（本科）结构力学教程（第2版）第四章ppt课件.pptx

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1、课程主讲人：（本科）结构力学教程（第2版）第四章ppt课件2Structural mechanics结构力学结构力学土木工程学院土木工程学院 Civil Engineering CollegeStructural mechanics结构力学结构力学第四章 虚功原理和结构位移计算结构力学教程(第2版)4结构位移的概念01变形体系的虚功原理和位移计算一般公式0305图形相乘法07线性变形体系的互等定理04荷载作用下的位移计算02刚体体系虚功原理及其运用06静定结构支座位移和温度改变时的位移计算第四章 虚功原理和结构位移计算54-1 结构位移概念 Introduction第四章 虚功原理和结构位移计

2、算61、绝对位移一、结构的位移变形：结构在外部因素作用下产生的尺寸形状的改变。位移：结构各结点位置的移动及杆件横截面的转动。绝对线位移、绝对角位移第四章 虚功原理和结构位移计算7相对线位移2、 相对位移ABAB第四章 虚功原理和结构位移计算8相对角位移AB 第四章 虚功原理和结构位移计算93、计算位移的目的 （1）刚度计算要求 （2）施工技术的需要，例如：建筑起拱为了减小屋架在使用阶段下弦各结点的竖向位移，制作时通过少许缩短下弦杆长度使屋架下沿略微向上凸起。第四章 虚功原理和结构位移计算10 （3）计算超静定结构必须考虑位移条件。二、计算位移的有关假定1、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变

3、成线弹性关系。 3、结构各部分间为理想联结（刚性链杆、理想铰），不计摩擦。2、小变形假设。在多种因素影响下变形满足叠加原理。第四章 虚功原理和结构位移计算11 三、广义力和广义位移绝对位移及相对位移统称为“广义位移”，与广义位移相对应的力称为“广义力”。AAWMPWF第四章 虚功原理和结构位移计算12AB WM第四章 虚功原理和结构位移计算134-2 刚体体系虚功原理及其运用 Principle of virtue work for rigid body and its applications第四章 虚功原理和结构位移计算14一、外力虚功 1、功：包含力和位移两个要素。221ddyRxMEI

4、第四章 虚功原理和结构位移计算15 2、虚功 实功是力在自身引起的位移上所做的功。 虚功是力在其它原因产生的位移上做的功。 假设力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。第四章 虚功原理和结构位移计算16二、刚体虚功原理及其应用 在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态中的力系能满足平衡条件，位移状态中的刚体位移能与约束几何相容，则外力虚功之和等于零。 1、刚体体系虚功原理刚体体系的虚功方程 W=0第四章 虚功原理和结构位移计算17(1) 虚设位移状态求未知力 在给定力系与虚设位移之间应用虚功方程，这种形式的应用即为虚位移原理。PaFXlxl P aP P0 xWXF2、刚体体系虚功方程的两种应

5、用第四章 虚功原理和结构位移计算18沿未知力X方向虚设单位位移的方法称为虚单位位移法。在虚位移状态令在虚位移状态令1xP P0 xWXFPaFXl 虚位移原理的特点是将一个静力平衡问题转化为几何问题。第四章 虚功原理和结构位移计算19P14a a22P012P21P1PPXPaX6例 求图a连续梁截面K处的弯矩MK。第四章 虚功原理和结构位移计算20(2)虚设力状态求未知位移 在虚设力系与给定位移状态之间应用虚功方程，这种形式的应用即为虚力原理。P V0CByWFF c VPByCF cacFl位移状态力状态第四章 虚功原理和结构位移计算21若在虚设力系中令P1F沿所求位移方向虚设单位荷载的方

6、法称为虚单位荷载法。 VCByaF ccl虚力原理的特点是将一个几何问题转化为一个静力平衡问题，即利用支反力和单位荷载之间的平衡条件求位移。第四章 虚功原理和结构位移计算224-3 变形体系的虚功原理和位移计算一般公式 Principle of virtue work for deformable body and general equation for displacement calculation第四章 虚功原理和结构位移计算23 变形体系要考虑因变形而产生的虚应变能，虚功方程形式不同。一、 变形直杆虚应变能表达式N12Q1212N12Q1212ddd =dddVFxFxMxFuFvM

7、N12Q1212N12Q1212dddd =dddVFxFxMx FuFvM第四章 虚功原理和结构位移计算24二、变形体虚功原理 变形体系的虚功原理可表述如下：在变形体系上，如果力状态中的力系满足平衡条件，位移状态中的应变满足变形谐调条件(包括位移与应变的谐调和位移与约束几何相容)，则外力虚功等于虚应变能。W=V 或 WV0上式即为变形体的虚功方程。N12Q1212N12Q1212ddd =dddWFxFxMxFuFvM第四章 虚功原理和结构位移计算25三、 计算位移一般公式12121+=WRcRcRc 第四章 虚功原理和结构位移计算26虚单位荷载法为QNdddMsFsFsRc 如公式右边计算

8、结果为正，表明方向与施加单位力方向一致；如计算结果为负，表明方向与施加单位力方向相反。NQdddVFuFvM1212+=1KWRcRcRc NQd+ddRFcuFvM第四章 虚功原理和结构位移计算27求线位移，加单位1的力；求角位移，加单位1的力偶；求哪个方向的位移就在所求位移的方向上施加相应的单位力。单位荷载施加方法举例：第四章 虚功原理和结构位移计算28广义荷载施加方法第四章 虚功原理和结构位移计算29例 图示一桁架，假定由于温度变化，使杆AC、BC各伸长u1.2mm，桁架发生如虚线所示的变形，试求点C的竖向位移CV 。第四章 虚功原理和结构位移计算30杆件AC和BC各伸长1.2mmVNN

9、22 1.21.21.6mm33CACACCBCBFuFuVNNNCFdxFdxFuQNdddRMFsscsF实际状态实际状态（位移状态位移状态）虚拟状态虚拟状态（力状态力状态）第四章 虚功原理和结构位移计算314-4 荷载作用下的位移计算 Displacement caused by loading第四章 虚功原理和结构位移计算32一、仅在荷载作用下位移计算公式0c由材料力学公式因无支座移动，NPFEAQPFkGAPMEI对于线弹性变形：虚单位荷载法：QNdddMsFsFsRc QNdddMsFsFs QQPNNPPPdddkF FF FMMsssEIGAEA第四章 虚功原理和结构位移计算3

10、3二、荷载作用下位移计算公式的简化1、梁和刚架（略去轴向变形和剪切变形影响）2、桁架（只考虑轴力影响）NNPNNPPdF FF F lsEAEAQQPNNPPPdddkF FF FMMsssEIGAEAPPdMMsEI第四章 虚功原理和结构位移计算343、拱 一般只考虑弯曲变形（且不考虑曲率影响）4、组合结构（二力杆、梁式杆）PNNPPddMMsEEIF FsA对扁拱计算水平位移或拱轴接近合理轴线时 PPdMMsEIPNNPPddMMsEEIF FsA第四章 虚功原理和结构位移计算35例 求图示等截面简支梁（EI=常数）中点C的竖向位移CV。 解 (1)计算CVxM21)(22xlxqMPlx

11、210( )弯矩422CV015()d2 23842lx qqllxxxEIEI计算结果为正，表示实际位移与所设虚拟荷载的方向相同。（ ）第四章 虚功原理和结构位移计算36例 试求图示桁架下弦结点C的竖向位移CV。各杆材料相同，EA为常值。NPNVCF F lEA 551() ()5 5122225Pa ( )4PPaaEAEAEA 计算结果为正，表示实际位移与所设虚拟荷载的方向相同。 NPa F Nb F第四章 虚功原理和结构位移计算37例 求圆弧曲梁BH（不计曲率、FQ、FN 的影响)。P1 cos2P rMsinMr32H0r1 cossin =222dBPP rrEIEIr第四章 虚功

12、原理和结构位移计算384-5 图形相乘法 Method of graph multiplication第四章 虚功原理和结构位移计算39一、图乘法应满足的条件2、EI为常数。 对于等截面直杆(包括截面分段变化的杆件)所构成的梁和刚架，在位移计算中，均可采用图形相乘法代替积分运算，简称图乘法。3、M、MP图形中至少有一个为直线图形。 1、杆件为直杆。第四章 虚功原理和结构位移计算40二、图乘法证明P1tandEIAxPdlMMsEIP1dMMxEIPtan1dMxEIxPtan1 dx MxEIP1tanCEIxAP1CAyEI第四章 虚功原理和结构位移计算41P1CAyEI 在满足前述条件下，

13、积分式 之值等于 图面积 AP乘以该面积形心所对应的 图形的纵标 yC , 再除以 EI。PdlMMsEI PMM结论：PdlMMsEI第四章 虚功原理和结构位移计算42标准抛物线是指含有顶点且顶点处的切线与基线平行的抛物线。第四章 虚功原理和结构位移计算43三、使用图乘法时应注意的问题P1CAyEI1、yC必须取自直线图形（不必是单位弯矩图）第四章 虚功原理和结构位移计算4411221()CCAyAyEI2、当选取yC的图形为折线图形时，必须分段计算。第四章 虚功原理和结构位移计算4511221211CCAyAyEIEI3、当杆件为阶梯形变截面时, 应分段计算。第四章 虚功原理和结构位移计算

14、464、图乘有正负之分：两个弯矩图在杆轴线同侧时，取正号；异侧时，取负号。P1CAyEIP1CAyEI 第四章 虚功原理和结构位移计算471111CAyEI5、若两个弯矩图均为直线图形时，则AP、yC可任意取自两图形。2221CAyEI第四章 虚功原理和结构位移计算486、图乘时，可将复杂弯矩图分解为简单图形，图乘后叠加。(a) 直线图形(22)6lacbdadbcEI(22)6lacbdadbcEI 竖标在基线同侧乘积取竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。正，否则取负。第四章 虚功原理和结构位移计算4911221()CCA yA yEI6、图乘时将复杂的弯矩图分解为简单图形，图乘后叠加。212

15、223382alcqlclEI (b) 曲线图形第四章 虚功原理和结构位移计算50 例 试求图a所示伸臂梁C点的竖向位移。EI为常数。168121321qlqllA321321lly128132322qlqllA4881231323qlqllA421212lly8321433lly)(1288348)4(123161)(14333332211EIqllqllqllqlEIyAyAyAEICV(c)(b)(a)M图MP图2lly3y1y2FP=1 l 2BCBCql2A2A3A1ql2qCBAAA(c)(b)(a)M图MP图2lly3y1y2FP=1 l 2BCBCql2A2A3A1ql2qCB

16、AAA(c)(b)(a)M图MP图2lly3y1y2FP=1 l 2BCBCql2A2A3A1ql2qCBAAA第四章 虚功原理和结构位移计算51 例 试计算图a所示刚架在截面C处的转角，EI5104 kNm2。荷载弯矩图和单位弯矩图如图b、c所示:733140216148121(4410)10.0003250103620C 计算结果为负，即 是逆时针转而不是顺时针转。CMP图M图20kN2kN/m2kN/mBCADBCDABCDAM=1148164484m4m(单位kN.m)(a)(b)(c)（ ）MP图M图20kN2kN/m2kN/mBCADBCDABCDAM=1148164484m4m(

17、单位kN.m)(a)(b)(c)MP图M图20kN2kN/m2kN/mBCADBCDABCDAM=1148164484m4m(单位kN.m)(a)(b)(c)第四章 虚功原理和结构位移计算52 例 计算图示刚架截面C处左、右两侧截面的相对转角 ， EI5104 kNm2。C3m5m4m4mABCq=16kN/m(a)第四章 虚功原理和结构位移计算5333737731255(5 80 10 ) ()(2 80 1080 101)5 1023885128 56 5 1 5 32 100.00582675 1032220Crad ABCABC32328080M=1M=1115885M图(单位kN.m

18、)MP图(b)(c)荷载弯矩图和单位弯矩图如图b、c所示。3m5m4m4mABCq=16kN/mABCABC32328080M=1M=1115885M图(单位kN.m)MP图(b)(c)（ ）第四章 虚功原理和结构位移计算544-6 静定结构支座位移和温度改变时的位移计算 Displacement of statically determinate structure caused by settlement and temperature change第四章 虚功原理和结构位移计算55静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以 0， 0， 0。得到 Rc 上式适用于静定结构仅在支座位移时的

19、位移计算。其中：R表示虚拟状态的支座反力， c表示实际状态的支座位移。QNdddMsFsFsRc一、支座位移时的位移计算第四章 虚功原理和结构位移计算56弧度hacR例：求图示刚架C点两侧杆件的相对转角。Rc 第四章 虚功原理和结构位移计算571、温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2、假设 温度改变沿截面高度为线性分布。上方升温t1,下方升温t2。3、微段的变形 02 11 2()/th thth21ttt 0dddusts21ddddtttssshhd0s其中：为线膨胀系数 021()/2ttt12:hh12:hhlt l 二、温度改变时的位移计算第四章 虚

20、功原理和结构位移计算58该公式仅适用于静定结构在温度变化下的位移计算。 0NddtttsMshF3、微段的变形 0dddusts21ddddtttssshhd0sNQdFFMs代入位移计算公式可得第四章 虚功原理和结构位移计算59 N0MttFt lAh当杆件沿其全长温度变化相同且截面高度不变时符号：以虚拟状态与实际状态变形一致为正、相反为负。l 杆长；AM M图面积；t0 形心轴处温度变化值；t 上下表面温度变化差值。式中各项取绝对值。 0NddtttsMshF第四章 虚功原理和结构位移计算60例： 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形, 梁高h。 0NCVMtFt lAh2210010

21、010.52CVlllh 351 llh 第四章 虚功原理和结构位移计算614-7 线性变形体系的互等定理 Reciprocal theorems第四章 虚功原理和结构位移计算62一、功的互等定理图示为任意结构的两状态，分别称为1、2状态，由于荷载作用所产生的内力分别记作FN1、FQ1、M1和FN2、FQ2、M2。第四章 虚功原理和结构位移计算63若1状态为满足平衡条件的力状态，2状态为满足变形协调的虚位移状态。 W12表示1状态外力在2状态位移上所作虚功 Q 1Q 2N 1N 212() dFk FFFMMsE AG AE I 1 2N 12Q 1212() dVFFMs (b)12P112

22、WF(a)第四章 虚功原理和结构位移计算64如果2状态为满足平衡条件的力状态，1状态为满足变形协调的虚位移状态。W21表示2状态外力在1状态位移上所作的虚功 Q2Q1N2N121()dF kFFFM MsEAGAEI(d)21N 21Q 2121()dVFFMs 21P221WF(c)第四章 虚功原理和结构位移计算65功的互等定理 第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功W12，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功W21。P112P221FF故1221WWQ2Q1N2N1212121()dFkFFFM MWVsEAGAEI(f)Q1Q2N1N2121212()dF kFFFM MW

23、VsEAGAEI (e)因第四章 虚功原理和结构位移计算66 12 = 21 如果作用在体系上的力是单位力，则在第一个单位力方向上，由于第二个单位力所引起的位移12等于第二个单位力方向上，由于第一个单位力所引起的位移21 。二、位移互等定理P1 12P221FF第四章 虚功原理和结构位移计算67M2=12M1=1(b)(a)211M2=112(b)(a)2121FP1=1 21 = 12 21 =12应用 第四章 虚功原理和结构位移计算68三、反力互等定理 r12=r21 如果结构支座发生单位位移，则支座1处由于支座2的单位位移所引起的反力r12等于支座2处由于支座1的单位位移所引起的反力r21。P112P221FF第四章 虚功原理和结构位移计算692=1r12r21(b)(a)1=1r12=r21应用 第四章 虚功原理和结构位移计算70四、反力与位移互等定理r12=21 由于单位荷载使体系中某一支座所产生的反力r12，等于该支座发生与反力方向一致的单位位移时，在单位荷载作用处沿其作用方向所引起的位移21，但符号相反。121P2210rF第四章 虚功原理和结构位移计算71例 图示同一结构的两种状态，求 =？1=1A+ 1B=A+ BW12=W21