初中数学函数专题总结参考.doc

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1、初中数学函数专题总结初中数学函数专题总结一次函数1、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k，b为常数，k0）则称y是x的一次函数,特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。2、一次函数的性质：y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k,即y/x=k3、一次函数的图象及性质：1)作法与图形：（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的直线连接）2)性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。3)k，b与函数图象所在象限。当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k0时，直线必通过二、四象

2、限，y随x的增大而减小。当b0时，直线必通过一、二象限；当b0时，直线必通过三、四象限。当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。4、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点k0，b0k0，b反比例函数的图像为双曲线。2.反比例函数的概念需注意以下几点：(1)(k为常数，k0）；(2)自变量x的取值范围是x0的一切实数；（3）因变量y的取值范围是y0的一切实数3.因为在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.4.

3、在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1S2=|K|二次函数1.一般地，自变量x和因变量y，y是x的函数之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a0)a，b，c为常数，a0，则称y为x的二次函数。2.二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P（h，k）对于二次函数y=ax2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/(4a)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线其中x1，2=(-b

4、(b24ac)/(2a)(即一元二次方程求根公式)注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4ax1,x2=(-bb-4ac)/2a二次函数的图像3.在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，二次函数可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。二次函数标准画法步骤（在平面直角坐标系上）（1）列表（2）描点（3）连线4.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时

5、，P在y轴上；当=b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。当a0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac

6、-b2/4a；在x|x-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是x|x4ac-b2/4a相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0)二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。二次函数公式：顶点式、交点式、两根式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：yax2+bx+c(a,b,c为常数，a0),则称y为x的二次函数。顶点坐标

7、(-b/2a,(4ac-b2)/4a)(2)顶点式：ya(x-h)2+k或y=a(x+m)2+k(a,h,k为常数，a0).(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)(4)两根式：ya(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c0的两个根，a0.说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式ya(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h0时，抛物线yax2+k的顶点在y轴上；当k0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h0且k0时，抛物线yax2的顶点在原点.(2)当抛物线yax2+bx+c与x轴有交点时，即

8、对应二次方程ax2+bx+c0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+ca(x-x1)(x-x2),二次函数yax2+bx+c可转化为两根式ya(x-x1)(x-x2).二次函数对称轴及解法设二次函数的解析式是y=ax2+bx+c对称轴为：直线x=-b/2a,顶点横坐标为：-b/2a顶点纵坐标为：(4ac-b2)/4a求解方法：1如果题目只给个二次函数的解析式的话，那就只有配方法了吧，y=ax2+bx+c=ax+(b/2a)2+(4ac-b2)/4a，则对称轴为x=-b/2a2.如果题目有f(a-x)=f(b+x)的已知条件，那对称轴是x=(a+b)/23.如果题目给出

9、了2个零点(a,0)、(b,0)，则对称轴是x=(a+b)/24.如果题目给出了定义在R上的抛物线最大值或最小值(a,b),则对称轴为x=a扩展阅读：初中数学函数专题总结一次函数1、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k，b为常数，k0）则称y是x的一次函数,特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。2、一次函数的性质：y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k,即y/x=k3、一次函数的图象及性质：1)作法与图形：（1）列表（一般找4-6个点）；（2）描点；（3）连线，可以作出一次函数的图象。（用平滑的直线连接）2)性质：在一次函数图象上的任意一点P（x，y），都满足

10、等式：y=kx+b。3)k，b与函数图象所在象限。当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。当b0时，直线必通过一、二象限；当b0时，直线必通过三、四象限。当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图象。这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。4、在y=kx+b中,两个坐标系必定经过(0,b)和(-b/k,0)两点k0，b0k0，b反比例函数的图像为双曲线。2.反比例函数的概念需注意以下几点：(1)(k为常数，k0）；(2)自变量x的取值范围是x0的一切实数；（3）因变量y的取值范围是y0

11、的一切实数3.因为在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1S2=|K|二次函数1.一般地，自变量x和因变量y，y是x的函数之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(a0)a，b，c为常数，a0，则称y为x的二次函数。2.二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P（h，k）对于二次函数y=ax2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-

12、b2)/(4a)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线其中x1，2=(-b(b24ac)/(2a)(即一元二次方程求根公式)注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b)/4ax1,x2=(-bb-4ac)/2a二次函数的图像3.在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，二次函数可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。二次函数标准画法步骤（在平面直角坐标系上）（1）列表（2）描点（3）连线4.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=

13、0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当=b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。当a0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b2/4a；在x|x-b/2a上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是x|x4ac-b2/4a相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a0)二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。第 8 页 共 8 页