 1和和2 2的两种弧围成的的两种弧围成的“叶状叶状”阴影图阴影图案的面积为案的面积为_._.【解析解析】如图，连结如图，连结AB,AB,阴影图形的面积可以转化成一个扇形阴影图形的面积可以转化成一个扇形

18、减去一个等腰直角三角形所得的图形面积的减去一个等腰直角三角形所得的图形面积的2 2倍，倍， 同理，另一部分的面积也为同理，另一部分的面积也为-2 2，因此围成的，因此围成的“叶状叶状”阴影图案的面积为阴影图案的面积为2-4.2-4.答案：答案：2-42-4AOBS扇形AOB9041S2 223602 ，7.7.如图如图, ,水平放着的圆柱形排水管的截面半径是水平放着的圆柱形排水管的截面半径是12 cm,12 cm,其中水其中水面高度为面高度为6 cm,6 cm,求截面上有水的弓形面积求截面上有水的弓形面积. .【解析解析】连结连结OA,OB.OA,OB.OE=OC-CE=12-6=6OE=OC

19、-CE=12-6=6（cmcm）, ,在直角在直角AOEAOE中中, ,OA=12 cm,OE=6 cm,OA=12 cm,OE=6 cm,OAE=30OAE=30, ,扇形扇形AOBAOB的面积为的面积为AOBAOB的面积为的面积为则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为AEOA cos 306 3 cm .AOB2 AOE120 ,AB2AE12 3 cm. （）221201248cm360211AB OE12 3636 3 cm2224836 3 cm .（）【变式备选变式备选】如图如图, ,水平放着的圆柱形排水管的截面直径为水平放着的圆柱形排水管的截面直径为1 000 mm,1 000 m

20、m,其中水面宽其中水面宽AB=800 mm,AB=800 mm,则水的最大深度为则水的最大深度为_mm._mm.【解析解析】过过O O点作点作OCAB,COCAB,C为垂足为垂足, ,交交O O于于D,D,连结连结OA,OA,如图所示如图所示. .由题意知由题意知OA=OD=500 mm,AB=800 mm,OA=OD=500 mm,AB=800 mm,OCAB,AC=BC=400 mm,OCAB,AC=BC=400 mm,在在RtRtAOCAOC中中,OA,OA2 2=AC=AC2 2+OC+OC2 2, ,CD=OC+OD=800 mm,CD=OC+OD=800 mm,即水的最大深度为即水的最大深度为800 mm.800 mm.答案答案: :8008002222OCOAAC500400300 mm ,（）【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图所示，如图所示，ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，AB=2RAB=2R，C C，D D为半圆周的三等分点，求阴影部分的面积为半圆周的三等分点，求阴影部分的面积. .提示：提示：观察图形不仔细，将阴影部分看成是扇形而出现错误！观察图形不仔细，将阴影部分看成是扇形而出现错误！