数学公式.doc

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1、 新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 数学公式数学公式在数学学习中，很多同学反映公式的总结性不够，所以本人在此列出常用公式，供大家参在数学学习中，很多同学反映公式的总结性不够，所以本人在此列出常用公式，供大家参考考集合部分1.德摩根公式 .();()UUUUUUCABC AC B CABC AC B2.UUABAABBABC BC AUAC B UC ABR3.若=,则的子集有个,真子集有(1)个,非空真子集有(2)个123,na a aa2n2n2n函数部分4.二次函数的解析式的三种形式 一般式 ；2( )(0)f xaxbxc a顶点式 ；2( )()(0)f xa xhk

2、a零点式 .12( )()()(0)f xa xxxxa三次函数的解析式的两种形式 一般式；32( )(0)f xaxbxcxd a零点式 123( )()()()(0)f xa xxxxxxa5.设那么2121,xxbaxx上是增函数；1212()()()0xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在上是减函数.1212()()()0xxf xf x1212()()0( ),f xf xf xa bxx在设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，)(xfy 0)( xf)(xf0)( xf则为减函数.)(xf6.函数的图像的对称性：( )yf x函数的图像关

3、于直线对称( )yf xxa()()f axf ax(2)( )faxf x函数的图像关于直对称( )yf x2abx.()()f axf bx()( )f abxf x 函数的图像关于点对称( )yf x( ,0)a( )(2)f xfax 函数的图象关于点对称( )yf x( , )a b( )2(2)f xbfax7.两个函数图象的对称性:函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.( )yf x()yfx0x y函数与函数的图象关于直线对称.()yf mxa()yf bmx2abxm特殊地： 与函数的图象关于直线对称()yf xa()yf axxa函数的图象关于直线对称的解析式为( )yf

4、xxa(2)yfax新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 函数的图象关于点对称的解析式为( )yf x( ,0)a(2)yfax 函数和的图象关于直线对称.)(xfy )(1xfyxy 对数与指数部分8.分数指数幂 （，且）.m nmnaa0,am nN1n （，且）. 1m n m na a0,am nN1n 9. .log(0,1,0)b aNbaN aaNlogloglogaaaMNMN(0.1,0,0)aaMNlogloglogaaaMMNN(0.1,0,0)aaMN10.对数的换底公式 .推论 .logloglogm a mNNaloglogmn aanbbm对数恒等式（

5、）logaNaN0,1aa数列部分11. 数列的通项与其前项的和之间的关系：nanannS(数列的前项的和为). )2() 1(11 nSSnSannnnannnaaaS2112.等差数列的通项公式； na* 11(1)()naanddnad nN13.等差数列的变通项公式 nadmnaamn)( 对于等差数列，若，(为正整数) naqpmnqpnm,则.qpmnaaaa14.若数列是等差数列，是其前项的和，那么， nanSn*Nk kSkkSS2成等差数列。如下图所示：kkSS23 kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321其前项和公式 .n1() 2n nn

6、 aas1(1) 2n nnad2 11()22dnad n15.数列是等差数列,数列是等差数列= nanaknb nanS2AnBn16设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项的和，是前项的和，则 na奇S偶SnSn有如下性质：前 n 项的和 1偶奇SSSn当 n 为偶数时，其中 d 为公差； 2d2nS奇偶S新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 当 n 为奇数时，则， 3中偶奇aSS中奇a21nS中偶a21nS11 SSnn偶奇（其中是等差数列的中间一项）.n偶奇偶奇偶奇SSSSSSSn 中a17若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为， na12 n12 nS nb12

7、n 12 nS则. 1212nnnn SS ba18.等比数列的通项公式； na1*1 1()nn naaa qqnNq等比数列的变通项公式 namn mnqaa其前 n 项的和公式或.11(1),11 ,1nnaqqsqna q 11,11 ,1nnaa qqqs na q 19. 对于等比数列，若(n,m,u,v 为正整数)，则 navumnvumnaaaa也就是：。如图所示：23121nnnaaaaaannaanaannaaaaaa112,1232120. 数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么，成等 nanS*Nk kSkkSS2kkSS23比数列。如下图所示： kkkkkSSSkk

8、SSkkkaaaaaaaa3232k31221S321三角函数部分21. 同角三角函数的基本关系式 ，=，22sincos1tan cossin. tan1cot2 211tancos22. 正弦、余弦的诱导公式；21 2( 1) sin,sin()2( 1)cos ,nnnnn 为偶数为奇数21 2( 1) cos ,cos()2( 1)sin,nnnnn 为偶数为奇数即：奇变偶不变,符号看象限,如cos()sin,sin()cos22 sin()sin,cos()cos 23. 和角与差角公式新东方网（高考）频道 http:/ http:/ ；sin()sincoscossin；cos()

9、coscossinsin.tantantan()1tantan(平方正弦公式)；22sin()sin()sinsin.22cos()cos()cossin=(辅助角所在象限由点的象限决定,).sincosab22sin()ab( , )a btanb a24. 二倍角公式 .sin22sincos.（升幂公式）2222cos2cossin2cos11 2sin （降幂公式）221 cos21 cos2cos,sin22.22tantan21tan25.万能公式:, *22tansin21tan221tancos21tan26.半角公式:sin1 costan21 cossin 27. 三函数的

10、周期公式 函数，xR 及函数，xR(A,为常数，且sin()yAxcos()yAxA0，0)的周期；若 未说明大于 0,则2T 2 |T 函数，(A,为常数，且 A0，0)的周期tan()yx,2xkkZ.T 28. 的单调递增区间为单调递减区间为sinyx2,222kkkZ，对称轴为,对称中心为32,222kkkZ()2xkkZ,0k()kZ29. 的单调递增区间为单调递减区间为cosyx2,2kkkZ，2,2kkkZ对称轴为,对称中心为()xkkZ,02k()kZ30. 的单调递增区间为，对称中心为tanyx,22kkkZ(,0)()2kkZ新东方网（高考）频道 http:/ http:/

11、 31. 正弦定理 2sinsinsinabcRABC32. 余弦定理；2222cosabcbcA2222cosbcacaB.2222coscababC33.面积定理（1）（分别表示 a、b、c 边上的高）.111 222abcSahbhchabchhh、（2）.111sinsinsin222SabCbcAcaB34.三角形内角和定理 在ABC 中，有.()222CABABCCAB222()CAB35.平面两点间的距离公式=(A，B).,A Bd|ABAB AB 22 2121()()xxyy11( ,)x y22(,)xy36.向量的平行与垂直 设 a=,b b=，且 b0 0，则11( ,

12、)x y22(,)xyabb=a .12210x yx yab( (a0)0)ab= =0.12120x xy y37.若则 A,B,C 共线的充要条件是 x+y=1OAxOByOB 38. 三角形的重心坐标公式 ABC 三个顶点的坐标分别为、11A(x,y)22B(x,y),则ABC 的重心的坐标是.33C(x,y)123123(,)33xxxyyyG不等式部分不等式部分41.常用不等式：（1）(当且仅当 ab 时取“=”号), a bR222abab（2）(当且仅当 ab 时取“=”号), a bR2abab（3）3333(0,0,0).abcabc abc（4）注意等号成立的条件baba

13、ba（5）222(0,0)1122ababababab （6），等号当且仅当时成立 niininiiiibaba121122)()()()21(nikbaii，42.最值定理已知都是正数，则有yx,新东方网（高考）频道 http:/ http:/ （1）如果积是定值，那么当时和有最小值；xypyx yx p2（2）如果和是定值 ，那么当时积有最大值.yx syx xy2 41s43.一元二次不等式，如果与20(0)axbxc或2(0,40)abac a同号，则其解集在两根之外；如果与异号，则其解集2axbxca2axbxc 在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.；121212()()

14、0()xxxxxxxxx.121212,()()0()xxxxxxxxxx或44.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有.22xaxaaxa 或.22xaxaxaxa 45.无理不等式（1）( )0 ( )( )( )0( )( )f x f xg xg xf xg x （2）.2( )0( )0( )( )( )0( )0( ) ( )f xf xf xg xg xg xf xg x或（3）. *2( )0 ( )( )( )0( ) ( )f x f xg xg xf xg x 46.指数不等式与对数不等式 (1)当时,1a ； .( )( )( )( )f xg xaaf xg x( )

15、0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x (2)当时,01a；( )( )( )( )f xg xaaf xg x( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x 解析几何部分解析几何部分47.斜率公式 （、）2121yykxx111( ,)P x y222(,)P xy直线的方向向量 v=(a,b),则直线的斜率为=k(0)baa48.直线方程的五种形式:（1）点斜式 (直线 过点，且斜率为)11()yyk xxl111( ,)P x yk新东方网（高考）频道 http:/ http:/ （2）斜截式

16、(b 为直线 在 y 轴上的截距).ykxbl（3）两点式 ()(、 ().112121yyxx yyxx12yy111( ,)P x y222(,)P xy12xx（4）截距式1( ,xya bxyabab分别为轴轴上的截距, 且0,0)（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0AxByC49.两条直线的平行和垂直 （1）若，111:lyk xb222:lyk xb;.121212,llkk bbA12121llk k (2)若,1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC；121221122100llABA BACA CA且1212120llA AB B50.夹角公式 .(

17、，,)212 1tan|1kk k k111:lyk xb222:lyk xb121k k (,).12211212tanABA B A AB B1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC12120A AB B直线时，直线 l1与 l2的夹角是.12ll2直线 l1到 l2的角是(，,)212 1tan1kk k k111:lyk xb222:lyk xb121k k 51.点到直线的距离 (点,直线 ：).0022|AxByCd AB 00(,)P xyl0AxByC52两条平行线的间距离 (直线：).2122|CCd AB l1122120,0,)AxByCl AxByCCC5

18、3. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 .222()()xaybr（2）圆的一般方程 (0).220xyDxEyF224DEF（3）圆的参数方程 .cos sinxar ybr （4）圆的直径式方程 (圆的直径的端点是1212()()()()0xxxxyyyy、).11( ,)A x y22(,)B xy54.圆中有关重要结论:(1)若 P(,)是圆上的点,则过点 P(,)的切线方程为0x0y222xyr0x0y2 00xxyyr新东方网（高考）频道 http:/ http:/ (2)若 P(,)是圆上的点,则过点 P(,)的切线方程为0x0y222()()xaybr0x0y2 00()()()

19、()xa xayb ybr(3) 若 P(,)是圆外一点,由 P(,)向圆引两条切线, 切点分0x0y222xyr0x0y别为 A,B，则直线 AB 的方程为2 00xxyyr(4) 若 P(,)是圆外一点, 由 P(,)向圆引两条切线, 0x0y222()()xaybr0x0y切点分别为 A,B 则直线 AB 的方程为2 00()()()()xa xayb ybr55.椭圆的参数方程是.22221(0)xyababcossinxayb 56.椭圆焦半径公式 ，22221(0)xyabab)(21caxePF.)(22xcaePF椭圆的准线方程为,椭圆22221(0)xyabab2axc 的准

20、线方程为22221(0)xyabba2ayc 57.椭圆的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为22221(0)xyabab22b a58.双曲线的准线方程为22221(0,0)xyabab2axc 双曲线的准线方程为22221(0,0)xyabba2ayc 59. 双曲线的渐近线方程为22221(0,0)xyababbyxa 双曲线的的渐近线方程为 22221(0,0)xyabbaayxb 60.抛物线上的动点可设为 P或 P，其中 pxy22),2(2ypy或 )2 ,2(2ptptP(,)x y.22ypx61. P(,)是抛物线上的一点,F 是它的焦点,则|PF|=+0x0ypxy220

21、x2p62. 抛物线的焦点弦长,其中是焦点弦与 x 轴的夹角pxy2222 sinpl新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 63.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或22 1212()()ABxxyy（弦端点 A，由方程22 12| 11ABxxkkaA),(),(2211yxByx消去 y 得到，,为直线的斜率）. 0)y, x(Fbkxy02cbxax0 k若（弦端点 A由方程 消去 x 得到，),(),(2211yxByx 0)y, x(Fbkxy20aybyc,为直线的斜率）.则0 k122211| 11AByykakA64.圆锥曲线关于点成中心对称的曲线是.( , )0F x

22、 y 00(,)P xy00(2- ,2)0Fx xyy空间向量部分 65.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b0 )，ab 存在实数 使 a=b 66.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C，满足 ， 则四点 P、A、B、C 是共面 67.空间两个向量的夹角公式 cosa，b= （a ，b ）. 68.直线 与平面所成角 ( 为平面 的法向量) . 69.二面角 的平面角 或 （ ， 为平面 ， 的法向量）. 71.空间两点间的距离公式 若 A ，B ，则= .72.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间的 距离). 73.点 到平面

23、的距离 （ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）. 立体几何部分 74. 面积射影定理 (平面多边形及其射影的面积分别是 、 ，它们所在平面所成锐二面角的为 ). 75.球的半径是 R，则其体积是 ,其表面积是 76.判定两线平行的方法：（1）平行于同一直线的两条直线互相平行（2）垂直于同一平面 的两条直线互相平行（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面 相交，那么这条直线就和交线平行（4）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它 们的交线平行（5）在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 77.判定线面平行的方法：（1）据定义：如果一条直线和一个平

24、面没有公共点（2）如果平 面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行（3）两面平行， 则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面（4）平面外的两条平行直线中的一条平行于 平面，则另一条也平行于该平面（5）平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行， 则也平行于另一个平面 78.判定面面平行的方法：（1）定义：没有公共点（2）如果一个平面内有两条相交直线都新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 平行于另一个平面，则两面平行（3）垂直于同一直线的两个平面平行（4）平行于同一平 面的两个平面平行 79.面面平行的性质：（1）两平行平面没有公共点（2）两平面平行，则

25、一个平面上的任一 直线平行于另一平面（3）两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行（4）垂直于两平 行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 80.判定两线垂直的方法：（1）定义：成 角（2）直线和平面垂直，则该线与平面内任一 直线垂直（3）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和 这条斜线垂直（4）在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这 条斜线的射影垂直（5）一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 81.判定线面垂直的方法：（1）定义：如果一条直线和平面内的任何一条直线都垂直，则 线面垂直（2）如果一条直线和一个平面内的两

26、条相交线垂直，则线面垂直（3）如果两条 平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面（4）一条直线垂直于两个平 行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面（5）如果两个平面垂直，那么在一个平面内 垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 （6）如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 82.判定面面垂直的方法：（1）定义：两面成直二面角,则两面垂直（2）一个平面经过另一 个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 83.面面垂直的性质：（1）二面角的平面角为 （2）在一个平面内垂直于交线的直线必垂 直于另一个平面（3）相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平

27、面 排列组合、二项式定理部分 84.分类计数原理（加法原理） ；分步计数原理（乘法原理） . 85.排列数公式 = = .( ， N*，且 ) 组合数公式 = = = ( ， N*，且 ). 86.排列恒等式 （1） ;（2） ;（3） ; （4） ;（5） . 87.组合数的两个性质(1) = ；(2) + = 88.组合恒等式（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） = ；（6） . 89.二项式定理 ; 二项展开式的通项公式： . 概率部分 90.等可能性事件的概率 . 91.互斥事件 A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1

28、A2An)=P(A1)P(A2)P(An) 92.独立事件 A，B 同时发生的概率 P(AB)= P(A)P(B).事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率 93.n 个独立事件同时发生的概率P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 94.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 若 ，则期望为 ，方差为 . 若离散型随机变量 的分布列为 ，则期望为 ，方差为 . 函数导数部分新东方网（高考）频道 http:/ http:/ 95.函数 在点 处的导数是曲线 在 处的切线的斜率 ，相应的切线方程是 . 96.导数与函数的单调性的关系：(1) 是 为增函数的充分不必要条件。 (2) 是 为增函数的必要不充分条件。 97.抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型： 正比例函数 ； ； 98.n 个数据 ,则它们的平均数为 , 方差 = 99.微积分基本公式： 100.微积分的运算性质：