函数的来历(共5页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上函数的来历函数是数学领域中的一种关系，这种关系使一个数集里的每一个元素对应到另一个（可能相同的）数集里的唯一元素。函数的概念对于数学和数量学的每一个分支来说都是最基础的。一、函数的发展历史函数由来已久，各国数学家和科学家对函数的定义各有其特点，同时也可知函数的发展历程。十七世纪伽俐略在两门新科学一书中，用文字和比例的语言表达函数的关系。1637年前后，笛卡尔在他的解析几何中，已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但没有提炼函数的概念。1673年，莱布尼兹首次使用“function”（函数）表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等相关几何量。与此

2、同时，牛顿在微积分的讨论中，使用 “流量”来表示变量间的关系 。1718年，约翰柏努利在莱布尼兹函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”1748年，欧拉在其无穷分析引论一书中把函数定义为：“一个变量的函数是由该变量的一些数或常量与任何一种方式构成的解析表达式。”他把约翰贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数和超越函数，还考虑了“随意函数”。1755年，欧拉给出了另一个定义：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数。”1821年，柯西对函数定义是：

3、“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”首先出现了自变量一词，同时指出对函数来说不一定要有解析表达式。1822年，傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新层次。1837年狄利克雷突破了这一局限，认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个确定的值，那么y叫做x的函数。”这个定义避免了函数定义中对依赖关系的描述，以清晰的方式被所有

4、数学家接受。这就是人们常说的经典函数定义。等到康托创立的集合论在数学中占有重要地位之后，奥斯瓦尔德维布伦用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，提出变量可以是数，也可以是其它对象。1914年，豪斯道夫在集合论纲要中用不明确的概念“序偶”来定义函数，其避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念。1921年，库拉托夫斯基用集合概念来定义“序偶”使豪斯道夫的函数定义更严谨。1930 年，新的现代函数定义为“若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为f。元素x称为自变

5、量，元素y称为因变量”中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。是我国清代数学家李善兰在翻译代数学（1859年）一书时，把“function”译成“函数”而来。中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。”所以函数是指公式里含有变量的意思。二、函数的定义（一）传统定义一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数。x的取值范围叫做这个函

6、数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。（二）近代定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称映射f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA或f(A)=y|f(x)=y,yB。其中x叫作自变量，y叫做x的函数，集合A叫做函数的定义域，与x对应的y叫做函数值，函数值的集合f(x) |xA 叫做函数的值域，f叫做对应法则。其中，定义域、值域和对应法则被称为函数三要素。一般书写为y=f（x）, xD 。（三）现代定义设在某一个变化过程中有两个变量元素x和y，M和N是两个给定的非空数集，如果对

7、于数集M中的每一个变量元素x，数集N中的变量元素y按照某种规则总有确定的数值与之对应，则称变量y是变量x的函数。数集M称为这个函数的定义域，数集N称为这个函数的值域，x称为自变量，y称为因变量。y与x之间的等量关系可以用y=f（x）或y=y（x）等表示。三、函数的表示方法（一）解析式法用含有数学关系的等式来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做解析式法。这种方法的优点是能简明、准确、清楚地表示出函数与自变量之间的数量关系；缺点是求对应值时往往要经过较复杂的运算，而且在实际问题中有的函数关系不一定能用表达式表示出来。如：y=ax+b(a0)。（二）列表法用列表的方法来表示两个变量之间函数关系的方法

8、叫做列表法。这种方法的优点是通过表格中已知自变量的值，可以直接读出与之对应的函数值；缺点是只能列出部分对应值，难以反映函数的全貌。（三）图像法把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。这种表示函数关系的方法叫做图象法。这种方法的优点是通过函数图象可以直观、形象地把函数关系表示出来；缺点是从图象观察得到的数量关系是近似的。（四）语言叙述法使用语言文字来描述函数的关系。四、函数的特性（一）有界性：设函数f(x)在区间X上有定义，如果存在M0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f(x)|M，则称f(x)在区间

9、X上有界，否则称f(x)在区间上无界。（二）单调性。设函数f(x)的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递增的；如果对于区间I上任意两点x1及x2，当x1f(x2)，则称函数f(x)在区间I上是单调递减的。单调递增和单调递减的函数统称为单调函数。（三）奇偶性。设f(x)为一个实变量实值函数，若有f(-x)= - f(x)，则f(x)为奇函数；若有f(x)= f(-x)，则f(x)为偶函数。（四）周期性。设函数f(x)的定义域为D。如果存在一个正数T，使得对于任一xD有(xT)D，且f(x+T)=f

10、(x)恒成立，则称f(x)为周期函数，T称为f(x)的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期。（五）连续性。直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。如果输入值的某种微小的变化会产生输出值的一个突然的跳跃甚至无法定义，则这个函数被称为是不连续的函数（或者说具有不连续性）。（六）凹凸性。设函数f(x)在I上连续。如果对于I上的两点xy,恒有f(ax+(1-a)y)af(x)+ (1-a)f(y), f(ax+(1-a)y) 0 ，a1)的函数，定义域为 （-，+），值域为 （0，+） ，a1 时是严格单调增加的函数，0a0，且a1），称a为底 ，

11、定义域为（0，+），值域为 （-，+） 。a1 时是严格单调增加的，0a1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点(1,0)，对数函数与指数函数互为反函数。4、三角函数。三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。它有六种基本函数：正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数和余割函数。5、反三角函数。反三角函数包括反正弦函数，反余弦函数，反

12、正切函数，反余切函数，反正割函数和反余割函数 。6、常数函数。常数函数（也称常值函数）是指值不发生改变（即是常数）的函数。例如，我们有函数f(x)=4，因为f映射任意的值到4，因此f是一个常数。一般地，对一个函数f: AB，如果对A内所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那么，f是一个常数函数 。（三）常用函数1、实函数。实函数指定义域和值域均为实数域的函数。实函数的特性之一是可以在坐标上画出图形。2、双曲函数。双曲函数是一类与三角函数（也叫圆函数）类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh，从它们可以导出双曲正切函数tanh等，其推导类似于三角函数的推导。3、隐

13、函数。隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。设F（x,y）是某个定义域上的函数。如果存在定义域上的子集D，使得对每个x属于D，存在相应的y满足F(x,y)=0，则称方程确定了一个隐函数。记为y=y(x)。 显函数是用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数而言。4、多元函数。多元函数（n-元函数）是指输入值为n-元组的函数。或者说，若一函数的输入值域为n个集合的笛卡尔积的子集，这函数就是n-元函数。5、复合函数。设函数y=f(x)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x)的定义域为Dx，值域为Mx，如果MxDu，那么对于MxDu内的任意一个x经过u;有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y

14、之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数，记为:y=fg(x)，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)。6、反函数。一般地，设函数y=f(x)(xA)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数，记作y= y= f（x）。反函数y= f（x）的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。7、分段函数。在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同解析式子来表示的一个函数，称为分段函数。分段函数的定义域是各段定义域的并集 。8、其他函数。另外经常用到的函数还有高斯函数，阶梯函数和脉冲函数等。专心-专注-专业