第二章：质点运动学.ppt

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1、第二章第二章 质点运动学质点运动学2.1 质点的运动学方程质点的运动学方程2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量2.3 质点直线运动质点直线运动从坐标到速度和加速度从坐标到速度和加速度 2.4质点直线运动质点直线运动 从加速度到速度和坐标从加速度到速度和坐标 2.5 平面直角坐标系平面直角坐标系抛体运动抛体运动 2.6 自然坐标自然坐标切向和法向加速度切向和法向加速度2.7 极坐标系极坐标系径向速度与横向速度径向速度与横向速度 2.8 伽利略变换伽利略变换 第二章第二章 质点运动学质点运动学目目 录录重点：重点：质点运动学的基本概念及规律。质点运动学的基本概念及规律。

2、难点：难点：伽利略变换及物理意义。伽利略变换及物理意义。第二章第二章 质点运动学质点运动学教学重点难点教学重点难点（一）（一） 质点的位置矢量与运动方程质点的位置矢量与运动方程（二）（二）位移位移位置矢量的增量位置矢量的增量 第二章第二章 质点运动学质点运动学2.1 质点的运动学方程质点的运动学方程2.1 质点的运动学方程质点的运动学方程质点质点具有一定质量，不计其形状与大小的物具有一定质量，不计其形状与大小的物体体, 是理想模型。是理想模型。可以将物体简化为质点的两种情况：可以将物体简化为质点的两种情况： 物体不变形物体不变形,只作平动只作平动. 物体本身线度和它活动范围相比小得很多物体本身

3、线度和它活动范围相比小得很多. 第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）质点的位置矢量与运动方程（一）质点的位置矢量与运动方程建立直角坐标系建立直角坐标系 O xyz ，令原点与参考点重合，则：令原点与参考点重合，则：k j i rzyx.,轴轴方方向向的的单单位位矢矢量量分分别别为为zyxkjix,y,z 是质点的位置坐标是质点的位置坐标.位置矢量的大小为：位置矢量的大小为：222zyxrr 位置矢量位置矢量由原点由原点( (参考点参考点) )引向质点位置的引向质点位置的有向有向线段线段. .如图：如图：.表示表示用用rpozxy OPr第二章第二章 质点运动学质点运动学1.位置矢量位置矢量

4、位矢方向位矢方向:rz cosrx cosry cos1coscoscos222 ktzjtyitxr)()()( 建直角坐标系建直角坐标系 O xyz ,令原点与参考点重合，则：令原点与参考点重合，则：运动方程运动方程质点的位置随时间变化的函数方程质点的位置随时间变化的函数方程 )(trr 第二章第二章 质点运动学质点运动学2. 运动方程运动方程标量式标量式 x = x(t) y = y(t) z = z(t)等等2021attvx 轨迹方程轨迹方程质点在运动过程中描出的曲线方程质点在运动过程中描出的曲线方程. 0 6sin2 6cos2 ztytx如如：在运动方程中消去在运动方程中消去 t

5、 就是轨迹方程，就是轨迹方程，0 422 zyxy = y (x) 如如第二章第二章 质点运动学质点运动学3. 轨迹方程轨迹方程1. 位移位移位移位移是由初位置引是由初位置引向末位置的矢量向末位置的矢量. .)()(trttrr 在直角坐标系中坐标分解式：在直角坐标系中坐标分解式：kzj yi xr yxP)(ttr QOr ( )r t动画演示动画演示 第二章第二章 质点运动学质点运动学（二）位移（二）位移位置矢量的增量位置矢量的增量路程路程 质点经过的路径的总长度质点经过的路径的总长度.如图：如图：位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量位移与路程不同，前者是矢量，后者是标量. 321SSS

6、 问题问题 二者何时相同？二者何时相同？同同r Qr PprQrO2s 1s 3s 第二章第二章 质点运动学质点运动学2. 路程路程例题例题1一质点在一质点在xOy平面内依照平面内依照 x = t 2 的规律沿曲线的规律沿曲线 y = x3 / 320 运动运动,求质点从第求质点从第2 秒末到第秒末到第 4 秒末的位移秒末的位移(式中式中 t 的单位为的单位为s；x，y的单位为的单位为cm).解解 )()(trttrr ji6 .1212 (cm)jyyixx)()(1212 )()()()(jtyitxjttyittx jtyttyitxttx)()()()( jttitt)320320()

7、(61622122 ji)32023204()24(6622 第二章第二章 质点运动学质点运动学cm 4 .17cm )6 .12(1222 r 与水平轴夹角与水平轴夹角4 .46arctan xy 问题问题 位移与参考系的选择有关吗？位移与参考系的选择有关吗？第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一） 平均速度与瞬时速度平均速度与瞬时速度 （二）（二） 平均加速度与瞬时加速度平均加速度与瞬时加速度 第二章第二章 质点运动学质点运动学2.2 瞬时速度矢量瞬时速度矢量 与瞬时加速度矢量与瞬时加速度矢量trv trv _为路程为路程s tsv 01.平均速度平均速度 相相同同方方向向与与r ,

8、_是是矢矢量量v平均速率平均速率OPQ)(tr)(ttr 定义定义 大小为大小为 .于于时时间间的的不不均均匀匀性性不不能能反反映映位位移移变变化化相相对对vr 第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一） 平均速度与瞬时速度平均速度与瞬时速度vvt0lim 是是矢矢量量，v方向：质点运动路径的切向方向：质点运动路径的切向.trvvdd trt 0limtrdd 瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态. 定义定义大小：大小：P 1r Qvrd4r Q 3r Q 2r Q 动画演示动画演示第二章第二章 质点运动学质点运动学2. 瞬时速度瞬时速度(简称速

9、度简称速度)瞬时速率瞬时速率(简称速率简称速率) lim0trvt ddlim0tstst 是路程是路程sktzjtyitxkvjvivvzyxdddddd 在直角坐标系中的分解式在直角坐标系中的分解式vvzv cos vvxv cos vvyv cos222|zyxvvvvv 第二章第二章 质点运动学质点运动学k tjtrv1015dd )1( ktj tir251510 例题例题1某质点的运动学方程为某质点的运动学方程为求求:（1）t = 0,1s时质点的速度矢量时质点的速度矢量; （2）t =0到到t =1s质点的平均速度质点的平均速度; （3）t =0,t =1s时的瞬时速率时的瞬时速

10、率.解解(单位单位m,s)yzO )(tv)0(v(单位单位m/s , s)第二章第二章 质点运动学质点运动学t =0时时, jv15 t =1s时时, kjtrv1015dd (m/s) 515 01)10()51510( )2(0101kjikjittrrv 第二章第二章 质点运动学质点运动学trtrvt 0limdd )3(m/s 516m/s250550 v)5()15(10(dd2222tttt =0 时时, v =0 t =1 s时时, )(ttvb 1.平均加速度平均加速度tva .方向不同方向不同与与vv v 方方向向同同注意注意:)(tva)(ttvb v 说到平均加速度，一

11、定要明确是哪一段时间或说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或 哪一段位移中的平均加速度哪一段位移中的平均加速度.一般一般定义定义 第二章第二章 质点运动学质点运动学（二）（二） 平均加速度与瞬时加速度平均加速度与瞬时加速度 2. 瞬时加速度（简称加速度）瞬时加速度（简称加速度） tvtvatddlim0.,方方向向不不同同与与一一般般是是矢矢量量vaa22dd)dd(ddtrtrt 定义定义 ktvjtvitvatyxdddddd kajaiazyx ktzjtyitx222222dddddd 222|zyxaaaaa 直角坐标中直角坐标中aaza cos aaxa cos aaya cos

12、第二章第二章 质点运动学质点运动学ktj tir251510 例题例题2某质点的运动学方程为某质点的运动学方程为求质点的加速度矢量求质点的加速度矢量.(单位单位m,s)解解tvadd ktr10dd22 a =10 m/s2方向沿方向沿 z 轴轴. 第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一） 运动学方程运动学方程 （二）（二） 速度和加速度速度和加速度 （三）（三） 匀速与匀变速直线运动匀速与匀变速直线运动 （四）宇宙年龄和大小的估计（四）宇宙年龄和大小的估计 测量重力加速度测量重力加速度 第二章第二章 质点运动学质点运动学2.3 质点直线运动质点直线运动 从坐标到速度和加速度从坐标到速度

13、和加速度2.3 质点直线运动质点直线运动 从坐标到速度和加速度从坐标到速度和加速度 以质点运动直线为坐标轴，则质点运动学方程为以质点运动直线为坐标轴，则质点运动学方程为x = x ( t ) OxPQx(t) x(t + t )itxtrr)()( 标量式标量式 例如例如: 2ctbtaxbtax tbax e第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一） 运动学方程运动学方程瞬时速度瞬时速度 txvvxdd 瞬时加速度瞬时加速度 22ddddtxtvaaxx 瞬时速率瞬时速率 txvdd tOx,v Pv-t曲线某点切线的斜率等于曲线某点切线的斜率等于相应时刻的加速度相应时刻的加速度. tO

14、vPQx-t曲线某点切线的斜率等于曲线某点切线的斜率等于相应时刻的速度相应时刻的速度. 第二章第二章 质点运动学质点运动学（二）（二） 速度和加速度速度和加速度tOx1 2 )(txx tOv2 1 )(tvvxx 1tan 2tan tOa)(taaxx 1tan 2tan 可由质点的可由质点的 x-t 图图画出质点的画出质点的 vx-t 图，根图，根据质点据质点 vx-t 曲线画出曲线画出 ax-t 曲线曲线.第二章第二章 质点运动学质点运动学已知已知 x = x ( t ) 则则txvxdd 若质点作若质点作匀速匀速直线运动直线运动 vx=常量常量 tvxtxx 0)(tvxxdd 初始

15、条件初始条件 t = t0=0 x = x0 ttxxxtvx00dd第二章第二章 质点运动学质点运动学（三）（三） 匀速与匀变速直线运动匀速与匀变速直线运动若质点作若质点作匀变速匀变速直线运动直线运动 ax = 常量常量tavtvxx 0)(20021)(tatvxtxxx 两式中消去两式中消去 t )(20202xxavvxxx 同理同理 tvadd 初始条件初始条件tavxxdd ttxvvxtav00ddxxvvtt00 0 第二章第二章 质点运动学质点运动学例例题题1 一质点沿一质点沿 x 轴作直线运动，其位置与时间的关轴作直线运动，其位置与时间的关系为系为 x = 10 + 8 t

16、 4 t2 (单位单位m,s), 求：求：（1）质点在第一秒第二秒内的平均速度）质点在第一秒第二秒内的平均速度.（2）质点在）质点在t = 0、1、2s时的速度时的速度.解解时时刻刻）（ 1t2)( 4)( 810)( ttttxxtt 时时刻刻2)(488 ttttxt 内内位位移移为为tttxvx 488 24810ttx 第二章第二章 质点运动学质点运动学 sm4m/s)488( 21 vsm 4m/s)408( 10 v轴轴正正向向相相反反与与xv m/s 82 ttxvx88dd 2 ）（轴轴正正向向相相同同与与xv m/s 80 0 s11此时转向此时转向 vt方向与方向与x轴正向

17、相同轴正向相同 . 轴正向相反轴正向相反方向与方向与 x第二章第二章 质点运动学质点运动学例题例题1根据哈勃定律根据哈勃定律 估计宇宙年龄和大小估计宇宙年龄和大小. rHv0 解解 宇宙始于大爆炸，正在膨胀宇宙始于大爆炸，正在膨胀. 由哈勃定律得由哈勃定律得 100/ Hvrtkm,1009. 3pc10Mpc1196 因因得得取取),Mpckm/(s 800 H亿年亿年120a102 . 1s109 . 310170 t设宇宙以光速膨胀设宇宙以光速膨胀,则宇宙半径不会超过则宇宙半径不会超过 Mpc108 . 3km102 . 1 km109 . 31033231750 ctR实际上实际上,由

18、于万有引力的牵制由于万有引力的牵制,宇宙膨胀是减速的宇宙膨胀是减速的. 第二章第二章 质点运动学质点运动学（四）宇宙年龄和大小的估计（四）宇宙年龄和大小的估计测量重力加速度测量重力加速度例题例题2将真空长直管沿竖直方向放置将真空长直管沿竖直方向放置.自其中自其中O点向上点向上抛小球又落至原处所用的时间为抛小球又落至原处所用的时间为t2. 在小球运动过程中在小球运动过程中经过比经过比O点高点高h处处,小球离开小球离开h处至又回到处至又回到h处所用时间为处所用时间为t1.现测得现测得t1、t2和和h，试决定重力加速度，试决定重力加速度g.解解tOy1t2th建坐标系如图建坐标系如图, 20021g

19、ttvyyy 测测t2时，时，y0=0，v0y=v2，y=0，有，有22222100gttv 第二章第二章 质点运动学质点运动学又又ghvv22122 以上三式联立得以上三式联立得21228tthg 测测t1时小球经时小球经h向上的速度为向上的速度为v0y=v1，有，有 211121gttvhh 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题33 云室、气泡室和发光室是记录带电粒子径云室、气泡室和发光室是记录带电粒子径迹的仪器，它们是原子核物理和粒子物理研究的基迹的仪器，它们是原子核物理和粒子物理研究的基本设备。在云室中，气体含有过饱和蒸气和酒精汽。本设备。在云室中，气体含有过饱和蒸气和酒精汽。

20、当快速带电粒子射入云室时，在它所经过的路径上当快速带电粒子射入云室时，在它所经过的路径上将产生离子，使过饱和蒸气以离子为核心凝结成液将产生离子，使过饱和蒸气以离子为核心凝结成液滴，从而可以用照相的办法记录带电粒子径迹。当滴，从而可以用照相的办法记录带电粒子径迹。当云室中充以不同的气体时，带电粒子的运动方程具云室中充以不同的气体时，带电粒子的运动方程具有不同的形式。设某云室中作直线运动的带电粒子有不同的形式。设某云室中作直线运动的带电粒子的运动方程为的运动方程为tCCx e21并在带电离子进入云室时开始计时，试描述该离子并在带电离子进入云室时开始计时，试描述该离子的运动情况。的运动情况。第二章第

21、二章 质点运动学质点运动学解解tCCx e21tCtxv edd2vCtvat edd22离子的初始状态为离子的初始状态为 210CCx 20Cv 220 Ca 离子的最终状态为：离子的最终状态为： 1Cx 0 v0 a第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一） 从速度到运动学方程和位移从速度到运动学方程和位移（二）（二） 已知加速度求速度和运动学方程已知加速度求速度和运动学方程第二章第二章 质点运动学质点运动学2.4质点直线运动质点直线运动 从加速度到速度和坐标从加速度到速度和坐标2.4质点直线运动质点直线运动 从加速度到速度和坐标从加速度到速度和坐标已知已知 vx 求求 x = x(t

22、) 和和 x tvxdd txvxdd 将初始条件将初始条件 t = t0 x = x0 代入代入(2.4.1) 式式 (2.4.1)第二章第二章 质点运动学质点运动学tvxdd（一）（一） 从速度到运动学方程和位移从速度到运动学方程和位移所以所以 ttxttvxx0)d(0(2.4.2)质点位移为质点位移为 ttxttvxxx0)d(0(2.4.3)第二章第二章 质点运动学质点运动学t0t vOt初始条件初始条件给定，运给定，运动方程便动方程便唯一确定唯一确定.Ox0t0 xt x t x 第二章第二章 质点运动学质点运动学tavxxdd 已知已知 ax 求求 vx = vx(t) 和和 x

23、(t) tvaxddx ttavdxxd)(将初始条件将初始条件 t = t0 v = v0 x 代入代入(2.4.4) 式式 (2.4.4)第二章第二章 质点运动学质点运动学 ttxxxttavv0)d(0(2.4.5) ttxttvxx0)d(0由位置初始条件由位置初始条件 t = t0 x = x0 求运动学方程求运动学方程若若 a 是常量是常量(匀变速直线运动匀变速直线运动)，得，得 tavtvxxx 0)(20021)(tatvxtxxx 两式中消去两式中消去 t )(202022xxavvxx 第二章第二章 质点运动学质点运动学（二）（二） 已知加速度求速度和运动学方程已知加速度求

24、速度和运动学方程例题例题1 一质点沿一质点沿x轴作直线运动，其轴作直线运动，其v-t 曲线如图所示，曲线如图所示，如如t = 0时，质点位于坐标原点，求：时，质点位于坐标原点，求： t=4s 时，质点在时，质点在x轴上的位置。轴上的位置。实际上可以用求面积的方法实际上可以用求面积的方法.m 5 . 2 2m1)5 . 15 . 0(2m2) 15 . 2( x解解 v/(ms-1)t/s-1 2123410第二章第二章 质点运动学质点运动学例题例题2 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为为a0，以后加速度均匀增加，每经过时间，以后加速度均匀增加，每经过

25、时间后增加后增加a0，求经过时间求经过时间 t s后质点的速度和运动的距离后质点的速度和运动的距离.taaa 00 解解据题意知，加速度和时间的关系为据题意知，加速度和时间的关系为 ttttaatav0000d)(d txvdd tavtvadd dd 2002tata tvxdd ttatatvxtd)2(d0200t0 623020tata 第二章第二章 质点运动学质点运动学例题例题3跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时的速跳水运动员沿铅直方向入水，接触水面时的速率为率为v0 ，入水后地球对他的吸引和水的浮力作用相抵，入水后地球对他的吸引和水的浮力作用相抵消，仅受水的阻碍而减速，自水面向下

26、取消，仅受水的阻碍而减速，自水面向下取Oy轴，其加轴，其加速度为速度为 ， vy 为速度，为速度，k为常量为常量. 求入水后运动求入水后运动员速度随时间的变化员速度随时间的变化.2yykva 2ddyykvtv tkvvyydd2 解解 设运动员为质点，根据已知条件有设运动员为质点，根据已知条件有 得得 ktvv 011 100 tkvvv tvvtkvv02dd0可见运动员速度随时间减小且当可见运动员速度随时间减小且当 t 时，速度变为零。时，速度变为零。第二章第二章 质点运动学质点运动学例题例题4 运动会上跳水运动员自运动会上跳水运动员自10m跳台自由下落。入水跳台自由下落。入水后因受水的

27、阻碍而减速，自水面向下取坐标轴后因受水的阻碍而减速，自水面向下取坐标轴Oy，其加，其加速度为速度为 ， .求运动员速度减为入水速度的求运动员速度减为入水速度的1/10 时，运动员入水深度时，运动员入水深度.2ykv 1m4 . 0 ksm14sm108 . 9220 ghv解解 设运动员以初速度为零起跳，至水面之速度为设运动员以初速度为零起跳，至水面之速度为在水中加速度为在水中加速度为2ddyykvtv yvvtyyvtvyyyydddddddd )(yvvyy 第二章第二章 质点运动学质点运动学ykvvyydd 作不定积分并化简得作不定积分并化简得kyyCv eC为积分常数为积分常数.引入初

28、始条件引入初始条件0 y得得kyyevv 0即即yykvyv dd时时0vvy 设设10/0vvy ，将，将1m4 . 0 k代入此式，得代入此式，得m 76. 5 y第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一） 平面直角坐标系平面直角坐标系 （二）（二） 抛体运动抛体运动 （三）（三） 用矢量讨论抛体运动用矢量讨论抛体运动 第二章第二章 质点运动学质点运动学2.5 平面直角坐标系平面直角坐标系抛体运动抛体运动2.5 平面直角坐标系平面直角坐标系抛体运动抛体运动 运动方程运动方程 jtyitxr)()( 在平面直角坐标系中表达式为在平面直角坐标系中表达式为txvxdd jtvitvvyx)(

29、)( tyvydd 求导求导 vvxv cos vvyv cos22yxvvv vx和和vy是质点的速度分量是质点的速度分量.速度的大小和方向速度的大小和方向 (2.5.2)(2.5.3)(2.5.1)(trr 第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一） 平面直角坐标系平面直角坐标系22dd txax jtaitaayx)()( 22dd tyay 加速度加速度 aaxa cos aaya cos22yxaaa ax和和ay是质点的加速度分量是质点的加速度分量.加速度的大小和方向加速度的大小和方向 初始条件初始条件 t = t0 x = x0 y = y0 由由(2.5.2)积分得积分得

30、(2.5.4) ttxttvxx0)d(0 ttyttvyy0)d(0(2.5.5)第二章第二章 质点运动学质点运动学速度初始条件速度初始条件 t = t0 vx = v0 x vy = v0y ttxxxttavv0)d(0(2.5.6) ttyyyttavv0)d(0 对于质点的平面运动，若已知初始条件和质点速对于质点的平面运动，若已知初始条件和质点速度和加速度随时间的变化规律并且可积，就能全面描度和加速度随时间的变化规律并且可积，就能全面描写质点的运动状态写质点的运动状态.第二章第二章 质点运动学质点运动学例题例题1一质点平面运动的加速度为一质点平面运动的加速度为ax= -Acost ,

31、 ay= -Bsint, A B , A 0, B 0 初条件为初条件为t =0 , v0 x=0, v0y=B, x0=A, y0=0. 求质点轨迹求质点轨迹.解解tavvttxxxd00 tavvttyyyd00 tvxxttxd00 tvyyttyd00 分别用分别用A和和B除上两式除上两式tBytAxsin,cos 取两式平方和取两式平方和 椭圆运动椭圆运动tAttAtsindcos0 tBttBBtcosdsin0 tAttAAtcosdsin0 tBttBtsindcos0 12222 ByAx第二章第二章 质点运动学质点运动学1.运动叠加原理运动叠加原理 右图中右图中A、B同时同

32、高抛出，同时同高抛出，同时着地同时着地.结论结论：水平运动对竖直运：水平运动对竖直运动无影响动无影响.即：当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运即：当物体同时参与两个或多个运动时，其总的运动是各个运动的合成动是各个运动的合成.B运动运动=竖直竖直+水平水平 BAh0v第二章第二章 质点运动学质点运动学（二）抛体运动（二）抛体运动2. 抛体运动抛体运动 xy0vO（x,y） 选平面直角坐标系如选平面直角坐标系如 图，不计空气阻力，图，不计空气阻力， 在抛体运动中在抛体运动中,加速度加速度 ga 为常矢量为常矢量 抛体运动简化为抛体运动简化为x方向的匀速直线运动与方向的匀速直线运动与y方向的匀方

33、向的匀变速运动的叠加变速运动的叠加. 运动学方程运动学方程 tvx cos02021singttvy 由此可求出射高、射程、轨道方程等由此可求出射高、射程、轨道方程等.第二章第二章 质点运动学质点运动学xy0v真空中轨道真空中轨道 空气中实际轨道空气中实际轨道 通过理想情况得出抛物线，以此为基准，进通过理想情况得出抛物线，以此为基准，进一步研究各种不同阻力对运动的影响一步研究各种不同阻力对运动的影响.第二章第二章 质点运动学质点运动学基本方程基本方程 t gvv 02021t gtvr 矢量图矢量图 0v 10tvO20tvtv0)(1tr)(tr)(2tr2121gt221gt2221gt第

34、二章第二章 质点运动学质点运动学（三）用矢量讨论抛体运动（三）用矢量讨论抛体运动例题例题2 如图表示一演示试验如图表示一演示试验. 抛体发射前，瞄准高处抛体发射前，瞄准高处A的靶子，采取措施使靶子在抛体发射的同时开始自由的靶子，采取措施使靶子在抛体发射的同时开始自由下落下落. 那么，不管抛体的初速率怎样，抛体都能够击中那么，不管抛体的初速率怎样，抛体都能够击中靶子，这是为什么？靶子，这是为什么？O1r2rrr2rr2rOPP 第二章第二章 质点运动学质点运动学解解 没有重力加速度，靶子就不会落下来，抛体也必沿没有重力加速度，靶子就不会落下来，抛体也必沿着瞄准的方向以初速率着瞄准的方向以初速率v

35、0 匀速前进，并打中靶子匀速前进，并打中靶子.这时，这时，抛体经过的位移抛体经过的位移 的大小等于的大小等于v0 t ,其中其中t为抛体从发射点为抛体从发射点到命中目标到命中目标A点经过的时间点经过的时间.1r 但是，在但是，在t 时间内，抛体除了进行位移时间内，抛体除了进行位移 外，还发生外，还发生因重力加速度而引起的附加位移因重力加速度而引起的附加位移 ，抛体的总位，抛体的总位移移2221tgr 1r2021t gtvr 并最终到达并最终到达P点点.第二章第二章 质点运动学质点运动学APAP 与此同时与此同时,靶子自靶子自A点自由下落点自由下落,并经历了位移并经历了位移 ，且大小等于且大小

36、等于 ，并达到，并达到 点点. 因因 ，所以，所以2r 221gt22rr P 点与点与P 点重合，抛体击中了靶子点重合，抛体击中了靶子. P 第二章第二章 质点运动学质点运动学 例题例题33如图所示，大炮向小山上的目标开火，此山的如图所示，大炮向小山上的目标开火，此山的山坡与地平线的夹角为山坡与地平线的夹角为 ，试求发射角为多大时炮弹试求发射角为多大时炮弹沿山坡射得最远？沿山坡射得最远？ 解解 建立坐标系如图所示建立坐标系如图所示. .由运动叠加原理得炮弹的运动由运动叠加原理得炮弹的运动方程为方程为设炮弹落于坡上距设炮弹落于坡上距O为为 s 位置处，则：位置处，则：,cos sx sinsy

37、 2000021)sin()cos(gttvytvx 0vyOs0 x第二章第二章 质点运动学质点运动学联立以上四个方程可得炮弹的飞行时间联立以上四个方程可得炮弹的飞行时间 cos)sin(200gvt cosxs 20020cos)sin(cos2gv , 0dd0 s令令240 则则)sin1(cos220max gvs得得第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一）自然坐标自然坐标 （二）（二）速度速度法向和切向加速度法向和切向加速度 第二章第二章 质点运动学质点运动学2.6 自然坐标自然坐标切向和法向加速度切向和法向加速度2.6 自然坐标自然坐标切向和法向加速度切向和法向加速度若质点

38、轨迹已知，质点的运动可分解为切向和法向若质点轨迹已知，质点的运动可分解为切向和法向. 自然坐标自然坐标将质点轨迹曲线作为一维坐标的轴线将质点轨迹曲线作为一维坐标的轴线 质点运动方程质点运动方程)(tss 自然坐标也可用矢量特征描述自然坐标也可用矢量特征描述. 如图选轨迹上一点如图选轨迹上一点 为原为原点，用由原点点，用由原点 至质点位至质点位置的弧长置的弧长 s 作为质点位置作为质点位置坐标坐标. s 称自然坐标称自然坐标. s 可正可正可负可负.O O s0OrteneAO 第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）自然坐标（一）自然坐标tevv 速度矢量速度矢量nnttnteaeaaaa 加

39、速度矢量加速度矢量 任何矢量都可向切向和法向方向作正交分解任何矢量都可向切向和法向方向作正交分解.te切向单位矢量切向单位矢量 沿曲线切向沿曲线切向,指向指向s0方向方向.ne法向单位矢量法向单位矢量 沿曲线法向且指向曲线的凹侧沿曲线法向且指向曲线的凹侧.at和和an分别为质点的切向加速度和法向加速度分别为质点的切向加速度和法向加速度.1. 速度和加速度矢量速度和加速度矢量动画演示动画演示 第二章第二章 质点运动学质点运动学（二）速度（二）速度法向和切向加速度法向和切向加速度v v vvvv v1v2vvv21 tvtvtvatttlimlim lim20100 ADPC OABv v经经 t

40、 质点速度增量质点速度增量 取取 AD=AC t0时，近似有时，近似有 vv 1RtvvRABvvv1 (1)法向加速度法向加速度 第二章第二章 质点运动学质点运动学2. 质点作圆周运动的切向加速度和法向加速度质点作圆周运动的切向加速度和法向加速度an反映速度方向变化的快慢反映速度方向变化的快慢 . n2neRva Rvtvat210nlim 法向加速度法向加速度 (2)角速率角速率 ttlim0 1vv 定义定义 vtvat lim10nn2nneReva 第二章第二章 质点运动学质点运动学tt2evevvv tt020tddlimlimetvetvtvatt vvv2/ t0 时，近似有时

41、，近似有 (3)切向加速度切向加速度 at反映速度大小的变化率反映速度大小的变化率 第二章第二章 质点运动学质点运动学n2tddeRvetv ntaaa n2tddeRetv (4)总加速度总加速度 2t2naaa Ovnataatntanaa (5)一般曲线运动一般曲线运动 质点的曲线轨迹可视作由无限多个圆组合而成质点的曲线轨迹可视作由无限多个圆组合而成 n2tddevetv ntaaa 曲率圆半径曲率圆半径 第二章第二章 质点运动学质点运动学例题例题1 汽车在半径为汽车在半径为200m的圆弧形公路上刹车，刹车的圆弧形公路上刹车，刹车开始阶段的运动学方程为开始阶段的运动学方程为 (单位：单位

42、：m，s).22tddtsa 32 . 020tts 2t6 . 020ddttsv 解解 加速度加速度 Rta22n)6 . 020( ta2 . 1t 求汽车在求汽车在t=1s时的加速度时的加速度.ttnneaeaa Rva2tn 第二章第二章 质点运动学质点运动学sm4 .19sm)16 . 020(2t v将将R=200m及及t1s代入上列各式，得代入上列各式，得 222nsm88. 1sm200)4 .19( a22tsm2 . 1sm12 . 1 a22222t2nsm23. 2sm)2 . 1()88. 1( aaa5667. 12 . 188. 1tantn aa 33122

43、te为加速度与为加速度与 的夹角的夹角. 第二章第二章 质点运动学质点运动学例题例题2低速迫击炮弹以发射角低速迫击炮弹以发射角45度度 发射发射,其初速率其初速率v0=90m/s.在与发射点同一水平面上落地在与发射点同一水平面上落地.不计空气阻力不计空气阻力,求炮弹在最高求炮弹在最高点和落地点其运动轨迹的曲率点和落地点其运动轨迹的曲率.解解将炮弹视为质点将炮弹视为质点,不计空气阻力不计空气阻力. 在直交坐标系在直交坐标系O-xy中中,炮弹运动的速度与加速度为炮弹运动的速度与加速度为(1)在最高点在最高点 jgtvivv)sin(cos00 j gga 0sin0 gtvvy ga n cos0

44、vv gvavR20n2)cos( m3 .413m8 . 9)2290(2 第二章第二章 质点运动学质点运动学0vv )45cos(n ga(2)在落地点在落地点 )45cos(20n2 gvavRm1169m228 . 9902 t0evv 第二章第二章 质点运动学质点运动学例题例题3质点质点M在水平面内运动轨迹如图在水平面内运动轨迹如图 ， t=0 时时M在在O点，质点运动规律点，质点运动规律 s=30t+5t2 (m)，求，求t=2s时，质点时，质点M的法向和切向加速度的法向和切向加速度.ABCO 1530解解ttsv1030dd 2nva tvaddt t =2 s = 80m v

45、= 50m/s 第二章第二章 质点运动学质点运动学例题例题4 由楼窗口以水平初速度由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口射出一发子弹，取枪口为原点，沿为原点，沿v0为为x轴，竖直向下为轴，竖直向下为y轴，并取发射时轴，并取发射时t = 0.试求：试求：(1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t 的位置坐标及轨道方程；的位置坐标及轨道方程；(2)子弹在子弹在t 时刻的速度，切向加速度和法向加速度时刻的速度，切向加速度和法向加速度.第二章第二章 质点运动学质点运动学tvx0 (2)gtvvvyx 0解解20221vgxy 22yxvvv dd22202ttgvtgtva 222002t2n tgv

46、gvaga 221gty 0arctanvgt (1)2220tgv yxO0v natag第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一）极坐标系极坐标系 （二）（二）径向速度与横向速度径向速度与横向速度 第二章第二章 质点运动学质点运动学2.7 极坐标系极坐标系径向速度与横向速度径向速度与横向速度如图，极点如图，极点O，极轴极轴Ox，幅角幅角 ，OP(r, ) ererx规定自极轴逆时转规定自极轴逆时转 为正，反之为负为正，反之为负.质点的极坐标质点的极坐标(r, ).这里这里 r 是坐标不是位矢，当位矢的原点取在极点上是坐标不是位矢，当位矢的原点取在极点上时，两者数字相同时，两者数字相同.

47、r =常量常量 =常量常量 re e不是常矢量不是常矢量径向单位矢量径向单位矢量 re横向单位矢量横向单位矢量 e)( )( ttrr 运动学方程运动学方程)( rr 轨道方程轨道方程动画演示动画演示第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）极坐标系（一）极坐标系1. 位移位移 若位矢的原点与极坐标的极点重合若位矢的原点与极坐标的极点重合 rerr 21rrr 横向位移横向位移径向位移径向位移 位移：位移：很小时很小时t err 1rerr2 re eO )(tr)(ttr CAB2r 1r r 极轴极轴 re eOA=OC 第二章第二章 质点运动学质点运动学（二）径向速度与横向速度（二）径向速

48、度与横向速度 etretrtrt 00limlim etretrrdddd evevvrr trvt 0lim2. 速度速度 vvr rretrvdd etrvdd 径向速度径向速度 横向速度横向速度 re eO )(tr)(ttr CAB2r 1r r 极轴极轴 re e第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）（一）伽利略变换伽利略变换 （二）（二）伽利略变换蕴含的时空观伽利略变换蕴含的时空观 （三）（三）伽利略速度变换关系伽利略速度变换关系 （四）（四）加速度对伽利略变换为不变量加速度对伽利略变换为不变量 第二章第二章 质点运动学质点运动学2.8 伽利略变换伽利略变换设设O为基本参考系，为

49、基本参考系， 为动参考系为动参考系 OrrOrrr 质点在空间运动质点在空间运动, 某时刻位于某时刻位于P点点 r t vt vrO ttzzyy 正变换正变换ttzzyy 逆变换逆变换vtxx t vxx 伽利略坐标变换伽利略坐标变换O 设设 相对相对O以速度以速度 作匀速直线运动作匀速直线运动 vO 重合重合与与OOtt ; 0OO OO O x z ypOxyz第二章第二章 质点运动学质点运动学（一）伽利略变换（一）伽利略变换1.关于同时性关于同时性设有两事件设有两事件a，b. 在在O上看发上看发生在生在 ),(),(2211txbtxa 12ttt 则则),(),(2211txbtxa

50、12ttt 由伽利略坐标变换由伽利略坐标变换tt 即两参考系观测到两事件是同时发生的即两参考系观测到两事件是同时发生的. 2211 tttt 得得 同时具有绝对性同时具有绝对性. 在在 上看上看发发生在生在 O 第二章第二章 质点运动学质点运动学（二）伽利略变换蕴含的时空观（二）伽利略变换蕴含的时空观2.关于时间间隔关于时间间隔 时间具有绝对性时间具有绝对性. 设在设在O系中某点处发生二个事件系中某点处发生二个事件 t1和和 t2 1212tttt 由伽利略坐标变换由伽利略坐标变换2211 , tttt 得得 意义意义:不同的参考系中不同的参考系中,考察同一过程所经历的时间相同考察同一过程所经