函数的概念与幂函数、指数函数、对数函数(共22页).doc

《函数的概念与幂函数、指数函数、对数函数(共22页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《函数的概念与幂函数、指数函数、对数函数(共22页).doc（22页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选优质文档-倾情为你奉上第一轮复习 函数的概念与幂函数、指数函数、对数函数【考向指引】 高考内容几乎覆盖了中学阶段的所有知识，涉及函数的所有性质，以考查通法为主，一般来说，考查基本方法的基础题多采用选择、填空题；函数与其他知识（如方程、不等式、数列、导数等）的综合题，难度较大，能力要求较高，常采用解答题。纵观近年高考函数的考查和命题改革特点，复习时应注意以下几个方面：1 函数解析式的求法和分段函数的求法；2 函数五大性质，特别是函数的对称性、周期性、复合函数的单调性、函数图象等；3 指数函数、对数函数、幂函数的概念、图象、性质及其应用；4 函数、导数、数学模型与代数推理等交汇问题。5 函数与

2、方程问题是近几年考查的重点和热点，通过考查这部分知识，融入数形结合、分类讨论、化归与转化等数学思想和方法；6 函数的图象与性质是每年高考的必考内容，主要考查对函数图象的识别和对性质的理解，以及利用函数的图象与性质解决数学综合问题的能力。预测2012年函数的图象与性质内容仍然会重点考查，并可能更侧重于综合运用函数的图象与性质解决问题能力的考查。第一讲 函数及其表示（一）【考点解读】1 函数1) 函数的定义：设是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作：。其中的取值范围叫做函数的定义域，函数值的集合叫

3、做函数的值域。2) 函数的三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，因定义域与对应关系决定了值域，所以，只要两个函数的定义域相同，对应关系完全一致，就称这两个函数相等。 掌握函数的三种表示方法列表法、解析法和图象法。若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个不同的式子来表示，这种表示形式的函数叫做分段函数。 判断两个函数是否相等，关键是看定义域与对应法则是否一致。2 映射的概念 设是两个非空集合，如果按照某一确定的对应关系，对于集合中的任意一个元素，在集合中都有唯一确定的元素和它对应，那么就称为从集合到集合的一个映射。 映射是一种特殊的对应，映射中的集合可以是数集，也可以是点集或

4、其他集合，这两个集合有先后次序，到的映射与到的映射是不同的；函数是数集到数集的映射。3 区间 设是两个实数，且，我们规定：1) 满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为；2) 满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为；3) 满足不等式的实数的集合叫做半开半闭区间，分别表示为。【典例】映射概念1 设集合，集合=“正实数集”，则从集合到的映射只可能是 （ ） A、 B、 C、 D、函数概念2 试判断以下各组函数是否是相等函数？1) ；2) ；3) ；4) 。分段函数3 已知函数，若，求。求函数解析式4 根据下列给出的条件，求函数的解析式：1) 已知是一次函数，且满足；2) 已知；3) 已知满足，求

5、.。【练习】1 设，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合到集合的函数关系的是 。（填序号）。 2 若对于任意实数恒有，求的解析式。3 已知函数，求和的解析式。第二讲 函数及其表示（二）【知识梳理】1. 函数的表示方法表示函数的方法，常用的有列表法、图像法和解析式法三种。2. 函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。通常，求函数的定义域的主要依据有：1) 分式的分母不能为0； （）2) 偶次方根的被开方数大于或等于0； （）3) 对数函数的真数必须大于0； （）4) 指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1； （）5) 三角函数的正切函数； 6) 由实际问题确定

6、函数的定义域，不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义。注意：A. 如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。B. 对于含有字母的函数求定义域，或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母的取值情况进行讨论；C. 研究函数问题必须遵循“定义域优先”的原则。3. 函数的值域在函数中，与自变量相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。函数的值域是由定义域和对应法则确定。4. 分段函数在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，则称这个函数为分段函数。5. 求函数表达式的主要方法有：A. 待定系数法（若已知函数解析式的类型时）；

7、B. 换元法（若已知复合函数的表达式时，但这时要注意“元”的取值范围）；C. 消参数法等（若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组、消参的方法）。许多实际应用题需要建立函数解析式，这时要根据题中给定的条件，设定自变量列出函数解析式，并且要根据实际情况写出函数的定义域。【典例】函数的定义域1. 求下列函数的定义域：（1）； （2）函数的值域2. 求下列函数的值域： （1）； （2）； （3）。实际问题给出的函数解析式及其定义域3. 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为（）层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）。为了

8、使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）函数表示方法的转化4. 某上市股票在30天内每股的交易价格（元）与时间（天）组成有序数对，点落在下图中的两条线段上，该股票在30天内（包括30天）的日交易量（万股）与时间（天）的部分数据如下表所示。1) 根据提供的图像，写出该种股票每股交易价格（元）与时间（天）所满足的函数关系式；2) 根据表中数据确定日交易量（万股）与时间（天）的一次函数关系式； 3) 在2）的结论下，用（万元）表示该股票日交易额，写出关于的函数关系式。【练习】1 函数的值域是，则的定义域是 。2 已知，则的

9、解析式为 。3 函数的值域是 。4 如下图，在边长为4的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动，设的移动的路程为，的面积为。1) 求的面积与移动的路程间的函数关系式；2) 作出函数的图象，并根据图象求的最大值。5 某租赁公司拥有汽车100辆。当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。1) 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？第三讲 函数的基本性质（一）【知识梳理】1

10、一般地，设函数的定义域为：如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，当时，1) 若都有，那么就说函数在区间上是单调递增；2) 若都有，那么就说函数在区间上是单调递减。2 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间； 注意：讨论函数的单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性，应首先确定函数的定义域； 证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可用单调函数的定义，具体方法常用作差比较或作商比较法，运用导数是大纲要求的；注意定义的如下形式：上是增函数； 上是减函数。3 最大、最小值 一般地，设函数的定义

11、域为：如果存在实数满足： （1）对任意的，都有； （2）存在，使得，那么我们就称为函数的最大值； 一般地，设函数的定义域为：如果存在实数满足： （1）对任意的，都有； （2）存在，使得，那么我们就称为函数的最小值； 注：用函数的单调性比较大小是函数单调性的应用之一，除此之外在求函数值域与最值等方面也常运用此性质。4 复合函数的单调性 设都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定。即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增增增增减减减增减减减增【典例】函数单调性的证明1 已知函数。1) 证明在上是增函数；2) 求在上的最大

12、值及最小值。函数单调区间的确定2 求下列函数的单调区间：（1）， （2）， （3）。已知单调性，求参数的取值范围3 已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围。抽象函数单调性的证明与应用4 已知函数是定义在上的奇函数，且在定义域上是减函数。1) 求函数定义域；2) 若，求的取值范围。【练习】1 已知定义在上的函数单调递增，则满足的取值范围是 。2 已知函数在上为增函数，则的取值范围为 。3 已知函数。1) 试判断它的单调性；2) 试求它的最小值。第四讲 函数的基本性质（二）【知识梳理】1 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数，其函数的图象关于轴对称； 一般地，如果对

13、于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数，其函数的图象关于原点对称； 用定义判断函数奇偶性的步骤如下： 考查定义域是否关于原点对称；（前提） 判断是否成立（或是否成立）。2 在公共定义域内，两个偶（奇）函数的和（差）仍是偶（奇）函数，两个偶（奇）函数的积是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积是奇函数。1) 函数的奇偶性和单调性的相关关系： 奇函数在上有相同的单调性；偶函数在上有相反的单调性。2) 解题中要注意以下性质的灵活运用： 为偶函数； 若奇函数在时有定义，则。 3 特例：（常数）是偶函数，当时，既是奇函数又是偶函数。 函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数的整体性质；函数的单

14、调性是对整个定义域或其子区间而言的，是函数的局部性质。4 周期性：如果，所以此函数的周期为。【典例】判断函数的奇偶性1 判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）函数奇偶性的应用2 已知函数为定义在上的偶函数，当时，求当时的解析式。抽象函数的奇偶性及应用3 已知函数对于一切，都有。 （1）求证：为奇函数； （2）若，用表示。函数的奇偶性、周期性与对称性的综合应用4 设是上的奇函数，对任意实数，都有，当时，。 （1）求证：直线是函数图象的一条对称轴； （2）当时，求函数的解析式。【练习】1 已知：是上的奇函数，且满足，当时，则= 。2 设定义在上的函数的最小正周期为2，且在区间内单调递减

15、，试比较和的大小。3 已知定义域为上的函数是奇函数。 （1）求的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围。第六讲 幂函数、指数函数、对数函数【知识梳理】1 函数叫做指数函数，其中是自变量，定义域为。其图象和性质如下表：图像性质定义域是R,值域是（0，+）恒过点即时在R上是增函数在R上是减函数2 函数叫做对数函数，其中是自变量，定义域为。其图象和性质如下表： 对数的运算性质：（都是正数，） （换底公式） 注意灵活运用！3 函数叫做幂函数，其中是自变量，考纲只要求掌握幂函数的图象、性质及其简单应用。 当时，的图象过（0,0）点，且在上是增函数； （特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂

16、函数的图象上凸。） 当时，的图象在上是减函数。【典例】指数、对数函数单调性的比较1 试比较三个数的大小，并且说明理由。指数式的运算2 化简或求值 （1）； （2）对数式的运算3 求值 （1）； （2）指数、对数式的互化4 设，求的值。指数、对数函数图象及性质的应用5 （1）已知，若函数的定义域恰为，求的值域。 （2）已知函数在上的最大值比最小值大2，求常数的值。指数、对数函数图象及性质的应用6 已知函数，在区间上的最大值为14，求的值。【练习】1 设，则= 。2 设，则由小到大顺序是 。3 已知幂函数的图象过点，则的值为 。4 若函数的反函数的图象过点，则的最小值是 。5 已知，求的值。6 函

17、数在区间上的最大值与最小值之差为，求的值。7 求函数的最大和最小值。8 （10 全国）已知函数。若且，则的取值范围是 （ ） A、 B、 C、 D、第十一讲 函数与方程【知识梳理】1 方程的根与函数的零点1) 函数零点概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点。零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点。既存在，使得，这个也就是方程的根。2) 函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以

18、将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。【典例】利用函数图象解决方程的根的个数问题1 判断方程的实根的个数。函数的零点问题2 若函数只有一个零点，求实数的值。二次方程根的分布问题3 若关于的方程的一个根大于-2而小于0，另一根大于1而小于3，试求的取值范围。【练习】1 函数，如果，有且只有一个零点，那么实数应满足 （ ） A、 B、 C、 D、2 已知函数的零点分别为，则的大小关系是 。3 函数在区间（1,2）上有且只有一个零点，那么实数的取值范围是 。4 如果方程在上有解，求的取值范围。第十二讲 函数的综合问题【知识梳理】在准确、深刻地理解函数的概念及其性质的基础上，认识和揭示函

19、数与其他数学知识的联系，学会运用函数的观点和函数的思想方法去分析和处理问题，包括：1 求函数的最值；2 用函数的观点研究方程和不等式；3 用函数的方法研究数列（特殊函数）；4 构造或引入适当的函数解题；5 建立函数关系式解决实际问题等。 函数知识几乎渗透到中学数学的各个环节，与其他知识互相渗透，互相融合。在解决综合性问题时，应善于应用函数与方程的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想、转化与化归的思想来分析和解决问题。这部分内容在高考中多以解答题形式出现，有一定的难度。【典例】复合函数的定义域与奇偶性1 已知函数1) 求的定义域；2) 讨论的奇偶性。复合函数、数列和不等式的综合应用2 已知函数的

20、零点是0.1) 若成等差数列，求的值；2) 将的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若三个正数成等比数列，求证。含参数二次函数的最值问题3 已知在区间内有最大值-5，求的值。含参二次函数的综合应用4 已知函数对任意实数，函数值恒大于0，求实数的取值范围。分段函数的单调性问题5 （2010 天津）若函数，若，求实数的取值范围。利用函数解决实际问题6 某种新药服用血液中的残留量为，如图为函数的图象，在时为二次函数，且当时到达顶点；在时为一次函数，当血液中药物残留量不小于240时，治疗有效。1) 求函数的解析式；2) 设某人上午8:00第一次服药，为保证疗效，试分别计算出第二次的时间。函数与方程的

21、综合应用7 已知函数，若，求的取值范围。【练习】1 （2010 山东）函数的值域为 （ ） A、 B、 C、 D、2 若为偶函数，则在区间（-3,1）上 （ ） A、单调递增 B、单调递减 C、先增后减 D、先减后增3 （2008 山东）函数的图象是 （ ） 4 函数零点的个数是 个。5 若偶函数的周期是4，在上是减函数，则在上的单调性是 。6 （2010 山东）设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则= 。7 已知函数是定义在上的偶函数。当时，则当时， 。8 函数在区间上有最大值2，求实数的值。9 设函数，若对任意均有，求实数的取值范围。10 已知，若时，恒成立，求的取值范围。11 已知函数

22、，其中是大于零的常数。1) 求函数的定义域；2) 当时，求函数在上的最小值。12 已知二次函数满足条件：，且方程有等根。1) 求的解析式；2) 是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。13 （2010 广东）已知函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式。1) 求的值；2) 写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性。14 已知二次函数，若，且对任意实数均有成立。1) 求的表达式；2) 当时，是单调函数，求的取值范围。第十三讲 函数的应用性问题【知识梳理】与函数有关的应用性问题一直是近几年高考的重点考查内容之一。此类问题一般是通过分析题目中的

23、数量关系，适当引用参变量，建立函数关系式（包括定义域），综合运用数学知识进行解答，最后将所求的数学结果表述成实践问题的答案。涉及的函数模型常有：一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、对数函数、分段函数等。函数应用问题常常与不等式等问题相结合。求解应用性问题的一般步骤是：1 审明题意：分析题目中的条件和结论，理顺有关的数量关系；2 建立模型：将文字语言、图表语言等转化成数学符号语言，建立适当的数学模型；3 求解模型：求解数学模型，得到数学问题的结论；4 简要作答：将所得的数学结论还原为实际问题的意义。【典例】基本不等式与函数1 机动车辆通过大桥，为了安全，同一股道上的两辆车的间距不得小于，其中

24、是车速，是平均车身长度，为比例系数。已测定：车速为60时，安全车距为1.44 问：应规定怎样的车速可使同一股道上的车流量最大？（车流量即单位时间内通过的车辆数）。单利与复利2 某公司计划投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率是9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？5年后，这种投资比另一种投资可多得利息多少万元？不同增长的模型的比较3 90年代，政府间气候变化专业委员会（）提供的一项报告指出：使全球气候逐年变暖的一个重要因素是人类在能源利用与森林砍伐中使浓度增加。据测，1990年、1991年、19

25、92年大气中的浓度分别比1989年增加了1个可比单位、3个可比单位、6个可比单位。若用一个函数模拟90年代中每年浓度增加的可比单位数与年份增加数的关系，模拟函数可选用二次函数或函数，且又知1994年大气中的浓度比1989年增加了16个可比单位，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好？分段函数4 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。1) 当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？2) 设一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式；3) 当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂出厂一个零件的利润=实际出厂单价成本）【练习】 某租赁公司拥有汽车100辆。当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆。租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。1) 当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？2) 当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？专心-专注-专业