北京历年高考数学圆锥曲线试题理科(共13页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上北京历年高考数学圆锥曲线试题2005（本小题共14分）如图，直线l1：与直线l2：之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2. （）分别用不等式组表示W1和W2； （）若区域W中的动点P（x，y）到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（）设不过原点O的直线l与（）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点. 求证OM1M2的重心与OM3M4的重心重合.l1l2xyO【答案】【详解】解：（I）（II）直线直线,由题意得即由知所以即所以动点P的轨迹方程为（III）当直线与轴垂直时,可设直线的方程为由于直

2、线、曲线C关于轴对称,且与关于轴对称,于是的中点坐标都为,所以的重心坐标都为,即它们的重心重合.当直线与轴不垂直时,设直线的方程为由,得由直线与曲线C有两个不同交点,可知,且设的坐标分别为则设的坐标分别为由从而所以所以于是的重心与的重心也重合.2006（本小题共 14 分） 已知点 M（2，0），N（2，0），动点 P满足条件|PM |PN |=，记动点 P的轨 迹为 W. （）求 W 的方程； （）若 A，B 是W上的不同两点，O 是坐标原点，求、的最小值.解法一： （）由|PM|PN|=知动点 P 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，实 半轴长又半焦距 c=2，故虚半轴长所以 W 的方程为,

3、 （）设 A，B 的坐标分别为, 当 ABx轴时,从而从而当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故 所以 .又因为,所以,从而综上,当AB轴时, 取得最小值2.解法二:(）同解法一. （）设 A，B 的坐标分别为，则, ,则令则且所以 当且仅当,即时”成立.所以、的最小值是2.2007矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为（I

4、I）由解得点的坐标为，因为矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又从而矩形外接圆的方程为（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，所以，即故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长从而动圆的圆心的轨迹方程为2008（19）（本小题共14分）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为l.（）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（）当ABC=60，求菱形ABCD面积的最大值.解：（）由题意得直线的方程为因为四边形为菱形，所以于是可设直线的方程为由得因为在椭圆上，所以，解得设两点坐标分别为，则

5、，所以所以的中点坐标为由四边形为菱形可知，点在直线上， 所以，解得所以直线的方程为，即（）因为四边形为菱形，且，所以所以菱形的面积由（）可得，所以所以当时，菱形的面积取得最大值2009已知双曲线的离心率为，右准线方程为（）求双曲线的方程；（）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.w.k.s.5.u.c.o.m 【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力（）由题意，得，解得，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，所求双曲线的方程为.（）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.

6、o.m 圆在点处的切线方程为，化简得. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 设A、B两点的坐标分别为，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，且， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m . 的大小为.w.k.s.5.u.c.o.m 【解法2】（）同解法1.（）点在圆上，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 圆在点处的切线方程为，化简得.由及得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A、B两点的坐标分别为，则，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

7、， 的大小为.w.k.s.5.u.c.o.m （且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零）.2010在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。19，解：（1）因点B与（-1,1）关于原点对称，得B点坐标为（1，-1）。设P点坐标为，则，由题意得，化简得：。即P点轨迹为：（2）因，可得，又，若，则有，即设P点坐标为，则有：解得：，又因，解得。故存在点P使得与的面积相等，此

8、时P点坐标为或2011已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.解：（）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为离心率为（）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.2012已知曲线.（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，直线与直线交于点，求证：，三点共线.解：（1

9、）原曲线方程可化简得：由题意可得：，解得：（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，解得：由韦达定理得：，设，方程为：，则，欲证三点共线，只需证，共线即成立，化简得：将代入易知等式成立，则三点共线得证。2013已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.2014已知椭圆，（1） 求椭圆的离心率.设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。 所以，从而。因此。故椭圆C的离心率。（）

10、 直线AB与圆相切。证明如下：设点A,B的坐标分别为，其中。因为，所以，即，解得。 当时，代入椭圆C的方程，得， 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。 此时直线AB与圆相切。 当时，直线AB的方程为， 即， 圆心0到直线AB的距离 又，故 此时直线AB与圆相切。2014年（本小题14分）已知椭圆，（1）求椭圆的离心率.（2） 设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。 所以，从而。因此。故椭圆C的离心率。（） 直线AB与圆相切。证明如下：设点A,B的坐标分别为，其中。因为，所以，即，解得。 当时，代入椭圆C的方程，得， 故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。 此时直线AB与圆相切。 当时，直线AB的方程为， 即， 圆心0到直线AB的距离 又，故 此时直线AB与圆相切。专心-专注-专业