第二章-函数、导数及其应用-第六节-幂函数与二次函数课件-理.ppt

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1、第六节幂函数与二次函数第一页，编辑于星期五：二十二点 十八分。第二页，编辑于星期五：二十二点 十八分。1.幂函数(1)幂函数的定义:一般地,函数y=x叫做幂函数,其中x是自变量,是常数.(2)5种常见幂函数的图象(如图)第三页，编辑于星期五：二十二点 十八分。(3)5种常见幂函数的性质第四页，编辑于星期五：二十二点 十八分。2.二次函数(1)二次函数的定义:形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种常见的解析式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0),(m,n)为顶点坐标;两根式:f(x)=a(x-x1)(x-

2、x2)(a0),其中x1,x2分别为f(x)=0的两实根.(3)二次函数的图象与性质第五页，编辑于星期五：二十二点 十八分。3.二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx+c=0(a0)的实根.另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越小.4.常用的数学方法与思想配方法、待定系数法、分类讨论思想、数形结合思想.第六页，编辑于星期五：二十二点 十八分。1.判断下列说法是否正确(打“”或“”).(1)

3、函数f(x)=x2与f(x)=3x2都是幂函数.()(1)(2)函数f(x)=ax2+bx+c表示二次函数.()(2)(3)幂函数的图象恒过定点(1,1),(0,0).()(3)(4)二次函数的图象是轴对称图形.()(4)(5)二次函数y=x2+mx+1在区间1,+)上单调递增的充要条件是m-2.()(5)2.已知某二次函数的图象与函数y=2x2的图象的形状一样,开口方向相反,且其顶点为(1,3),则该函数的解析式为()A.y=2(x-1)2+3B.y=2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2+3D.y=-2(x+1)2+32.C【解析】设所求函数的解析式为y=a(x+h)2+k(a0),由

4、题意可知a=-2,-h=1,k=3,故y=-2(x-1)2+3.第七页，编辑于星期五：二十二点 十八分。第八页，编辑于星期五：二十二点 十八分。第九页，编辑于星期五：二十二点 十八分。命题角度1:利用幂函数的图象判断幂指数大小典例1如图为幂函数y=xn在第一象限的图象,则C1,C2,C3,C4的大小关系为 ()A.C1C2C3C4B.C2C1C4C3C.C1C2C4C3D.C1C4C3C2【解题思路】利用基本幂函数y=x2,y=x-1,y=x在第一象限作为参考并利用特殊值验算.观察图形可知C10,C20,且C11,而0C21,C30,C40,且C30,a1)与y=xb的图象如图,则下列不等式一

5、定成立的是 ()A.ba0B.a+b0C.ab1D.loga2bD【解析】由图可知a1,b0,因此0ab1,选项C错误;而选项A与B不一定成立,如当b=-1,a=3时,ba0,当a=2,b=-3时,a+bloga1=0b,所以只有选项D一定成立.第十三页，编辑于星期五：二十二点 十八分。典例3(2015嘉兴统测)设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,bR)满足条件:当xR时,f(x)的最大值为0,且f(x-1)=f(3-x)成立;二次函数f(x)的图象与直线y=-2交于A,B两点,且|AB|=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求最小实数n(n-1),使得存在实数t,只要当xn,-1时

6、,就有f(x+t)2x成立.【解题思路】(1)根据条件得出函数的对称轴、最大值以及|AB|的长度,由此列出方程组得到相应的参数值第十四页，编辑于星期五：二十二点 十八分。第十五页，编辑于星期五：二十二点 十八分。第十六页，编辑于星期五：二十二点 十八分。【变式训练】(2015山东枣庄八中月考)已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a0,xR).(1)若函数f(x)的图象过点(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一个根,求f(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x-1,2时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.【解析】(1)因为f(-2)=1,即4a-2b+

7、1=1,所以b=2a.因为方程f(x)=0有且只有一个根,即=b2-4a=0,因此解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.(2)因为g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1第十七页，编辑于星期五：二十二点 十八分。命题角度1:二次函数的最值问题典例4已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在0 x1时有最大值2,求实数a的值.【解题思路】动轴定区间问题,应将对称轴从左向右移动进行讨论.【参考答案】当对称轴x=a0时,如图1所示,当x=0时,y有最大值ymax=f(0)=1-a,1-a=2,即a=-1,且满足a1时,如图3所示,当x=1时,y有最大值,yma

8、x=f(1)=2a-a=2,a=2,且满足a1,a=2.综上可知,a的值为-1或2.第十九页，编辑于星期五：二十二点 十八分。命题角度2:一元二次不等式恒成立问题A.(-,-10,+)B.-1,0C.0,1 D.-1,0)【解题思路】利用分类讨论,将不等式恒成立问题转化.第二十页，编辑于星期五：二十二点 十八分。第二十一页，编辑于星期五：二十二点 十八分。第二十二页，编辑于星期五：二十二点 十八分。第二十三页，编辑于星期五：二十二点 十八分。(2015嘉兴模拟)已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=2x+a(a,bR),且函数f(x)与g(x)的图象至多有一个公共点.(1)证明:当x0时

9、,f(x)(x+b)2;(2)若不等式f(a)-f(b)L(a2-b2)对题设条件中的a,b总成立,求L的最小值.【解析】(1)由题意得f(x)-g(x)=x2+ax+b-2x-a=x2+(a-2)x+b-a0恒成立,=(a-2)2-4(b-a)=a2+4-4b0,a24b-4,04b-4,1b.又f(x)-(x+b)2=(a-2b)x+b(1-b),又a24b-4b2,a|a|b2b,k=a-2b0,f(0)-b2=b(1-b)0,当x0时,f(x)(x+b)2.【变式训练】第二十四页，编辑于星期五：二十二点 十八分。第二十五页，编辑于星期五：二十二点 十八分。二次函数中最值与对称轴问题探究

10、 二次函数是一种特殊的函数,主要涉及的知识有定轴定区间、定轴动区间、定区间动轴、最值、分离变量、恒成立、数形结合、分类讨论等,知识点多,内容丰富,可谓“动中有静,静中有动”.典例已知二次函数f(x)=x2-4x+2,求1x4上的f(x)的最值.【解题思路】定区间、定轴的基本题,考查数形结合及学生对二次函数认识的基本能力.【参考答案】f(x)max=f(4)=2,f(x)min=f(2)=-2.第二十六页，编辑于星期五：二十二点 十八分。【针对训练】1.已知二次函数f(x)=x2-4x+2,求x1,a上的f(x)的最值.1.【解析】定轴,动区间(单边动)问题,考查学生数形结合与分类讨论的思想,关

11、键是最大值里以a=3为分界线,而在最小值里以2为分界线.最大值:当13时,f(x)max=f(a)=a2-4a+2.最小值:当12时,f(x)min=f(2)=-2.2.已知二次函数f(x)=x2+ax+2,求1x4上的f(x)的最大值.2.【解析】定区间动轴问题,通常考查对动轴进行讨论,但此处采用相对运动,钉住轴变成定轴,而把区间运动,这是一种新的思维方法,且比动轴更好理解.第二十七页，编辑于星期五：二十二点 十八分。1.方程x2-4x+k=0在区间1,4上有实根,求k的取值范围.1.【解析】二次函数问题转化为一元二次方程的解的问题,解法1:转换为两曲线的交点问题,数形结合易求;解法2:转化

12、为求函数的值域问题,数形结合也易求,这是一道典型的化难为易的题.解法1:x2-4x+k=0变形为x2-4x=-k,从而变为二次函数y=x2-4x与直线y=-k有交点问题,数形结合易得-4-k0,解得0k4.解法2:x2-4x+k=0变形为k=-x2+4x,即此处的k相当于y,即变为求函数y=-x2+4x,x1,4的值域问题,易求得0y4,即0k4.第二十八页，编辑于星期五：二十二点 十八分。2.方程x2+kx+2=0在区间1,4上有实根,求k的取值范围.2.【解析】定区间动轴的二次函数问题可转化为一元二次方程的解的问题,分离参数后可转化为求值域问题.第二十九页，编辑于星期五：二十二点 十八分。