高中数学联赛平面几何定理(共4页).docx

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1、精选优质文档-倾情为你奉上鸡爪定理：设ABC的内心为I，A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。由内心和旁心的定义可知IBC=ABC/2，JBC=(180-ABC)/2IBC+JBC=ABC/2+90-ABC/2=90=IBJ同理，ICJ=90IBJ+ICJ=180IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径AK平分BACKB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）又IBK=IBC+KBC=ABC/2+KAC=ABI+BAK=KIBKB=KIIBJC四点共圆 且 KB=KI=KC点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等）KB=KI=K

2、J=KC鸡爪定理逆定理：设ABC中BAC的平分线交ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在ABC的内部，J在ABC的外部。则I是ABC的内心，J是ABC的旁心。证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。取ABC的内心I和旁心J，根据定理有KB=KC=KI=KJ又KB=KI=KJI和I重合，J和J重合即I和J分别是内心和旁心。蝴蝶定理：设S为圆内弦AB的中点，过S作弦EF和CD。设CF和DE各相交AB于点M和N，则S是MN的中点。过O作OLED，OTCF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，易明ESDCSF证法1:霍纳证法 ES/CS=ED/FC根据垂径定理

3、得：LD=ED/2，FT=FC/2ES/CS=EL/CT又E=CESLCSTSLN=STMS是AB的中点所以OSABOSN=OLN=90O，S，N，L四点共圆，（一中同长）同理，O，T，M，S四点共圆STM=SOM，SLN=SONSON=SOMOSABMS=NS西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。证明一：ABC外接圆上有点P，且PEAC于E，PFBC于F，PDAB于D，分别连FE、FD、BP、CP.易证P、B、D、F和P、F、

4、C、E分别共圆，（四点共圆）在PBDF圆内，DBP+DFP=180度，在ABPC圆内ABP+ACP =180度，DFP=ACP ，在PFCE圆内 PFE=PCE 而ACP+PCE=180 DFP+PFE=180， 即D、F、E共线。反之，当D、F、E共线时，由可见A、B、P、C共圆。九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。作图如下:ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N,垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R(思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90)证

5、明:(由中位线)PMCH，LMAB，又CHABPMLM，又PDLDPMDL共圆。(由中位线)PRAC，LRBH，BHAC，所以PRLRPMRDL五点共圆。PE为RtAHE斜边中线PEA=PAE同理LEC=LCE所以PEL=180ADCLEP等于90PEMRDL六点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点O为外心，OL平行等于AH一半(小定理)所以OL平行等于PHOLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点。托勒密定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。在任

6、意凸四边形ABCD中(如右图)，作ABE使BAE=CAD ABE= ACD,连接DE.则ABEACD所以 BE/CD=AB/AC,即BEAC=ABCD (1)由ABEACD得AD/AC=AE/AB,又BAC=EAD,所以ABCAED.BC/ED=AC/AD,即EDAC=BCAD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=ABCD+ADBC又因为BE+EDBD(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即托勒密定理)三弦定理：圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P，则：ABsinCAP +ACsinBAP= ADsinBAC。证明如下;连BD、CD

7、, 由圆的相交弦定理ABPCDPAB/CD=AP/CPABCP=CDAPABCP-CDAP=0同理ACBP-BDAP=0, 所以有AB(ABCP-CDAP)=0, AC(ACBP-BDAP)=0,两式相加ABABCP + ACACBP=ABCDAP +ACBDAP=AP(ABCD+ACBD)=APBCAD(托氏定理)。由AC外分BAP, 由分角定理(sinCAP/ sinBAC)=(CP/BC) (AB/AP), (ABsinCAP/ sinBAC)=(CP/BC) (ABAB/AP), 同理有, 由AB外分CAP, 由分角定理(ACsinBAP/ sinBAC)=(BP/BC) (ACAC/AP), 由+(ABsinCAP+ ACsinBAP) / sinBAC=( ABABCP+ ACACBP)/BCAP,由( ABABCP+ ACACBP)/BCAP=AD, 所以(ABsinCAP+ ACsinBAP) / sinBAC=AD, 所以,ABsinCAP+ ACsinBAP= ADsinBAC。证毕。专心-专注-专业